Дискретні випадкові величини

Випадковою величиною називається змінна величина, яка в результаті випробування може приймати те чи інше значення, заздалегідь невідоме. Випадкові величини позначатимемо (або ), а їх значення – .

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, можливі значення якої можна перенумерувати.

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, яке установлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм ймовірностями. Закон розподілу може мати різні форми.

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий аналітично , рядом розподілу (таблицею), багатокутником розподілу ймовірностей, тобто ломаною, вершини якої мають координати .

Для дискретної випадкової величини має виконуватися рівність для скінченної послідовності значень величини або рівність для нескінченної послідовності.

Функцією розподілу випадкової величини (інтегральним законом розподілу) називається функція , яка дорівнює ймовірності того, що прийме значення, менше від х: .

Основні властивості функції розподілу:

1) , ;

2) функція неспадна: якщо , то ;

3) .

Для дискретної випадкової величини, яка приймає значення , функція розподілу має вигляд , де символ означає, що підсумовування поширюється на всі ті можливі значення випадкової величини, які менше за х.

Числові характеристики випадкової величини – це величини, які в стислій формі характеризують найбільш істотні особливості того чи іншого розподілу. До найбільш важливих з них відносяться математичне сподівання, яке характеризує середнє значення випадкової величини (позначається або ), та дисперсія, яка характеризує ступінь розсіювання, відхилення значень випадкової величини від її середнього значення (позначається або ).

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на їх ймовірності .

Якщо можливих значень дискретної випадкової величини нескінченна множина, то для існування математичного сподівання необхідно, щоб ряд збігався абсолютно.

Основні властивості математичного сподівання:

1) , де С – стала величина;

2) сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання: ;

3) , де – сталі.

Центрованою випадковою величиною , відповідній величині , називається різниця між та її математичним сподіванням : . Математичне сподівання центрованої випадкової величини дорівнює нулю: .

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата центрованої випадкової величини, тобто .

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь із її дисперсії:

.

Ця величина зручна тим, що має розмірність випадкової величини.

Основні властивості дисперсії:

1) , де С – стала величина;

2) сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання, якщо піднести його до квадрата ;

3) , де – сталі;

4) .

Дисперсія дискретної випадкової величини обчислюється за формулами: , .

Узагальненням основних числових характеристик є поняття моменту випадкової величини. Розглядають початкові та центральні моменти.

– початковий момент к-го порядку.

– центральний момент к-го порядку.

Для дискретної випадкової величини маємо ,

.

Очевидно, що , .

Модою дискретної випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення.

До найбільш важливих прикладів розподілу дискретної випадкової величини належать розподіли Пуассона та біномний.

Дискретна випадкова величина називається розподіленою за біномним законом, якщо її можливі значення 0,1...., m,..., n, а відповідні ймовірності визначаються формулою Бернуллі

, де , .

Математичне сподівання та дисперсія біномного розподілу дорівнюють відповідно .

Дискретна випадкова величина називається розподіленою за законом Пуассона, якщо її можливі значення 0,1...., m, а

відповідні ймовірності визначаються формулою , де , .

Математичне сподівання та дисперсія розподілу Пуассона однакові і дорівнюють .

Розподіл Пуассона є граничним для біномного при

, , якщо .

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: