Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Выражения и их тождественные преобразования





Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3•2-4, (25 + 3)- •2- 17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, полу­чим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3•2-4 равно 2.

Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.

Рассмотрим запись 2a + 3. Она образована из чисел, знаков дейст­вий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если a = 7, то 2•7 + 3;

если a = 0, то 2•0 + 3;

если а = -4, то 2• (-4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной.

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строч­ной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначе­ния переменной кроме букв используются другие знаки, например ¨. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2-¨ + 3.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5:(х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х =• 1 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, + 3 - это выражение с одной пере­менной, а (Зх + 8yz - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения,



Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если про­вести аналогию с русским языком, то выражения - это слова матема­тического языка.

Но используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - ·12 или -у:+)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения число­вые и с переменными, не является определением этих понятий. Да­дим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).

Определение. Если f и g - числовые выражения, то (f) + (g), (f)-(g), (f) ·(g), (f):(g) - числовые выражения. Считают, что каждое чис­ло является числовым выражением.

Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6):(2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений скла­дываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо. Например, пишут так: 37-12 + 62-17 + 13 или 120:15·7:12.

Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12·4:3) + (5·8:2·7) записывают так: 12·4:3 + 5·8:2·7.

Задача. Найти значение выражения 3х(х- 2) + 4(х-2) при х = 6.

Решение.

1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выра­жение: 3·6·(6 - 2) + 4·(6 - 2). Чтобы найти значение полученного чи­слового выражения, выполним все указанные действия:

3·6·(6-2) + 4·(6-2) = 18·4 + 4·4 = 72 + 16 = 88.

Следовательно, при x = 6 значение выражения 3х(х-2) + 4(х-2) равно 88.

2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: 3х(х - 2) + 4(х - 2) = (х - 2)(3х + 4). И затем, подста­вив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия: (6- 2)·(3·6 + 4) = 4·(18 + 4) = 4·22 = 88.

 

Тождественные преобразования выражений

Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Напри­мер, выражение 18·4 + 4·4 заменяли выражением 72+16, а выраже­ние 3х(х-2) + 4(х-2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти заме­ны привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выра­жений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выра­жения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных зна­чениях д: их значения равны.

Если два тождественно равных на некотором множестве выраже­ния соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Например, 5(х + 2) = 5х + 10-тождество на множестве действи­тельных чисел, потому что для всех действительных чисел значе­ния выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначе­ние квантора общности, это тождество можно записать так: (V х ? R) 5(х + 2) = + 10. Тождествами считают и верные числовые ра­венства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некото­ром множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему вы­ражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование пер­вого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо перемен­ных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, кото­рыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразо­вания выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгеб­раических операций.

Приведем пример тождественных преобразований выражения.

Упражнения

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:

а) 42:5; б) 27; в) 32+-): 14; г) 2·7 = 7·2;

д) (17+13):10-15; е)142>71·2.

2.Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматри­вать их на множестве натуральных чисел:

а) (135 + 67)·12; б)(135-217):2; в) 362:4?

3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:

а)8 + 0,3b; б)21-(4+y); в) x+2y<7; г) 32:у + 3 = 5у?

4.Установите, какова область определения выражений, если рас­сматривать их на множестве действительных чисел:

а) (3-y):64; б) 64:(3-у); в) (5+x):(x-12).

5. Известно, что выражение называется по своему последнему дейст­вию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:

Выражение Название выражения
(12·5 + 3:(2 + 7))·18  
(23- (23 -7·6-4+ 15):(17-6)  
21 + 21 + (35·3:8-14:5)  
19- 19-8:4 + 5  

6. Вычислите значение выражения:

а) ((36:2-14)·(42·2-14)+ 20):2;

б)(72:12-(18-15)):(24:3-2·4);

в) (16,583:7,21 + 54,68·853,2 + 28,82·0,1): 1,6-1,02.

7.Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 – 3x тождественно равными на множестве:

а) {1,2, 3,4}; б) действительных чисел.

8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множе­стве действительных чисел:

а)3p + 5т = 5т + 3р; в) Зр·5т = 5т·3р;

б) 3p - 5т = 5т - 3р; г) 3p : 5т = 5т : 3р?

9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:

а) 324·5 =(300 + 20 + 4)·5 = 300·5 + 20·5 + 4·5 = 500+100 + 20=1500+120=1620;

6)97·12 =(100-3)·12= 100·12-3·12=1200-36 = 1100 + (100-36) = 1164;

в) 5(1-2х)+10x = 5-10x+ 10x = 5.

10.Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение» на множестве числовых выражений является отношением эквивалент­ности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?

11.Упростите выражение путем тождественных преобразований:

а)6(2аb-3)+2a(6b-5); б)(12a-16b):4-(10a-4b).

12.Сравните значения выражений, не выполняя действий:

а)(30+56)·5 и 30·5 + 56·5;

б)(19+4)·7 и 19·7+10·7;

в)(14-7)·6 и 16·6-7·6;

г)(18-9)·7 и 18·7-11·7.

13. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:

а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разби­лись на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?

б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будет шить в день на 50 фартуков больше?

в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.