ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Это связано с тем, что если длина волны λ электромагнитных колебаний соизмерима с размерами цепи l, то токи и напряжения в этой одномерной цепи являются функциями двух переменных – времени t и координаты x – u (t, x), i (t, x).

Исторически первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т.е. двухпроводные линии передачи сигнала от источника к нагрузке (рис. 6. 1), длина которых l значительно превышает длину волны λ передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому часто эти цепи называют длинными линиями или линиями. При этом будем полагать, что конструктивные данные линии (материал и диаметр ее проводов, их взаимное расположение) и ее параметры сохраняются неизменными по длине линии. Такие длинные линии называются однородными.

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов (характера) изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных и временных характеристик цепи. С этой целью следует рассмотреть электрическую модель отрезка линии малой длины Δ x = dx. Эта модель с достаточной точностью исследования может быть представлена электрической цепью с сосредоточенными параметрами (рис. 6.2). Всю линию можно представить как цепи с бесконечно большим числом малых по величине пассивных элементов, распределенных равномерно по ее длине.

На основании физических рассуждений можно составить следующую эквивалентную схему отрезка (рис. 6.2).

При прохождении тока вокруг проводника образуется внешнее магнитное поле, которое можно моделировать индуктивностью L₀. Она препятствует прохождению тока. Вместе с этим проводник обладает сопротивлением материала R₀. Следовательно, эти элементы должны быть соединены последовательно.

Проводники объединены конструктивно диэлектриком, который обладает конечной резистивной проводимостью G₀. Между проводниками линии создается разность потенциалов. Следовательно, вокруг проводников существует электрическое поле, накопление которого моделируется емкостью С₀.

Элементы L₀, C₀, R₀, G₀ называются параметрами линии (отрезка линии). Однако каждый отрезок линии имеет конечную длину Dx, поэтому вводятся понятия погонных параметров:

Входное сопротивление линии определяется отношением напряжения и тока в начале линии. Найдем выражение входного сопротивления

Если учесть, что

и принять при x = l Ú_x = Ú _н и Ì_x = Ì _н, то система уравнений (6.11) примет вид

Разрешая эту систему уравнений относительно напряжения Ú ₁ и тока Ì ₁, получим

Используя уравнения (6.29), получим выражение входного сопротивления

Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии.

1. При согласованном включении линии (Z _н = Z _в) из (6.30) получим, что

2. Если выходные зажимы линии замкнуты накоротко (Z _н = 0), то формула (6.30) упрощается:

3. В случае разомкнутых выходных зажимов (Z _н = ∞)

4. Когда линия нагружена на произвольное сопротивление, не равное волновому (Z _н ≠ Z _в), можно пользоваться для расчетов не только формулой (6.30), но и более удобной. Для этого разделим числитель и знаменатель в (6.30) на ch γ l:

Вторичные параметры и уравнения передачи. Реальная линия всегда обладает потерями. Однако в ряде случаев удобно считать линию идеальной, т. е. не имеющей потерь: R ₁ = G ₁ = 0. Такая идеализация оправдана для коротких по длине линий, работающих на сверхвысоких частотах (фидеров, элементов радиотехнических устройств, полосковых линий и др.), где выполняются условия R ₁ << ω L и G ₁ << ω C.

Коэффициент распространения линии без потерь

Отсюда коэффициент ослабления α = 0, а коэффициент фазы

линейно зависит от частоты.

Коэффициент фазы β связан с длиной волны электромагнитного колебания. Длиной волны λ называется расстояние между двумя точками, взятыми в направлении распространения волны, фазы в которых отличаются на 2π. Следовательно, βλ = 2π иλ = 2π / β.

Уравнения передачи линии без потерь получаются из (6.29), если учесть, что ch γ l = ch j β l = cos β l и sh γ l = sh j β l = j sin β l:

При анализе процессов в линии без потерь общепринято расположение той или иной точки на линии характеризовать ее удаление не от начала линии, как это делали прежде, а от конца линии (от нагрузки) (рис. 6.4). В этом случае уравнения передачи линии без потерь, выражающие комплексные значения напряжения и тока в произвольной точке линии x, отсчитанной от ее конца, записываются в виде:

Формула (6.30) входного сопротивления для линии без потерь примет следующий вид

Режим бегущих волн. При нагрузке линии без потерь на резистивное сопротивление Z _Н = R _Н, равное волновому Z _В = R ₀. Такая нагрузка называется согласованной. Ток в нагрузке Ì _Н = Ú _Н/ R _Н = Ú _Н/ R ₀ и уравнения (6.34) преобразуются следующим образом:

Заменяя комплексные амплитуды их модулями и фазами, т. е.

и полагая для упрощения φ _U _н = φ _I _н = 0, прейдем к уравнениям передачи для мгновенных значений напряжений и токов. Тогда

Эти уравнения описывают падающие волны, распространяющиеся в линии от генератора к нагрузке. На направление распространения волн указывает знак «плюс» перед β x (здесь расстояние x отсчитывается от нагрузки).

Коэффициент отражения в этом режиме равен нулю – p = 0, т. е. отраженные волны напряжения и тока в линии не образуются. Такой режим волн называется согласованным режимом или режимом бегущих волн, а падающие волны называют бегущими волнами. При этом амплитуды колебаний напряжения и тока постоянны по всей длине линии (рис. 6.5) (в линии с потерями α > 0 амплитуды убывают в сторону нагрузки). Сдвиг фаз между напряжением u_x и током i_x равен нулю, поэтому энергия бегущей волны носит активный характер. Следовательно, в режиме бегущих волн передача энергии в линии производится только в одном направлении – от источника энергии к нагрузке. Вся энергия, предаваемая падающей волной, потребляется нагрузкой. Этот режим используется для передачи сигнала от источника в нагрузку.

Входное сопротивление из (6.35) равно волновому сопротивлению Z _ВХ = R ₀.

Режим стоячих волн. Как было сказано ранее, что если модуль коэффициента отражения линии │ p (x)│ ≡ 1, т. е. амплитуды отраженной и падающей волн во всех сечениях линии одинаковы, то в линии устанавливается специфический режим, называемый режимом стоячих волн. Это равенство амплитуд возможно только в линии без потерь (α = 0) т. е. │ p _н│ = 1.

Анализируя выражение (6.23)

, можно убедиться, что │ p _н│ = 1 только в трех случаях: Z _н = 0, либо Z _н = ∞, либо Z _н = jx.

Следовательно, режим стоячих волн может установиться только в линии без потерь при коротком замыкании или холостом ходе на выходе, а также если сопротивление нагрузки имеет чисто реактивный характер.

Короткое замыкание линии КЗ. При Z _н = 0 напряжение в конце линии равно нулю Ú _н = 0. Уравнения передачи (6.34) для данного режима принимают вид:

Если положить для простоты начальную фазу тока в конце линии равной нулю φ i _н = 0, то мгновенные значения напряжения и тока в любой точке линии описываются выражениями:

Выражения (6.37) показывают, что при коротком замыкании на выходе линии амплитуды напряжения и тока изменяются вдоль линии по периодическому (гармоническому) закону

принимая в отдельных точках линии максимальные значения U_max =R ₀ I _н, I _н = I_max и обращаются в нуль в некоторых других точках (рис. 6.6).

Точки, в которых амплитуда (мгновенные значения) напряжения (тока) тождественно равны нулю, называются узлами напряжения (тока).

Характерные точки, в которых амплитуда (мгновенные значения) напряжения (тока) принимают максимальное значение, называются пучностями напряжения (тока). Как видно из рис. 6.6, узлы напряжения соответствуют пучностям тока и, наоборот, узлы тока соответствуют пучностям напряжения.

Координаты узлов напряжения определяются из условия sinβ x _k = 0, откуда при β = 2π/π

где k = 0, 1, 2, …, а координаты пучностей напряжения – из условия cosβ x _k = 0, откуда

Пучности возникают в тех сечениях линии, в которых падающая и отраженная волны напряжения (тока) совпадают по фазе и, следовательно, суммируются, а узлы располагаются в сечениях, где падающая и отраженная волны напряжения (тока) находятся в противофазе и, следовательно, вычитаются.

Мгновенная мощность в узлах напряжения и тока в любой момент времени равна нулю.

Таким образом, в режиме стоячих волн энергия вдоль линии не распространяется и на каждом участке линии происходит только обмен энергией между электрическим и магнитным полями. Этот режим не используется для передачи сигнала от источника в нагрузку.

Напряжение u_x и ток i_x в короткозамкнутой линии согласно (6.37) сдвинуты по фазе на 90^о. Это свидетельствует о том, энергия стоячей волны имеет реактивный характер, т. е. входное сопротивление линии чисто реактивное.

Из (6.36) следует, что входное сопротивление в произвольной точке x линии равно (расстояние x от конца линии)

Из выражения (6.38) следует, что резистивная составляющая комплексного входного сопротивления отрезка линии без потерь а режиме КЗ на выходе равна нулю, а реактивная составляющая

является периодической функцией электрической длины x/ λ и может принимать любые значения от – ∞ до ∞ (рис. 6.8).

При x = 0, λ/2, λ, 3λ/2, … величина β x = (2π/λ) x = 0, π, 2π, 3π, … и входное сопротивление Z_{вх кз} = 0. При x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, … величина β x = (2π/λ) x = π/2,... и входное сопротивление Z_{вх кз} = ± j ∞.

При 0 < x < λ/4 входное сопротивление линии имеет индуктивный характер; при λ/4 < x < λ/2 входное сопротивление линии имеет емкостный характер. Как видно из рис. 6.8 увеличение x на величину, кратную λ/2, не изменяет входного сопротивления отрезка линии без потерь.

Режим холостого хода ХХ. При Z _н = ∞ коэффициент отражения p = 1, Ì _н = 0 и распределение амплитуд напряжения (тока) вдоль лини без потерь на основании (6.34) имеет вид (рис. 6.9)

Для мгновенных значений имеем (при начальной фазе напряжения φ _u _н = 0):

Данный режим работы линии по аналогии с предыдущим называется режим стоячих волн.

Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь определяется из (6.39):

и является периодической функцией электрической длины линии (рис. 6.10). Из сравнения рис. 6.10 и рис. 6.8 видно, что входное сопротивление разомкнутой линии длиной l совпадает с входным сопротивлением короткозамкнутой линии длиной l + π/4.

Включение линии на реактивное сопротивление. При Z _н(j ω) = jx _н модуль коэффициента отражения равен единице │ p │= 1. Следовательно, в линии установится режим стоячих волн.

Пусть линия нагружена на индуктивность L _н (рис. 6.11, а). При заданной частоте ω сопротивление нагрузки Z _н = j ω L _н = jx _н.

Из рис. 6.8 видно, что отрезок закороченной линии длиной меньше λ/4 имеет входное сопротивление индуктивного характера. Поэтому всегда можно подобрать такую длину отрезка l^’, при которой его входное сопротивление равнялось бы заданному сопротивлению Z _н(j ω). Заменим индуктивность L _н отрезком КЗ линии (рис. 6.11, б). Эта замена позволяет применить теорию КЗ линии и сразу же построить кривые распределения напряжения и тока в линии, нагруженной на индуктивность (рис. 6.11, в). На рис.6.11, г приведен график входного сопротивления линии, включенной на индуктивность. Оно имеет реактивный характер в любом сечении линии.

В случае, когда линия нагружена на емкость C _н можно поступить так же, как при индуктивной нагрузке.

Включение линии на произвольное комплексное сопротивление, не равное волновому. Положим для определенности, что сопротивление нагрузки R _н> R ₀. Коэффициент отражения на основании (6.23)│ p │ = (R _н– R ₀)/(R _н+ R ₀)<1. Рассмотрим распространение по линии волны напряжения.

Падающая волна не вся поглощается нагрузкой, часть ее отражается обратно в линию. Амплитуда отраженной волны меньше амплитуды падающей волны, поэтому падающую волну можно представить в виде суммы двух волн. Одна из них, равная по амплитуде отраженной волне, взаимодействуя с ней, образует стоячую волну, Оставшаяся падающая волна является бегущей. Таким образом, в линии возникает смешанная волна, состоящая из бегущей и падающей волн. Данный режим работы называется режимом смешанных волн.

На рис. 6.12 показано распределение по линии модуля комплексной амплитуды напряжения. В линии будут отсутствовать узлы и пучности, а будут наблюдаться минимумы и максимумы амплитуды волны.

Чтобы оценить близость данного режима к режиму бегущей волны, вводят параметр коэффициент бегущей волны:

Коэффициент k _бв можно выразить через коэффициент отражения p:

В режиме бегущих волн │ p │ = 0, поэтому k _бв = 1.

В режиме стоячей волны │ p │ = 1, следовательно, k _бв = 0.

В режиме смешанных волн │ p │ = < 1, поэтому k _бв = < 1.

Величина k _бв изменяется в пределах 0 ≤ k _бв ≤ 1. Таким образом, по величине k _бв можно судить о том какой режим волн установился в линии.

В результате проведенного анализа электрических процессов в линии без потерь можно сделать некоторые выводы:

если переносимая вдоль линии энергия полностью рассеивается на ее конце (линия нагружена на резистивное сопротивление, равное волновому), то отражение энергии отсутствует и в линии существуют только бегущие волны;

если энергия в конце линии не рассеивается короткое замыкание, холостой ход, реактивная нагрузка), то происходит полное отражение волн, и, как следствие этого, в линии образуются только стоячие волны;

когда переносимая вдоль линии энергия лишь частично рассеивается на ее конце (линия замкнута на резистивное сопротивление, не равное волновому), в линии одновременно присутствуют как бегущие, так и стоячие волны.

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов..3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 2000 –575 с.: ил.

2. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.Е. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П.Бакалова. 2-е изд., перераб. и доп. –М.: Радио и связь, 2000 –592 с.: ил.

3. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. –М.: Высшая школа, 1990. –544 с.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.......... 4

Электрическая цепь, схема.................................. 5

Идеализированные элементы электрических цепей.............. 7

Классификация электрических цепей......................... 13

Методы анализа сложных цепей............................... 15

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ........................... 29

Комплексные частотные характеристики линейных

электрических цепей........................................ 29

Последовательный колебательный контур...................... 35

Параллельный колебательный контур......................... 44

Связанные колебательные контура............................ 47

На основании физических рассуждений можно составить следующую эквивалентную схему отрезка (рис. 6.2).

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: