Полевые величины в переменных Эйлера

В предыдущих разделах курса в основном рассматривалось движение материальной точки, либо абсолютно твердого тела. Движение деформируемых твердых или жидких тел практически не затрагивалось. Исключением является описание свойств однородного упругого стержня или пружины с помощью закона Гука.

В настоящем разделе курса мы рассмотрим некоторые простые способы описания движения деформируемых тел, в которых преобладают неупругие деформации. Поскольку описание деформаций вообще представляет достаточно сложную задачу, мы ограничимся изучением свойств сплошной среды. Сплошной средой называется физическое тело, свойства которого в соседних точках мало отличаются. Это означает, что физические величины, определяющие рассматриваемые свойства сплошной среды, близки в соседних точках. Традиционными примерами таких тел являются жидкости или газы.

Предполагается, что механические и термодинамические характеристики сплошной среды могут быть описаны физическими полями, такими как поле плотности, скорости, давления и т.д. Напомним, что полем физической величины называется одна или несколько функций, заданных в каждой точке пространства в каждый момент времени.

На практике задание поля физической величины связано с определенной процедурой усреднения, которую мы поясним примерами.

Предположим, что рассматриваемое тело можно представить в виде совокупности большого числа частиц постоянного состава, каждая из которых занимает некоторый элементарный объем. Если элементарный объем, занимаемой частицей можно выбрать так, чтобы его размерами можно было пренебречь при описании движения, то такую частицу можно рассматривать, как материальную точку. В большинстве случаев этот объем следует выбрать достаточно малым. Движение сплошной среды тогда может быть представлено, как движение очень большой совокупности таких частиц. Более подробно понятие «элементарный объем» рассматривается ниже.

Одним из возможных методов описания является определение движения каждой из частиц, т.е. определение физических величин, с ними связанных. Такой подход называется описанием Лагранжа. Применение описания Лагранжа представляет определенные удобства, поскольку непосредственно связано с возможностью использования моделей материальной точки и твердого тела. Однако, на практике такой подход используется только для изучения движения в течение небольших интервалов времени. Если сплошная среда движется в ограниченном объеме в течение достаточно большого времени, то траектории частиц сильно перепутываются. Частицы, первоначально находившиеся в соседних точках пространства, оказываются разделенными. Элементарные объемы, занимаемые соседними частицами, при таком движении сильно деформируются и могут иметь значительное протяжение при малом объеме. Это приводит к тому, что малость первоначального объема не гарантирует близости физических свойств вещества в нем спустя некоторое время, что в свою очередь исключает применения аппарата дифференциального исчисления к такой среде.

Описание взаимодействия в сплошной среде

Для построения динамической теории необходимо ввести физические величины, описывающие действие на выделенный элементарный объем других тел. В механике материальной точки для этого использовался вектор силы. Рассмотрим силовое описание воздействия и в механике сплошной среды, введя необходимые модификации. Напомним, что в механике точки мы разделяли силы на два основных типа – силы дальнодействующие, для которых можно указать зависимость от расстояния между телами, и силы контактные, возникающие при соприкосновении точки и твердого тела. Контактные силы обусловлены малыми деформациями, которые не регистрируются обычным способом, и поэтому контактные силы мы выделяли в особый класс сил, называемых силами реакции.

Аналогичное разделение целесообразно провести и в механике сплошной среды. Рассмотрим вначале дальнодействующие силы, к которым относятся электромагнитные и гравитационные силы. Пусть элементарный объем

заполнен сплошной средой плотности

, так что его масса

. Сила тяжести, действующая на этот объем,

оказывается пропорциональной величине объема независимо от его размеров и формы:

. Векторный коэффициент пропорциональности называется (объемной) плотностью силы:

. В рассматриваемом случае объемная плотность силы имеет вид:

Плотность силы задается в каждой точке пространства в каждый момент времени и определяет физическое поле плотности силы:

По определению, для дальнодействующих сил можно ввести поле плотности силы, если сила, действующая на элементарный объем

пропорциональна величине этого объема и не зависит от его формы и размеров. К силам такого типа относятся и электромагнитные силы, действующие на заряженную сплошную среду, если распределение заряда пропорционально величине элементарного объема.

Для контактных сил ситуация несколько иная. Существуют такие контактные силы, величина которых пропорциональна площади соприкосновения рассматриваемого элементарного объема с другими телами:

. Величину и ориентацию элементарной поверхности соприкосновения зададим вектором

. Направление векторов

не обязательно совпадает и может зависеть от ориентации площадки, поэтому коэффициенты пропорциональности образуют тензор второго ранга. Поэтому соотношение между элементарной силой и элементарной площадкой удобнее записать в тензорных обозначениях. Пусть

- проекции элементарного вектора силы, а

- проекции вектора элементарной площадки. Тогда условие пропорциональности имеет вид:

, где тензор второго ранга

определяет поле, характеризующее контактное воздействие на данную элементарную поверхность других частей сплошной среды. Положение элементарной площадки в выбранной систем отсчета определяется ее координатами

в данный момент времени

и ориентацией, задаваемой вектором

. Этот тензор называется тензором локальных напряжений.

Диагональные компоненты тензора определяют нормальные (перпендикулярные) составляющие вектора силы, действующего на площадку, а недиагональные – касательные составляющие этой силы.

В общем случае тензор второго ранга задается девятью компонентами, однако во многих средах в силу закона сохранения кинетического момента этот тензор оказывается симметричным:

что снижает число независимых компонент тензора до 6. Соответствующим выбором ориентации осей координатной системы можно привести симметричный тензор к диагональному виду.

В простых моделях сплошной среды ее воздействие на элементарную площадку можно считать не зависящим от ориентации. Такая среда называется изотропной. Если касательные составляющие сил, действующих на площадку пренебрежимо малы, то тензор напряжений в этом случае оказывается диагональным, причем все его компоненты одинаковы. Такая ситуация реализуется в модели взаимодействия жидкости или газа, находящегося в относительном равновесии, описываемом законом Паскаля. Жидкость или газ, подчиняющиеся этому закону, называются идеальными. Тензор напряжений идеальной сплошной среды имеет вид:

Знак «минус» в этом выражении выбран так, чтобы элементарная сила, действующая на поверхность, ограничивающую некоторый выделенный объем, была направлена внутрь этого объема при стандартном выборе внешней к поверхности нормали. При этом удобно считать коэффициент пропорциональности

положительной величиной.

В более сложных случаях применяются модели, в которых сила, действующая на элементарную поверхность, имеет касательные составляющие, обычно пропорциональные скорости.

Рассмотрим изменение массы в некотором выделенном объеме сплошной среды

, предполагая, что ее частицы могут свободно проникать сквозь поверхность

, ограничивающую этот объем. Пусть

- заданное поле плотности. Масса в выделенном объеме определяется интегралом

Изменение массы, в силу локального закона ее сохранения, могут быть вызваны только потоками массы через поверхность

Балансные соотношения для массы приводят к уравнению:

Используя теорему Остроградского-Гаусса, правую часть этого выражения можно преобразовать к интегралу по объему, так что выражение примет вид:

Поскольку полученное соотношение справедливо для любого объема сплошной среды, т. е. является тождеством относительно

, то подынтегральное выражение в левой и правой частях этого равенства совпадает. Это приводит к уравнению непрерывности в дифференциальной форме:

Это соотношение можно записать в векторной форме:

Векторная величина

называется плотностью потока массы.

Еще одна распространенная форма записи связана с введением субстанциальной производной

. Понятие о субстанциальной производной связано с представлением о дифференцировании вдоль траектории движения частицы и фактически представляет собой переход от описания Эйлера к описанию Лагранжа. Мы будем рассматривать субстанциальную производную только как некоторый дифференциальный оператор, упрощающий форму записи уравнений.

Выполняя дифференцирование во втором слагаемом, получаем:

Вводя субстанциальную производную, получим:

В векторной форме это соотношение имеет вид:

Если рассматриваемая сплошная среда является несжимаемой, т.е.

, то из уравнения непрерывности следует, что

, т.е. вдоль любой линии тока плотность среды остается постоянной

Несколько сложнее получить дифференциальные уравнения, определяющие изменение импульса сплошной среды. Воспользуемся для этого теоремой об изменении импульса системы, учитывая, что число частиц в ней может изменяться.

Вновь рассмотрим мысленно выделенный объем

, проницаемый для частиц сплошной среды, и определим импульс этого объема. Поскольку импульс элементарного объема

определяется уравнением:

полный импульс выделенного объема определяется интегралом:

Изменение импульса в этом объеме вызвано двумя независимыми факторами. Частично изменение импульса в выделенном объеме обусловлено переносом его частицами, пересекающими границу объема. Поток импульса через границу определяется выражением:

Другая часть изменения импульса выделенного объема вызвана приложенными к нему внешними силами и определяется соответствующей теоремой динамики системы частиц. Это приводит к следующему уравнению, учитывающему действие как объемных, так и поверхностных сил:

Подставляя сюда выражение для потока импульса через границу, получим выражение для скорости изменения импульса рассматриваемого объема:

Переходя, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, от интегрирования по поверхности к интегрированию по объему, получим окончательно:

В силу произвольности объема интегрирования, можно перейти к дифференциальному уравнению, определяющему изменение импульса сплошной среды:

Для идеальной жидкости

это уравнение принимает вид:

Использование субстанциальной производной позволяет записать уравнение в векторной форме

которую можно упростить, учитывая уравнение непрерывности

Вместе с уравнением непрерывности это уравнение составляет основу описания идеальной сплошной среды.

Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера позволяют определить поле скоростей и поле плотности для системы, в которой задано поле давлений и поле массовых сил. Однако в обычной постановке задач поле давлений не задано. Для формулировки задач о движении сплошной среды в этом случае необходимы дополнительные соотношения, связывающие давление, плотность и скорость. Такие соотношения могут быть получены в рамках термодинамики. Напомним основные свойства классических термодинамических систем (ТД систем).

Характеристики тела определяются совокупностью механических величин, таких как масса, плотность, объем, полная энергия, давление, а также специфических термодинамических величин, определяющих параметры теплового движения, таких как температура. Термодинамические характеристики могут быть использованы только для систем, находящихся в термодинамическом равновесии.

Состояние однородной системы при заданном числе частиц N = const определяется термодинамическими переменными – давлением, объемом и температурой - p, V, T. Связь между этими переменными определяется свойствами рассматриваемого вещества и задается термическим уравнением:

Одной из основных характеристик системы частиц является ее энергия. Полная энергия молекул, включающая энергию хаотического (теплового) движения молекул и энергию их взаимодействия в рассматриваемой системе отсчета, усредненная за время измерения, называется внутренней энергией. Внутренняя энергия термодинамической системы является функцией состояния. Напомним, что для идеального одноатомного газа внутренняя энергия определяется соотношением:

Воздействие на ТД систему внешних тел условно подразделяется на механическое, вызывающее деформации (изменение объема), и тепловое, которое может изменять состояние системы без деформаций.

При механическом воздействии изменение внутренней энергии системы определяется совершенной ею механической работой. Величина теплового воздействия определяется количеством энергии, передаваемой системе в процессе теплопередачи, и измеряется количеством теплоты. Суммарное изменение внутренней энергии во всех процессах

Количество теплоты и механическая работа, совершенная системой при переходе из начального состояния в конечное, зависят как от этих состояний, так и от характера перехода. То есть, они не являются функциями начального и конечного состояний рассматриваемой системы.

Теплопередача обычно сопровождается изменением температуры системы. Если изменение температуры при теплопередаче пропорционально количеству теплоты, полученной системой:

что обычно бывает в случае малых изменений в системе

то коэффициент пропорциональности, зависящий как от вещества, так и от характера рассматриваемого процесса, называется теплоемкостью:

Здесь индекс указывает характер процесса: изобарный, изохорный и т.д.

В общем случае теплоемкость процесса зависит от начального состояния системы. Если механическая работа системой не совершается, то количество теплоты, полученное системой, равно изменению ее внутренней энергии, которая является функцией ее термодинамических параметров, например, температуры и объема

Малое изменение внутренней энергии системы в этом случае приводит к малому изменению ее температуры. Коэффициент пропорциональности

в этом случае называется теплоемкостью при постоянном объеме, т.к.

, и зависит от температуры и объема. Задание

называется калорическим уравнением:

Одной из простейших содержательных моделей является модель идеального газа. Для массы m идеального одноатомного газа теплоемкость изохорного процесса

Теплоемкость изобарного процесса такого газа связана с изохорной теплоемкостью соотношением Майера:

Вводя отношение теплоемкостей

, соотношение Майера можно записать в виде

Удобной моделью для быстро протекающих механических обратимых процессов, когда теплообменом можно пренебречь, является адиабатическое приближение. Теплоемкость системы в таком процессе равна нулю. Используя первое начало термодинамики в дифференциальной форме, получим уравнение, связывающее давление и объем в этом процессе – уравнение Пуассона.

При малых изменениях объема системы элементарная работа пропорциональна изменению объема, а коэффициент пропорциональности определяется термическим уравнением состояния

, так что первое начало термодинамики может быть представлено в дифференциальной форме, причем все величины, входящие в правую часть уравнения являются функциями состояния:

Для идеального газа

. С учетом термического уравнения

первое начало термодинамики для адиабатических процессов приводит к уравнению

Если переход из начального состояния в конечное можно рассматривать как последовательность промежуточных квазиравновесных состояний, то дифференциальное соотношение допускает интегрирование:

Учитывая термическое уравнение, отсюда легко получить зависимость давления от объема системы – адиабату Пуассона, описывающую обратимые процессы без теплопередачи:

Здесь

- параметры начального состояния системы.

Мы рассмотрим далее не только квазиравновесные процессы. Движение газа может сопровождаться возникновением ударной волны, в которой энтропия системы возрастает.

Однако вначале целесообразно рассмотреть простейшие процессы – изэнтропийное движение идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь безвихревое изэнтропическое движение идеальной жидкости, находящейся в поле консервативных массовых сил. Безвихревым или потенциальным называют движения жидкости, при котором во всем пространстве завихренность равна нулю, т.е.

Поле скоростей при потенциальном течении может быть представлено в виде

Скалярная функция координат и времени

называется потенциалом скорости.

Подставив эти выражения для скорости и вихря в уравнение Громеки-Лэмба, получим

Полученное уравнение можно проинтегрировать:

где

- произвольная функция времени. Этот интеграл называется интегралом Коши.

При стационарном движении

, и интеграл Коши переходит в с интеграл Бернулли

Преобразуем первое слагаемое в правой части с помощью уравнения Эйлера

Второе слагаемое также обращается в нуль, поскольку контур образован жидкими частицами и

, так что

Поток вихря по всей длине вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков в данный момент времени.

Рассмотрим жидкость, заключенную в трубке вихря между сечениями

в некоторый момент времени и вычислим поток вихря через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем, воспользовавшись теоремой Гаусса:

Поскольку

, полученный результат означает, что циркуляция вектора скорости в любом сечении трубки, вычисленная в некоторый момент времени, остается постоянной:

Отсюда следует, что вихревая трубка может быть либо замкнутой, образуя вихревые кольца, либо опираться на границы жидкости.

Если внешние силы потенциальны, то жидкая масса, составляющая вихревую трубку в какой-то момент времени, сохраняется в форме вихревой трубки и во все последующие моменты времени.

Любой контур, образованный частицами жидкости на поверхности вихревой трубки, остается на этой поверхности.

Действительно, циркуляция вектора скорости в некоторый момент времени по контуру на поверхности трубки равна нулю

ибо

на поверхности трубки вихря. Но так как

для контура, связанного с жидкостью, то значение циркуляции остается равным нулю для любого контура. Это значит, что вектор вихря остается перпендикулярным элементарной площадке, натянутой на контур, т.е. площадка принадлежит поверхности вихревой трубки. Следовательно, вихрь движется вместе с жидкостью.

При действии на жидкость лишь потенциальных сил поток вихревой трубки во все время движения остается постоянным.

Вторая и третья теоремы Гельмгольца составляют принцип сохранения вихря или устойчивость вихревой трубки:

Если в начальный момент вихри в жидкости отсутствуют (течение потенциально), то они и не могут возникнуть в идеальной жидкости без границ. Таким образом, для возникновения вихрей нужна вязкая жидкость и/или наличие границ.

Более удобным является подход Эйлера. В этом подходе рассматриваются мысленно выделенные объемы переменного состава, положение которых задается координатами «точки наблюдения» – любой точки, принадлежащей выделенному объему. Предполагается, что можно выбрать объем настолько малым, что физические величины среды внутри такого объема не зависят от выбора «точки наблюдения». Таким образом, в каждой точке пространства в каждый момент времени можно определить величины, задающие состояние сплошной среды – физические поля. Рассмотрим в качестве примера введение поля плотности. Предположим, что деформируемое тело устроено так, что в окрестности любой точки, заданной радиус-вектором

, существует достаточно малый объем

такой, что масса вещества в этом объеме

пропорциональна величине этого объема и не зависит от его формы и размеров:

Коэффициент пропорциональности

в этом выражении называется плотностью тела в данной точке пространства в данный момент времени

. Таким образом

Объем, для которого выполняется пропорциональность, называется элементарным, а физическое тело – сплошной средой. На практике пропорциональность соблюдается не для любой формы и не для любого малого объема. На величину объема обычно накладывается ограничение

. Для изучения вещества в обычных условиях ограничение снизу обусловлено молекулярной структурой вещества. Минимальный объем должен содержать достаточно большое число молекул, чтобы можно было пренебречь флуктуациями. Максимальный размер элементарного объема выбирается из условий достижения приемлемой точности описания.

Аналогичным образом вводятся и поля других физических величин, например, скорости или давления. Считается, что движение сплошной среды может быть задано полем скоростей

, если в окрестности «точки наблюдения»

для каждого момента времени

существует элементарный объем

такой, что скорости всех частиц среды в этом объеме можно считать одинаковыми с заданной точностью.

Модель сплошной среды имеет широкую область применения. Ее можно использовать, например, для изучения движения обычных жидкостей или газов. Если элементарный объем выбрать достаточно большим, например сравнимым или превышающим размеры солнечной системы, то модель сплошной среды может быть использована и для описания движения звезд вблизи ядра Галактики.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: