|
Механический и геометрический смысл производной ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Обращаясь к рассмотренным ранее задачам, приводящим к понятию производной, можно сформулировать следующие утверждения. 1) Скорость прямолинейного движения точки есть производная пути по времени : . Это механический смысл производной. Поэтому производную любой функции называют скоростью изменения этой функции. 2) Угловой коэффициент невертикальной касательной к непрерывной кривой в точке с абсциссой есть производная , т.е. . Это геометрический смысл производной. Известно, что уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом имеет вид: . С учетом этой формулы уравнение касательной к кривой в точке принимает вид: Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно к касательной в этой точке. Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением , откуда . Следовательно, если , то уравнение нормали к кривой в точке можно записать в виде . Пример. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Так как , то угловой коэффициент касательной в указанной точке . Следовательно, уравнение касательной . Уравнение нормали . Общие правила дифференцирования Производные любых функций можно найти непосредственно по определению, как показано в п.4.4. Однако каждый раз делать это весьма затруднительно, поэтому для дифференцирования произвольных функций можно воспользоваться таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования. Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда их сумма, разность, произведение и частное также дифференцируемы в точке , причем
Для примера выведем правило дифференцирования произведения двух функций. Пусть . Придадим аргументу произвольное приращение , тогда в результате этого функции получат соответственно приращения : Таким образом, . При выводе использовано условие дифференцируемости, а, следовательно, и непрерывности функции , в силу чего . В частности, из доказанной формулы вытекает правило: т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной. Таблица производных элементарных функций Замечание. Напомним свойства степеней и корней, используемые при дифференцировании функций: Приведем примеры нахождения производных. 1) . 2) Производная сложной функции Пусть . Тогда функция будет сложной функцией от x. Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в точке u, то тоже дифференцируема в точке x, причем . Примеры. 1. Полагаем , тогда . Следовательно . При достаточном навыке промежуточную переменную u не пишут, вводя ее лишь мысленно. 2. . Логарифмическое дифференцирование Показательно-степенной функцией называется функция вида , где , – дифференцируемые функции и . Для нахождения производной такой функции ее сначала логарифмируют, а затем дифференцируют полученное равенство. Логарифмическое дифференцирование применяется также для функций, состоящих из большого числа сомножителей или являющихся отношением произведений нескольких функций. Примеры. 1. Найти производную функции . . 2. Найти производную функции . ; ; . Замечание. При решении применялись следующие свойства логарифмов: Дифференциал К графику непрерывной функции в точке проведем касательную MT, обозначив через j ее угол наклона к положительному направлению оси Ох. Так как , то из треугольника MEF следует, что . Введем обозначение . Это выражение называется дифференциалом функции . Итак . Замечая, что , т.е. что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, получим . Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной. Из последней формулы следует, что , т.е. производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента. Дифференциал функции dy геометрически представляет собой приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента D х. Из рисунка видно, что при достаточно малом D х по абсолютной величине можно взять приращение функции приближенно равным ее дифференциалу, т.е. . Рассмотрим сложную функцию , где , причем дифференцируема по u, а – по х. По правилу дифференцирования сложной функции . Умножим это равенство на dx: Так как (по определению дифференциала), то или Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, если бы переменная u была не промежуточным аргументом, а независимой переменной. Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменяемостью) формы дифференциала. Пример. . Все правила дифференцирования можно записать для дифференциалов. Пусть – дифференцируемы в точке х. Тогда Докажем второе правило. Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|