Тема 2. Область определения функции. Предел функции.

Тема 1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

Для продуктивной деятельности в современном информационном мире требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с появлением и развитием ЭВМ. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения — от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современней техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретации разнообразной социальной, экономической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться вычислительной техникой, находить в справочниках и использовать нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. И, наконец, все больше профессий, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое).

Важным для жизни в современном обществе также является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.

Использование в математике, наряду с естественным, нескольких математических языков дает возможность развивать у учащихся чувство точности, экономности, информативности речи, формировать умение точно выразить мысль, отобрав для этого наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.

Тема 2. Область определения функции. Предел функции.

Область определения функции с одной независимой переменной

Пусть переменная х принимает числовые значения из множества Е.

Определение. Функция -это правило, которое каждому числу х из Е сопоставляет одно определенное число у.

При этом х называют независимой переменной или аргументом функции, а у -зависимой переменной; множество Е - областьюопределения или областью задания функции. Множество значений, принимаемых переменной у, называется множеством значений или областью изменения функции.

Запись y=f(x) или у(х) означает, что у зависит от х. Буква f символизирует правило, по которому получается значение у, соответствующее данному значению х из множества Е.

Вместо букв х, Е, у,f(x) используются и любые другие буквы и обозначения.

Задать функцию y=f(x) на множестве Е — это значит указать правило, по которому для каждого х из Е получается соответствующее ему значение у.

Пусть переменная величина х в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом следующие значения: 4,9; 4,99; 4,999;... или 5,1; 5,01; 5,001;.... В этих случаях модуль разности | х - 5| стремится к нулю: |х - 5|= 0,1; 0,01; 0,001;....

Число 5 в приведенном примере называют пределом переменной величины х и пишут lim x = 5.

Определение. Постоянная величина а называется пределом переменной х, если модуль разности | х – а| при изменении х становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа ԑ.

Итак, lim x=a (предел х равен а) или х→а (х стремится к а).

Замечания. 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной: lim a = a, так как | а—a |< ԑ.

2. Переменная величина может иметь только один предел.

3. Предел положительной переменной величины не отрицателен, предел отрицательной переменной величины не положителен.

Пример. Показать, что при t → ∞ предел переменной величины

равен 3.

Решение. Находим разность между переменной величиной х и число 3: x – 3 =

Если t → ∞, то

→0. Значит, выполняется условие | x- 3|< ԑ и, следовательно,

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменныхвеличин равен алгебраической сумме пределов слагаемых: lim (x+y+…+t) = lim x + lim y + … + lim t

2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов: lim (x ∙ y ∙ … ∙ t) = lim x ∙ lim y ∙ … ∙ lim t

3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim (c x) = lim c ∙ lim x = c lim x

4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен нулю:

, если lim y ≠ 0

5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной: lim x ⁿ= (lim x) ⁿ

6. Если переменные х, у, z удовлетворяют неравенствамx≤y≤z иx→a,z→a, тоy→a.

Выше мы рассматривали независимые переменные величины, каждая из которых стремится к своему пределу независимо от другой.

Пусть теперь даны две переменные величины х и у, связанные функциональной зависимостью y=f(x). Рассмотрим вопрос о пределе функции при условии, что задан предел ее аргумента.

Если при х, стремящемся к а, функция f(x) стремится к b, то говорят, что предел функции f(x) в точке х=а равен b и пишут

Отметим, что во всем дальнейшем изложении, где говорится о пределе функции в точке а, будем предполагать, что функция определена в некоторой окрестности точки а. В самой же точке а функция может быть не определена.

Замечание. За окрестность точки а принимается любой интервал, содержащий точку а.

Определение. Число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.

Решение. Используя последовательно свойства 1, 3 и 5 предела, получим

Уравнение касательной к кривой в точке М ₁(x₀,y₀) (рис. 2.12) и имеющий угловой коэффициент k = f'(x₀), т.е. y – f ( x ₀ )= f '( x ₀ )( x – x ₀ )

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y=x² – 2x+3 в ее точке с абсциссой x₀= 2.

Решение. Находим: f(x₀)=y(2)=3,f'(x₀)=y' (2) = (2x-2)_x₌₂=2

Подставив найденные значения f(x₀) и f'(x₀) в формулу, найдем искомое уравнение касательной y – 3=2(x - 2) или 2x-y-1=0.

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y=x² – 2x+3 в ее точке с абсциссой x₀= 2.

Решение. Находим: f(x₀)=y(2)=3,f'(x₀)=y' (2) = (2x-2)_x₌₂=2

Задание 1. Найти область определения функций:

Задание 4. Найти интервалы монотонности функции:

Задание 5. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию:

Задание 6.Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

Тема 2. Область определения функции. Предел функции.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: