Система двох випадкових величин

Системою двох випадкових величин (або двовимірною випадковою величиною) називається сукупність двох випадкових величин (або ), які розглядаються сумісно. Система двох випадкових величин геометрично зображується як випадкова точка з координатами на площині або як випадковий вектор, напрямлений з початку координат у точку .

Функцією розподілу системи двох випадкових величин називається ймовірність сумісного виконання двох нерівностей , тобто . Геометрично це означає, що є ймовірність того, що випадкова точка потрапить у нескінченний квадрант з вершиною , який розташований лівіше та нижче цієї вершини.

Елементом ймовірності для системи двох випадкових величин називається величина , яка приблизно дорівнює ймовірності того, що випадкова точка потрапить в елементарний прямокутник зі сторонами , який примикає до точки .

Основні властивості функції розподілу :

1) ;

2) ;

3) ;

4) неспадна функція за аргументами ;

5) ; , де – функції розподілу випадкових величин і відповідно.

Для системи двох неперервних випадкових величин функція розподілу неперервна.

Щільність ймовірності системи двох неперервних випадкових величин виражається через функцію розподілу формулою .

Основні властивості щільності ймовірності:

1) ;

2) ;

3) – ймовірність потрапляння випадкової точки у довільну область D;

4) ;

5) , де – щільності ймовірності випадкових величин і відповідно.

Умовним законом розподілу випадкової величини, яка входить до системи, називається її закон розподілу, обчисленний за умови, що інша випадкова величина прийняла певне значення.

Умовні функції розподілу випадкових величин і , які входять до системи, позначаються , а умовні щільності – . Правила множення щільностей полягають в тому, що . Звідси отримуємо вирази умовних щільностей через безумовні:

при ;

при .

Випадкові величини і називаються незалежними, якщо умовний закон розподілу однієї з них не залежить від того, яке значення прийме інша. Для незалежних випадкових величин правило множення щільностей має вигляд .

Математичні сподівання випадкових величин і , які входять до системи, визначаються за допомогою формул:

;

.

Дисперсії випадкових величин і , які входять до системи, визначаються за допомогою формул:

;
.

Особливе значення має кореляційний момент , який визначається таким чином: . характеризує взаємозв'язок двох випадкових величин і .

Кореляційний момент можна обчислити за формулами:

;

.

Коефіцієнтом кореляції двох випадкових величин називається безрозмірна величина , де

, .

Випадкові величини називаються некорельованими, якщо .

Із незалежності випадкових величин випливає їх некорельованість; навпаки, із некорельованості випадкових величин ще не випливає їх незалежність.

Якщо випадкові величини пов'язані лінійною функціональною залежністю виду , то , де знак «+», або «–» відповідає знаку коефіцієнта а.

Для будь-яких двох випадкових величин .

ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

Задача 1. а) Подати комплексне число в алгебраїчній формі. б) Подати функцію у вигляді . Знайти множину точок, де функція аналітична або тільки диференційовна.

Розв'язання.

а) Застосуємо формулу Ейлера . Тоді отримаємо . Остаточно
.

б) Відокремлюємо дійсну і уявну частини функцій і . Маємо: ,

.

Остаточно отримаємо:

. Таким чином,

,

.

Для перевірки умов Коші–Рімана знаходимо похідні .

,
,

,

.

Отже, рівності , виконуються для будь-якої точки комплексної площини. Звідки функція всюди аналітична.

Відповідь: а) ; б) функція є аналітичною на всій комплексній площині.

Задача 2. Знайти область збіжності ряду Лорана

.

Розв'язання.

Ряд Лорана

збігається в кільці , якщо , , .

Для ряду за від'ємними степенями змінної маємо: , ,

. Для ряду за додатними

степенями змінної маємо:

, ,
.

Таким чином, r = e, R = 5.

Отже, заданий ряд збігається в кільці . Область збіжності ряду Лорана (кільце) зображена на рис. 6.1 за допомогою штриховки.

Відповідь: ряд збігається в кільці .

З а д а ч а 3. Визначити тип особливої точки для даної функції .

Розв'язання.

Скористаємось формулами для розкладання функцій у ряд Лорана: ;

. У формулі для замість z візьмемо 3 z, а у формулі для замість z треба взяти .

Тоді отримаємо
,

, . Оскільки,

Причому , то — полюс п'ятого порядку.

Відповідь: полюс п'ятого порядку.

З а д а ч а 4. Обчислити інтеграли

a) . б) .

в) . г) .

Розв'язання.

а) У крузі підінтегральна функція

має дві особливі точки z=0 і z=–1, причому z=0 – полюс третього порядку, z=–1 – простий полюс. За теоремою Коші про лишки маємо: .

Послідовно знаходимо:

,

, ,

.

Остаточно отримуємо: .

б) Застосовуючи підстановку , одержимо:

, , , .

Для підінтегрального виразу отримаємо:

. Початковий інтеграл J

набуває вигляду .

Особливими точками функції є ті значення z, які перетворюють в нуль знаменник . Розв'язавши квадратне рівняння , знаходимо його корені , , .

Очевидно, що в круг потрапляє тільки особлива точка – простий полюс функції . За теоремою Коші про лишки маємо: .

, .

в) Позначимо , .

Функція на дійсній осі співпадає з , на верхній півплощині має прості полюси , .

;

. Скористаємось формулою . У нашому випадку дорівнює . Остсточно маємо

.

г) Розглянемо допоміжну функцію . Якщо z=x, то співпадає з підінтегральною функцією . Розглянемо контур, зображений на рис. 6.2.

При достатньо великих R на контурі функція при . Таким чином, за лемою Жордана .

За теоремою про лишки при маємо .

Функція на верхній півплощині має простий полюс . Тоді

.

При за умови маємо для інтеграла

Остаточно маємо .

Відповідь: a) ; б) ; в) ; г) .

З а д а ч а 5. Знайти оригінал за заданим зображенням

.

Розв'язання.

Наведемо два способи розв'язання задачі 5.

1-й спосіб. Розкладаємо функцію на суму найпростіших раціональних дробів, оригінали яких відомі. Застосовуючи метод невизначених коефіцієнтів, маємо

. Звідси

.

Зрівнюючи вирази при однакових степенях p, одержимо cистему лінійних рівнянь, розв'язавши яку, знаходимо коефіцієнти A, B, C:

Отже, .

Використовуючи таблицю зображень основних елементарних функцій, маємо: , .

Застосовуючи властивість лінійності перетворення Лапласа, остаточно одержимо: .

Відзначимо, що для даної задачі подати заданий дріб у вигляді суми найпростіших раціональних дробів можна було б значно простіше, не застосовуючи метод невизначених коефіцієнтів. Це пов'язано з тим, що заданий дріб можна подати таким чином

.

2-й спосіб. Для знаходження оригіналу скористаємось теоремою про згортку.

Оскільки , , то

.

Відповідь: .

З а д а ч а 6. Методом операційного числення розв'зати диференціальне рівняння з заданими початковими умовами

, , .

Розв'язання.

Знайдемо зображення лівої і правої частин початкового диференціального рівняння

, ,

, .

Операторне рівняння має вигляд:

або

. Звідки

.

Знаходимо оригінал для . Оскільки ,

то , . Остаточно отримаємо .

Відповідь: .

З а д а ч а 7. Методом операційного числення розв'язати

систему диференціальних рівнянь

.

Розв'язання.

Переходимо до операторної системи, для чого знаходимо зображення лівої і правої частин кожного із рівнянь заданої системи. Берем до уваги, що , ,

,

.

Операторна система має вигляд

Розв'язавши останню систему, отримаємо:

, .

По зображеннях , неважко знайти оригінали, які мають вигляд , .

Відповідь: , .

З а д а ч а 8. На рисунку 6.3 наведено схему з'єднання елементів, які утворюють ланцюг з одним входом і одним виходом. Елементи виходять із ладу за час Т незалежно один від одного. Відмова будь-якого із елементів призводить до припинення сигналу в тій вітці ланцюга, де знаходиться даний елемент. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи за час Т) к -го елемента дорівнює (ймовірність його відмови відповідно дорівнює ). Знайти надійність P схеми.

Розв'язання.

Дану схему можна подати у вигляді ланцюга, який складається із трьох послідовно ввімкнених блоків. Перший блок складається із двох паралельно з'єднаних елементів з надійностями і , другий блок – із одного елемента з надійністю , третій блок – із трьох паралельно з'єднаних віток, де перша вітка складається із елементів з надійністю , друга вітка – із двох послідовно з'єднаних елементів з надійностями і , третя вітка – із трьох послідовно з'єднаних елементів з надійностями , і .

Відмова першого блоку потребує сумісної відмови обох його елементів; ймовірність відмови цього блоку за правилом множення для незалежних подій дорівнює , а його надійність дорівнює ймовірності протилежної події, тобто . Для третього блоку надійність дорівнює .

При її обчисленні ми врахували, що на вітках, де є елементи з надійностями і , а також елементи з надійностями , і , відбудеться переривання тільки тоді, коли відмовить хоча б один із елементів відповідної вітки.

Схема в цілому працює безвідмовно тільки при безвідмовній роботі всіх трьох блоків. Отже, за правилами множення ймовірностей незалежних подій надійність P схеми дорівнює: .

Відповідь: .

З а д а ч а 9. За даними технологічного контролю в середньому 2% виготовлених на заводі наручних годинників потребують додаткового регулювання. Знайти ймовірність того, що із 100 наручних годинників, виготовлених на заводі, додаткового регулювання потребують не більше 3-x наручних годинників.

Розв'язання.

Нехай А – подія, яка полягає в тому, що із 100 годинників додаткового регулювання потребують не більше 3-x годинників. Оскільки 2% виготовлених годинників потребують додаткового регулювання, то ймовірність p того, що годинники потребують регулювання, дорівнює: . Враховуючи, що , а є малим, то шукану ймовірність можна знайти за наближеною формулою Пуассона , де – число появ події в незалежних випробуваннях, – середнє число появ події в незалежних випробуваннях. Для нашої задачі .

За формулою Пуассона матимемо

Відповідь: .

З а д а ч а 10. Закон розподілу дискретної випадкової величини X заданий у вигляді таблиці.

Потрібно: 1) обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення; 2) знайти функцію розподілу випадкової величини X.

Розв'язання.

1. Математичне сподівання знаходимо за формулою ,

де N – кількість значень, яких набуває дискретна випадкова величина X. Для заданої випадкової величини

.

Дисперсію дискретної випадкової величини обчислюємо за формулою .

Для нашої задачі
.

Середнє квадратичне відхилення . Скориставшись знайденим значенням дисперсії, одержимо: .

2. За означенням, функція розподілу випадкової величиини .

Для дискретної випадкової величини, яка набуває N різних значень з ймовірністю , функція розподілу

.

Для даної дискретної випадкової величини функція розподілу має такий вигляд

.

Відповідь: ; ; .

З а д а ч а 11. Задана щільність ймовірності випадкової величини X:

Знайти:

1) коефіцієнт ;

2) функцію розподілу ;

3) ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал ;

4) математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х.

Розв'язання.

1. Для знахождення коефіцієнта скористаємося властивістю щільності ймовірності : .

.

Отже,

2. Функцію розподілу неперервної випадкової величини знаходимо за формулою .

а) при ;

б) при

;

в) при

.

3. Ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал можна знайти за формулою .

Для нашої задачі:

.

4. Математичне сподівання знаходимо за формулою

. Для нашої задачі отримаємо

. Здобутий інтеграл знаходимо за формулою інтегрування частинами . Для нашої задачі . Тоді .

Дисперсію випадкової величини можна обчислити за формулою . Тоді отримаємо
. Для обчислення інтеграла .

Необхідно двічи застосувати формулу інтегрування частинами. Остаточно . Отже,

.

Відповідь: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

З а д а ч а 12. Систему випадкових величин задано щільністю ймовірності . Знайти: 1) коефіцієнт а; 2) щільність ймовірності випадкової величини Х; 3) кореляційний момент ; 4) ймовірність потрапляння випадкової точки в задану область D. Зобразити на рисунку області S і D.

S – трикутник, обмежений прямими,

.

Розв'язання.

Область S, в якій задана щільність, – це трикутник ОАB, а область D – це круг радіуса 1 з центром в початку координат. Області S і D наведено на рис. 6.4.

1. Коефіцієнт а отримаємо з умови нормування

. Перейшовши до двократного інтегралу, маємо . Обчисливши внутрішній інтеграл, одержимо . Звідси маємо:

; .

2. Щільність ймовірності випадкової величини Х знаходимо за формулою . З урахуванням заданої області S і знайденого вище коефіцієнта а маємо:

3. Кореляційний момент знаходимо за формулою

, де – математичні сподівання випадкових величин X і Y відповідно.

Визначаємо спочатку математичні сподівання .

,

.

Тепер обчислюємо інтеграл: .

Отже, шуканий кореляційний момент дорівнює:

.

4. Ймовірність p потрапляння випадкової точки в задану область D визначаємо за формулою . При обчисленні подвійного інтеграла зручно перейти до полярних координат за формулами . Для нашої задачі з урахуванням того, що і щільність ймовірності

де S – трикутник, обмежений прямими маємо:

, . Отже, для шуканої ймовірності отримаємо:

.

Відповідь: 1. ; 2. 3. ;

4. .

ЗАПИТАННЯ ДО ІСПИТУ ЗА 3-Й СЕМЕСТР

1. Комплексні числа. Алгебраїчна форма комплексного числа. Основні дії над комплексними числами.

2. Тригонометрична форма комплексного числа.

3. Піднесення комплексного числа до степеня і добування кореня із комплексного числа. Формула Муавра.

4. Показникова форма комплексного числа. Формули Ейлера.

5. Поняття функції комплексної змінної. Границя і неперервність функції комплексної змінної. Елементарні функції комплексної змінної.

6. Диференціювання функції комплексної змінної. Умови Коши-Рімана. Аналітичні функції.

7. Відновлення аналітичної функції за її відомою дійсною або уявною частинами.

8. Інтегрування функції комплексної змінної.

9. Теорема Коши для однозв'язної і багатозв'язної областей. Інтегральна формула Коши.

10. Ряди в комплексній області. Ряди Тейлора і Лорана.

11. Нулі функції. Ізольовані особливі точки і їх класифікація.

12. Лишки функції. Обчислення лишків.

13. Теорема Коши про лишки.

14. Лема Жордана.

15. Застосування лишків до обчислення невласних і визначених інтегралів.

16. Перетворювання Лапласа і його найпростіші властивості.

17. Зображення одиничного імпульсу і періодичної системи імпульсів.

18. Згортка двох функцій, теорема про згортку. Інтеграл Дюамеля.

19. Відновлення оригіналу за заданим зображенням.

20. Розв'язання задачі Коши для звичайнних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

21. Розв'язання звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами за допомогою теореми про згортку та інтеграла Дюамеля.

22. Розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь методами операційного числення.

23. Основні поняття теорії ймовірностей: випадкова подія, достовірна і неможлива подія.Частота і ймовірність випадкової події. Повна група подій.

24. Класичне означення ймовірності.

25. Алгебра подій. Геометричні ймовірності.

26. Сума подій. Протилежні події. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

27. Добуток подій. Незалежні події. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

28. Залежні події. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

29. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

30. Ймовірності появ хоча б однієї події.

31. Формула повної ймовірності.

32. Ймовірность гіпотез. Формула Байєса.

33. Випадкова величина. Види випадкових величин.

34. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

35. Біномінальний розподіл. Формула Бернуллі.

36.Числові характеристики дискретних випадкових величин.

37. Математичне сподівання дискретної випадкової величини і її властивості.

38. Відхилення випадкової величини від її математичного сподівання. Центрована випадкова величина.

39. Дисперсія дискретної випадкової величини і її властивості.

40. Середнє квадратичне відхилення.

41. Неперервна випадкова величина.

42. Щільність ймовірності (диференціальна функція розподілу) неперервної випадкової величини і її властивості.

43. Функції розподілу (інтегральна функція розподілу) неперервної випадкової величини і її властивості.

44. Числові характеристики неперервної випадкової величини.

45. Ймовірності потрапляння неперервної випадкової величини в заданий інтервал.

46. Закон рівномірного розподілу ймовірності.

47. Закон П

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: