Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Лекция 27. Неравенства с одной переменной





План:

1. Понятие неравенства с одной переменной

2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

3. Решение неравенств с одной переменной

4. Графическое решение неравенств с одной переменной

5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

6. Основные выводы

Неравенства с одной переменной

Предложения 2х + 7 > 10-х, х2+7х < 2,(х + 2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решени­ем. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2 x + 7 > 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множест­во его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.

 

Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.



Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х)задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1)Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х)прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2)Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

 

Решение неравенств с одной переменной

Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R, и обоснуем все преоб­разования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования Обоснование преобразования
1. Приведем выражении 2x в левую часть, а число -5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5x-2x < 16+5 Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное данному
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х< 21 Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства - они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.
3. Разделим обе части неравенст­ва на 3: х<7. Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному

 

Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 яв­ляется промежуток (-∞, 7).

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записей являются неравенства­ми с одной переменной:

а) -12 - 7х < 3x + 8; г) 12х + 3(х- 2);

б) 15(x + 2)>4; д) 17-12·8;

в) 17-(13 + 8) < 14-9; е) 2 + 3x-4> 0.

2.Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R? А число 4,25?

3.Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:

а) -17х< -51 и х > 3;

б) (3x-1)/4 >0 и 3х-1>0;

в) 6-5x >-4 и х<2?

4. Какие из следующих высказываний истинны:

а) -7 х < -28 => x>4;

б) x < 6 => x < 5;

в) х < 6 => х < 20?

5.Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.

6.Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х) является любое действительное число.

7.Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х) - 2 > 5 - 3х.

8.Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:

а) меньше 22 см;

б) больше 17 см?

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕН­НОЙ.Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить гра­фики функций

у = f (х) = g (х) и выбрать те проме­жутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).

Пример 17.8.Решите графически неравенство х2 - 4 > 3х.

У - х* - 4

Решение. Построим в одной системе координат графи­ки функций

у = х2- 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х2 - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество

(- ¥; -1) È (4; +оо).

Ответ: х Î (- оо; -1) и (4;+ оо ).

Графиком квадратичной функции у = ах2 + bх + с является парабола с ветвя­ми, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах2 + + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах2 + + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служа­щей графиком функции у = ах2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

 

Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2хг + 5х - 3 > 0; б) -Зх2 - - 6 < 0.

Решение, а) Уравнение 2х2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х2 = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < хх или при х > хг> т.е. при х < -3 или при х > 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).

б) Уравнение -Зх2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х2 - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. По­скольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.

НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:

| f(х) | =

f(х) , если f(х) ³ 0,

- f(х) , если f(х) < 0,

При этом область допустимых значений неравенства следует разбить на ин­тервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохра­няют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Пример 17.10. Решите неравенство:

|х -1| + |2- х| > 3+х.

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х. .Значит, имеет место система:

1 £ х £.2

х – 1 + 2 – х > 3 + х,

или

1 £ х £.2

х < - 2

 

Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.

Если х > 2, то х - 1 >0 и 2 – х <0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

х > 2,

х -1 + х – 2 > 3+х,

или

х > 2,

х > 6 или

х > 6

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а коор­динатной прямой от начала отсчета О, а | а - b | означает расстояние между точка­ми а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возве­дения в квадрат обеих частей неравенства.

Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают толь­ко неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.

 

 

58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

- числовое выражение;

- значение числового выражения;

- выражение, не имеющее смысла;

- выражение с переменной (переменными);

- область определения выражения;

- тождественно равные выражения;

- тождество;

- тождественное преобразование выражения;

- числовое равенство;

- числовое неравенство;

- уравнение с одной переменной;

- корень уравнения;

- что значит решить уравнение;

- равносильные уравнения;

- неравенство с одной переменной;

- решение неравенства;

- что значит решить неравенство;

- равносильные неравенства.

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств - необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.