Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел

Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны.

Произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е. D(a,b)∙K(a,b)= ab. Из этого утверждения вытекают следующие следствия:

а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел
равно произведению этих чисел, т.е. D(a,b)=1 и K(a,b)=ab.

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно их перемножить, так как D(14,15) = 1.

б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произ-
ведение взаимно простых чисел 14 и 15 необходимо и доста-
точно, чтобы оно делилось и на 14 и на 15.

Лекция 46. Простые и составные числа

План:

1. Признак делимости на составное число

2. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел.

Критерий определения простого числа. Распределение простых чисел в натуральном ряду.

Признак делимости на составное число

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

Например, так как 6 = 2∙3 и D (2, 3) = 1, то получаем при­знак делимости на 6. Для того, что бы натуральное число де­лилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 2 и на 3.

Заметим, что данный признак можно применять много­кратно.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел и
их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми
числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке пра­вильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наиболь­шим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно по­следнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно просты­ми. Следовательно,

D (24, 36) = 12.

Упражнения

1. Даны числа 36 и 45.

а) Найдите все общие делители этих чисел.

б) Можно ли назвать все их общие кратные?

в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.

г) Чему равны D(36, 45) и K(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?

2. Верны ли записи:

а) D(32, 8) = 8 и K(32,8) = 32;

б) D(17,35)= 1 и K(17,35) = 595;

в) D(255,306) = 17 и K(255,306),= 78030,

3. Найдите К(а, b), если известно, что:

а) а = 47,b=105 и D(47,105)= 1;

б) а = 315,b = 385 и D (315,385) = 35.

4. Сформулируйте признаки делимости на 12,15,18,36,45,75.

5. Из множества чисел 1032, 2964,5604,8910, 7008 выпиши­те те, которые делятся на 12.

6. Делятся ли на 18 числа 548 и 942?

7. К числу 15 припишите слева и справа по; одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

8. Найдите цифры а и 6 числа 72, если известно, что это число, делится на 45.

9 Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30:

а) 105∙20; 6)47∙12∙5; в) 85∙33∙7.

10. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений, делятся на 36.

а) 72 + 180 + 252; в) 180 + 252 + 100;

б) 612-432; г) 180 + 250 + 200.

91. Простые числа

Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные начала. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства:

Теорема: Любое составное число можно единственным об­разом представить в виде произведения простых множителей.

Например, запись 110 = 2∙5∙11 есть представление чис­ла 110 в виде произведения простых множителей или разло­жение его на простые множители.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковым и, если они отличаются друг от друга лишь по­рядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2∙5∙11 или произведения 5∙2∙11 есть, по сущест­ву, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из спо­собов записи разложения чисел на простые множители. Раз­ложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложе­ние на множители закончено.

90 = 2∙3∙3∙5

При разложении числа на простые множители произведе­ние одинаковыx множителей представляют в виде степени: 90 = 2∙3²∙5; 60 = 2²∙3∙5; 72 = 2³∙3². Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.

В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необхо­димость определять, является данное число простым или со­ставным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие мате­матики, которым были известны многие свойства простых чи­сел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ по­лучения простых чисел, не превышающих натурального чис­ла а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.

Выпишем все натуральные числа от 1 до 50 и зачеркнем число 1 - оно не является простым. Число 2- простое, обведем его кружком. После этого зачеркиваем каждое второе число, стоящее после 2, т.е. числа 4,6,8,...

Первое не зачеркнутое число 3 является простым, обведем его кружком. И вычеркнем каждое третье число, стоящее по­сле 3, т.е. числа 9, 15,... (числа 6,12 и др. зачеркнуты раньше).

Первое не зачеркнутое число 5 является простым, его также обведем кружком. Зачеркнем каждое пятое число после 5 и т.д

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2,3,5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит о, то а число простое. По­скольку 7² = 49, а 49 < 50, то все оставшиеся числа - простые.

Итак, простыми числами, не превосходящими 50, являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Описанный способ получения простых чисел называется решетом Эратосфена, так как позволяет отсеивать одно за другим составные числа.

С помощью метода, предложенного Эратосфеном, можно отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного числа а. Но он не дает ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел, - ведь могло бы оказаться, что все числа, начиная с некоторого, составные и множество простых чисел конечно. Решением этой проблемы занимался другой греческий математик - Евклид. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Действительно, предположим, что множество простых чисел конечное и исчерпывается числами 2, 3, 5, 7, 7 - самое большое простое число. Перемножим все про­стые числа и их произведение обозначим через а. Прибавим к этому числу 1. Каким будет полученное число

а + 1 - про­стым или составным?

Простым число а +1 быть не может, потому что оно больше самого большого простого числа, а по предположе­нию таких чисел не существует. Но составным оно тоже быть не может: если а + 1.составное, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель q. Так как число

а = 2∙3∙5∙...∙ р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) - а, т.е. число 1, делится на q, что невозможно.

Итак, число а не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, наше предложение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество про­стых чисел бесконечное.

Упражнения

1. Из множества чисел 13, 27, 29, 51, 67 выпишите простые
числа, а составные разложите на простые множители.

2. Докажите, что число 819 не является простым числом.

3. Разложите на простые множители числа 124,588,2700,3780.

4. Какое число имеет разложение:

а) 2^3∙3²7^∙13; б) 2^2∙3∙5³?

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: