|
|
Построение эпюр крутящих моментовДля определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов M k (M z) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала Σ M z=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 5.1, крутящий момент M z в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M1|=|M2|.
Рис. 5.1
В более сложных случаях, когда к валу приложено несколько внешних моментов, крутящие моменты M k в поперечных сечениях различных участков вала неодинаковы. На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения. При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эп. M k примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.5.2). В технике употребляется терминология «винт с правой нарезкой» или «…с левой нарезкой…», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент Mкр , а при свинчивании гайки – отрицательный.
Рис. 5.2
При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.5.3) крутящие моменты МК связаны дифференциальной зависимостью
из которой вытекает следующая формула:
где Согласно формуле (5.2) на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение (МК = МКо = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре МК возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.
Рис. 5.3
На рис. 5.4, а изображен стержень, жестко защемленный в правом концевом сечении, к которому приложены три внешних скручивающих момента.
Рис. 5.4
В нашем случае крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные со стороны свободного конца бруса. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке. Крутящий момент M z1 в сечении I численно равен M 1=200 нм и, согласно принятому правилу знаков, положителен. Крутящий момент M z2 в сечении II численно равен алгебраической сумме моментов M 1 и M 1, т.е. M z2 =200-300=-100 нм, а его знак зависит от соотношения этих моментов. Аналогичным образом вычисляется крутящий момент M z3 в сечении III: M z3 =200-300+500=400 нм. Изменение крутящих моментов по длине вала покажем с помощью эпюры крутящих моментов. На рис. 5.4, б показана такая эпюра для стержня, изображенного на рис. 5.4, а. Каждая ордината эп. M k в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении бруса, которому соответствует эта ордината. В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента. Следует учитывать, что наибольший внешний скручивающий момент, приложенный к брусу, не всегда равен наибольшему крутящему моменту, по которому ведется расчет бруса на прочность и жесткость.
Пример 1. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.5.4.1, а).
Рис.5.4.1
Решение. Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил. 1. Намечаем характерные сечения. 2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
3. По найденным значениям строим эпюру
Пример 2. Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2 М и распределенными по длине: т (рис. 5.4.2).
Рис. 5.4.2. Построение эпюры внутренних крутящих моментов: а – расчетная схема; б – первый участок, левая часть; в – второй участок, левая часть; г – третий участок, правая часть; д – эпюра внутренних крутящих моментов
Решение. В исходных сечениях 1–1; 2–2; 3–3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М 1, М 2, М 3. Пусть Для первого участка (рис. 5.4.2, б): Σ Mk = M 1 + M = 0; M 1 = – M = ml = const. Для второго участка (рис. 5.4.2, в):
Для третьего участка (рис. 5.4.2, г):
Границы измерения параметра х 3 в следующей системе координат:
Тогда
Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис. 5.4.2, д).
Пример 3. На рис. 5.4.3 дан пример определения по методу сечений внутренних крутящих моментов по участкам и внизу (ри.5.4.3, с) изображена суммарная эпюра М кр.
Рис.5.4.3. a) заданный стержень с нагрузкой; b) отсеченные части стержня; с) эпюра крутящих моментов.
Решение. В данном случае для консольного стержня вести вычисления удобно, идя справа налево, начав их с 3–го участка. Участок 3 (рис. 5.4.3, b). Неизвестный момент M кр3 прикладываем к отсеченной части как положительный, после чего пишем условие равновесия отсеченной части: Σотсеч mz3= M кр3 +5=0; → M кр3 = -5 тм, (0≤z3 ≤2). Участок 2 (рис. 5.4.3, b). Положение сечения фиксируем с помощью местной координаты z2: Σотсеч mz2= M кр2 +3(4-z2) -15 +5=0; → M кр2 =10 – 3(4-z2), (0≤z2≤2). Точка z2 =0, M кр2 =10 – 12= -2 тм. Точка z2 =4, M кр2 =10 – 0= 10 тм. Участок 1 (рис. 5.4.3, b): Σотсеч mz1= M кр1 +3∙4+5+5-15=0; → M кр1 = -7 тм, (0≤z1 ≤2). Найдем реактивный момент в заделке M 0 из условия равновесия всего стержня Σmz =0, это дает M 0 +3∙4+5+5-15=0 и M0 = -7 тм, что совпадает с M кр1, найденным на участке 1 по методу сечений. Этого конечно следовало ожидать, так как по существу реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.
  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
– крутящий момент в начале участка.
(рис.5.4.1, б).
.
