|
Положительные рациональные числаОтношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби. Например, множество дробей í Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.
Определение. Положительным рациональный числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа. Например, о дроби Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства. Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью mq = пр. Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами. Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью Поэтому полагают, что Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью Таким образом, по определению
Можно доказать, что при замене дробей В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то cначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1). Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно, (" а, b ÎQ+) а + b = b + а; (" а, b, с ÎQ+) (а + b)+ с = а + (b + с).
Коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел. Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью Так как Х = выражается дробью Определение. Если положительное число а представлено дробью Можно доказать, что при замене дробей Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел. Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.
Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с. В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а > b. Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства. 1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством. 2. Если рациональные числа а и b представлены дробями 3. Если рациональные числа а и b представлены дробями 4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа. 5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q +. 6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с. Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна. Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда а = b с. Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями
Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
![]() ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|