Лекция 4. Производная и дифференциал функции одной переменной

Лекция 4. Производная и дифференциал функции одной переменной

Задача о скорости движущейся точки

Пусть – закон прямолинейного движения материальной точки. Обозначим через путь, пройденный точкой за время , а через путь, пройденный за время . Тогда за время точка пройдет путь , равный: . Отношение называется средней скоростью точки за время от до . Чем меньше , т.е. чем короче промежуток времени от до , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени . Поэтому естественно ввести понятие скорости в данный момент , определив ее как предел средней скорости за промежуток от до , когда :

.

Величина называется мгновенной скоростью точки в данный момент .

Задача о касательной к данной кривой

Пусть на плоскости задана непрерывная кривая уравнением . Требуется провести невертикальную касательную к данной кривой в точке . Так как точка касания дана, то для решения задачи требуется найти угловой коэффициент касательной. Из геометрии известно, что , где – угол наклона касательной к положительному направлению оси (см. рис.). Через точки и проведем секущую , где – угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Из рисунка видно, что , где . Угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке может быть найден на основании следующего определения.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка стремится к точке . Отсюда следует, что .

Определение производной

Математическая операция, требуемая для решения рассмотренных выше задач, одна и та же. Выясним аналитическую сущность этой операции, отвлекаясь от вызвавших ее конкретных вопросов.

Пусть функция определена на некотором промежутке. Возьмем значение из этого промежутка. Придадим какое-нибудь приращение (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции , где .

Составим отношение , оно является функцией от .

Производной функции по переменной в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента , когда произвольным образом:

.

Замечание. Считается, что производная функции в точке существует, если предел в правой части формулы существует и конечен и не зависит от того, как приращение переменной стремится к 0 (слева или справа).

Процесс нахождения производной функции называется ее дифференцированием.

Нахождение производных некоторых функций по определению

а) Производная постоянной.

Пусть , где – постоянная, т.к. значения этой функции при всех одинаковы, то ее приращение равно нулю и, следовательно,

.

Итак, производная постоянной равна нулю, т.е. .

б) Производная функции .

Составим приращение функции:

.

При нахождении производной использовали свойство предела произведения функций, первый замечательный предел и непрерывность функции .

Таким образом, .

Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную во всех точках некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Придадим аргументу произвольное приращение . Тогда функция получит приращение . Запишем равенство и перейдем к пределу в левой и правой частях при :

Поскольку у непрерывной функции бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то теорему можно считать доказанной.

Замечание. Обратное утверждение не имеет места, т.е. из непрерывности функции в точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость в этой точке. Например, функция непрерывна при всех , но она не дифференцируема в точке . Действительно:

Предел бесконечен, значит, функция не дифференцируема в точке .

Таблица производных элементарных функций

Замечание. Напомним свойства степеней и корней, используемые при дифференцировании функций:

Приведем примеры нахождения производных.

1) .

2)

Производная сложной функции

Пусть . Тогда функция будет сложной функцией от x.

Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в точке u, то тоже дифференцируема в точке x, причем

.

Примеры.

1.

Полагаем , тогда . Следовательно

.

При достаточном навыке промежуточную переменную u не пишут, вводя ее лишь мысленно.

2.

.

Дифференциал

К графику непрерывной функции в точке проведем касательную MT, обозначив через j ее угол наклона к положительному направлению оси Ох. Так как , то из треугольника MEF следует, что

.

Введем обозначение

.

Это выражение называется дифференциалом функции . Итак

.

Замечая, что , т.е. что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, получим

.

Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной.

Из последней формулы следует, что , т.е. производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

Дифференциал функции dy геометрически представляет собой приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента D х.

Из рисунка видно, что при достаточно малом D х по абсолютной величине можно взять приращение функции приближенно равным ее дифференциалу, т.е.

.

Рассмотрим сложную функцию , где , причем дифференцируема по u, а – по х. По правилу дифференцирования сложной функции

.

Умножим это равенство на dx:

Так как (по определению дифференциала), то

или

Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, если бы переменная u была не промежуточным аргументом, а независимой переменной.

Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменяемостью) формы дифференциала.

Пример. .

Все правила дифференцирования можно записать для дифференциалов.

Пусть – дифференцируемы в точке х. Тогда

Докажем второе правило.

Производная неявной функции

Пусть дано уравнение вида , связывающее переменные и . Если нельзя явно выразить через , (разрешить относительно ) то такая функция называется неявно заданной. Чтобы найти производную от такой функции, нужно обе части уравнения продифференцировать по , считая функцией от . Из полученного нового уравнения найти .

Пример. .

Дифференцируем обе части уравнения по , помня, что есть функция от

Лекция 4. Производная и дифференциал функции одной переменной

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: