Интегральные характеристики поля. Потоки

Кроме дифференциальных характеристик поля часто используются и интегральные характеристики, применение которых делает описание более наглядным. Одной из наиболее удобных характеристик векторного поля является линия поля. Линией векторного поля называется непрерывная линия, касательная к которой в любой ее точке совпадает с вектором поля в этой точке. Пусть линия поля задана в параметрическом виде уравнением , где - параметр, например, длина дуги. Касательный вектор пропорционален вектору поля, т.е.

.

Это условие можно записать и так:

.

Для поля скорости уравнение линии, называемой линией тока, имеет вид:

.

Если линии тока проходят через замкнутый контур L, то образуемая ими трубка называется трубкой тока. Поскольку вектор скорости на границе трубки тока касателен к ней, то в случае стационарного течения все частицы жидкости будут оставаться внутри этой трубки. Трубка тока называется элементарной, если вектор поля в любой точке поверхности , натянутой на конур L, одинаков.

Потоки физических величин и трубка тока.

Потоком вектора поля через элементарную поверхность называется величина . Для поля скорости потоком вектора скорости является . Если рассматривать движение жидкости в течение элементарного интервала времени , то частицы сплошной среды, находящиеся в момент времени на контуре L, за это время перемещаются на . Тогда величина - это объем жидкости, прошедшей через контрольную поверхность.

Для несжимаемой жидкости и поток через любую замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, равен нулю:

.

Подобно линиям тока можно ввести линии вихря . Уравнение линий вихря

.

Поскольку , поток вихря через любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Если в качестве замкнутой поверхности рассматривать объем трубки вектора вихря, ограниченный двумя сечениями и , то поток вектора не зависит от выбора контрольного сечения:

.

Используя теорему Стокса, можно преобразовать поверхностный интеграл к криволинейному:

.

Постоянство потока вихря вдоль трубки вихря тогда можно рассматривать, как сохранение циркуляции вектора вихря Г по любому контуру, охватывающему эту трубку.

Потоки физических величин.

Представление о потке массы или скорости можно расширить и на другие физические величины скалярной, векторной или тензорной природы. Особенно наглядно представление о потоке для экстенсивных (пропорциональных числу частиц) физических величин. Отметим некоторые величины и их потоки

Скалярные: поток числа частиц, поток массы, поток электроического заряда, поток кинетической и внутренней энергии, поток энтропии.

Векторные: поток скорости, поток вихря, поток напряженности поля, поток импульса, поток кинетического момента.

Балансные соотношения.

Описание взаимодействия в сплошной среде

Для построения динамической теории необходимо ввести физические величины, описывающие действие на выделенный элементарный объем других тел. В механике материальной точки для этого использовался вектор силы. Рассмотрим силовое описание воздействия и в механике сплошной среды, введя необходимые модификации. Напомним, что в механике точки мы разделяли силы на два основных типа – силы дальнодействующие, для которых можно указать зависимость от расстояния между телами, и силы контактные, возникающие при соприкосновении точки и твердого тела. Контактные силы обусловлены малыми деформациями, которые не регистрируются обычным способом, и поэтому контактные силы мы выделяли в особый класс сил, называемых силами реакции.

Объемные силы

Аналогичное разделение целесообразно провести и в механике сплошной среды. Рассмотрим вначале дальнодействующие силы, к которым относятся электромагнитные и гравитационные силы. Пусть элементарный объем заполнен сплошной средой плотности , так что его масса . Сила тяжести, действующая на этот объем, оказывается пропорциональной величине объема независимо от его размеров и формы: . Векторный коэффициент пропорциональности называется (объемной) плотностью силы: . В рассматриваемом случае объемная плотность силы имеет вид: .

Плотность силы задается в каждой точке пространства в каждый момент времени и определяет физическое поле плотности силы: .

По определению, для дальнодействующих сил можно ввести поле плотности силы, если сила, действующая на элементарный объем пропорциональна величине этого объема и не зависит от его формы и размеров. К силам такого типа относятся и электромагнитные силы, действующие на заряженную сплошную среду, если распределение заряда пропорционально величине элементарного объема.

Поверхностные силы

Для контактных сил ситуация несколько иная. Существуют такие контактные силы, величина которых пропорциональна площади соприкосновения рассматриваемого элементарного объема с другими телами: . Величину и ориентацию элементарной поверхности соприкосновения зададим вектором . Направление векторов и не обязательно совпадает и может зависеть от ориентации площадки, поэтому коэффициенты пропорциональности образуют тензор второго ранга. Поэтому соотношение между элементарной силой и элементарной площадкой удобнее записать в тензорных обозначениях. Пусть - проекции элементарного вектора силы, а - проекции вектора элементарной площадки. Тогда условие пропорциональности имеет вид: , где тензор второго ранга определяет поле, характеризующее контактное воздействие на данную элементарную поверхность других частей сплошной среды. Положение элементарной площадки в выбранной систем отсчета определяется ее координатами в данный момент времени и ориентацией, задаваемой вектором . Этот тензор называется тензором локальных напряжений.

Диагональные компоненты тензора определяют нормальные (перпендикулярные) составляющие вектора силы, действующего на площадку, а недиагональные – касательные составляющие этой силы.

В общем случае тензор второго ранга задается девятью компонентами, однако во многих средах в силу закона сохранения кинетического момента этот тензор оказывается симметричным:

,

что снижает число независимых компонент тензора до 6. Соответствующим выбором ориентации осей координатной системы можно привести симметричный тензор к диагональному виду.

В простых моделях сплошной среды ее воздействие на элементарную площадку можно считать не зависящим от ориентации. Такая среда называется изотропной. Если касательные составляющие сил, действующих на площадку пренебрежимо малы, то тензор напряжений в этом случае оказывается диагональным, причем все его компоненты одинаковы. Такая ситуация реализуется в модели взаимодействия жидкости или газа, находящегося в относительном равновесии, описываемом законом Паскаля. Жидкость или газ, подчиняющиеся этому закону, называются идеальными. Тензор напряжений идеальной сплошной среды имеет вид:

.

Знак «минус» в этом выражении выбран так, чтобы элементарная сила, действующая на поверхность, ограничивающую некоторый выделенный объем, была направлена внутрь этого объема при стандартном выборе внешней к поверхности нормали. При этом удобно считать коэффициент пропорциональности положительной величиной.

В более сложных случаях применяются модели, в которых сила, действующая на элементарную поверхность, имеет касательные составляющие, обычно пропорциональные скорости.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: