Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Расчёт разветвлённых цепей с помощью законов Кирхгофа.





 

1.Упрощение элементарных цепей.

2. Произвольно расставляются направления токов в ветвях и расставляют их на схеме.

3. Выбирают направление обхода контуров с целью упрощения, берут одинаковое направление обхода во всех контурах. Учитывают только независимые контура.

Независимый – контур, который содержит хотя бы одну ветвь, которая не учитывается другими контурами.

4. Записывается уравнение по первому закону Кирхгофа. Число этих урав­нений на 1 меньше числа узлов. Использовать все Y уравнений невозможно, т.к. одно из них обязательно будет зависимым. Это связано с тем, что токи ветвей войдут в уравнения, составленные для всех Y узлов, дважды, причем с разными знаками, т.к. один и тот же ток направлен от одного узла к другому. При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны нулю, а это означает, что одно из уравнений можно получить суммированием (Y-1) уравнений и заменой знаков всех токов на противоположные. Таким образом Y-е уравнение всегда будет зависимым.

5. Записывается уравнения по 2 закону Кирхгофа для контуров.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов.

6. Решаем систему уравнений относительно токов.

Е3
Е1
R1
R7
J6
R6
Е2
R2
R3
R4
R5
a  
b  
c  
d  
Пусть дана схема рис. 4.6. Заданы величины ЭДС и номиналы сопротивлений. Записать систему уравнений для определения токов по законам Кирхгофа.

 

 

Рис. 4.6. Исходная схема

 

 

После выполнения пунктов 1, 2, 3 схема примет вид рис. 4.7. При этом Сопротивления R1 и R7 заменены эквивалентным R17, а реальный источник тока J6 c R6 - эквивалентным ЭДС (E6Э) с внутренним сопротивлением R6.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов – их в схеме два, т.к. узел c превратился в точку на линии, а ток I6=I1.

Для узла a I1 - I3+I4-I5 =0,

Для узла b I2+I3-I4 =0.

Запишем далее уравнения для независимых контуров по второму закону Кирхгофа – их три.

Для первого контура I3*R3+I4*R4 = - E3,

Для второго контура -I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,

Для третьего контура I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6 Э.

Добавляем к этим уравнениям 2 уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа и получим систему уравнений 5-го порядка.

 

Е3
Е1
R17
R6
Е2
R2
R3
R4
R5
a  
b  
c  
d  
I  
II  
III  
I3
I2
I1
I5
I4
I6
Е6Э

 

 


Рис. 4.7. Эквивалентная схема с обозначением токов, узлов и контуров

I3+I4-I5 = 0,

I2+I3-I4 = 0,

I3*R3+I4*R4 = - E3,

-I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,

I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6 Э

Запишем матрицу коэффициентов при токах и столбец свободных членов. Получим следующую таблицу:

I1 I2 I3 I4 I5   E
             
    -1 -1 -1    
  -1          
    R3 -R4   = -E3
  R2   R4 -R5   -E2
R17+R6       R5   E1-E6Э
             

С левой стороны от знака равенства мы получили матрицу коэффициентов, с правой – столбец свободных членов. Используя правило Крамера, решаем систему и определяем искомые токи. Как видно из вышеприведенного метода нам нужно решать систему уравнений пятого порядка.

Уменьшить порядок системы позволяет метод контурных токов.

Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток рис.4.8. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Е3
Е1
R17
R6
Е2
R2
R3
R4
R5
a  
b  
c  
d  
I  
II  
III  
I3
I2
I1
I5
I4
I6
Е6Э
I11
I22

 

 


I33

Рис. 4.7. Эквивалентная схема с обозначением контурных токов.

Уравнение для первого контура

I11*(R3+R4)-I22*R4 = -E3,

Уравнение для второго контура

-I11*R4+I22*(R2+R4+R5) = -E2,

Уравнение для третьего контура

-I22*R5 +I33*(R17+R5+R6) = E1-E.

Система уравнений будет третьего порядка и имеет вид:

 

I11*(R3+R4)-I22*R4 = -E3,

-I11*R4+I22*(R2+R4+R5) = -E2,

I33*(R17+R5+R6)-I22*R5 = E1 -E.

В этой системе только три уравнения, следовательно, решать её проще. Как видно из схемы: I11=I3, I22=I2, I33=I1=I6, I4=I11-I22, I5=I22-I33. Таким образом, все токи определены.

Аналогичную картину даёт метод узловых потенциалов.

Метод узловых потенциалов.

Метод основан на применении 1-го закона Кирхгофа

Е3
Е1
R1
R7
J6
R6
Е2
R2
R3
R4
R5
a  
b  
c  
d  
Е3
Е1
R1
R7
J6
R6
Е2
R2
R3
R4
R5
a  
b  
c  
d  

 

 


Рис. 4.8. Эквивалентная схема к расчёту по методу узловых потенциалов.

 

Составить уравнения по методу узловых потенциалов для узлов a,b,c. Потенциал узла d приравниваем к 0 (рис. 4.8).

Для узла a:

ja(1/(R1+R7)+1/R3+1/R4+1/R5)-jb(1/R3+1/R4)-

-jc(1/(R1+R7))=E1/(R1+R7)+E3/R3=Ia.

Для узла b:

-ja(1/R3+1/R4)+jb(1/R3+1/R4+1/R2)=E2/R2-E3/R3=Ib.

Для узла с:

-ja/(G1+G7)+jc(1/(G1+G7)+1/G6)=-E1/(G1+G7) - J=Ic.

В общем виде уравнение для к -го узла:

jk kl- ji kl= + k,

где kl-проводимость, jk-потенциал к -го узла.

å Gkl -сумма узловых проводимостей к-го узла, представляющая собой сумму проводимостей ветвей, подключенных к к-му узлу. Это собственная проводимость к-го узла.

å Ik -алгебраическая сумма источников токов ветвей, подключённых к к -тому узлу.

å EkGkl -алгебраическая сумма произведений E ветвей, сходящихся в к-м узле на проводимости этих ветвей.

Правило:

Если Е и ток источника направлены к узлу, то в правой части уравнения берётся знак ²+².

I. ja(1/(G1+G7)+1/G3+1/G4+1/G5)-jb(1/G3+1/G4)-jc/(G1+G7)=E1/(G1+G7)+ +E3/G3=Ia

-ja(1/G3+1/G4)+jb(1/G3+1/G4+1/G2)= E2/G2- E3/G3=Ib

- ja/(G1+G7)+jc(1/(G1+G7)+1/G6)= -E1/(G1+G7)-I=Ic

или

II. ja×Gaa+jb×Gab-jc×Gac=Ia

ja×Gba+jb×Gbb=Ib

ja×Gca+jc×Gcc=Ic

Решая систему относительно потенциалов. Токи в ветвях определяется разностью потенциалов между узлами по следующим формулам:

I1=(jc-ja+E1)G1 I4=(ja-jb)G4

I2=(jb-E2)G2 I5=G5ja

I3=(ja-jb-E3)G3 I6=G6jc

 

Тестовые вопросы по теме.

1. Назовите основные методы расчёта электрических цепей.

2. Что такое простая цепь, определение, пример схемы.

3. Расчёт схем по методу свёртывания и развертывания, алгоритм.

4. Расчёт схем по методу наложения, алгоритм.

5. Расчёт схем по уравнениям Кирхгофа, алгоритм.

6. Расчёт схем по методу контурных токов, алгоритм.

7. Расчёт схем по методу узловых потенциалов, алгоритм.

8. Расчёт схем по методу эквивалентного двухполюсника, алгоритм.

9. Что такое собственная проводимость узла?

 







ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.