Задачі на умовні ймовірності і незалежні події

Умовною ймовірністю події А відносно події В називають число

, при Р(В)¹0.

Щоб знайти його, отже, треба з’ясувати, що являє собою подія , знайти ймовірності її та події В і поділити.

Умовну ймовірність можна розуміти так: є інформація про те, що в результаті експерименту подія В відбулась. Яка за цієї умови ймовірність події А? Це і є Р(А/В).

В задачах часто застосовують очевидну формулу

та її узагальнення .

Далі, якщо ймовірність події А залишається незмінною, чи береться вона при умові В, чи без такої умови, то природно називати А незалежною від В. Так буде, якщо виконуватиметься рівність ;

Видно, що й В тоді незалежна від А; коротко кажуть, що А і В незалежні. Аналогічно визначається незалежність кількох подій, а саме: події А₁,А₂, …, А_n називаються незалежними в сукупності, якщо ймовірність перетину будь-якого числа з них дорівнює добутку відповідних ймовірностей: . Зауважимо, що для такої незалежності недостатньо попарної незалежності подій.

Приклад 12. Підкидають два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що випаде хоч раз 6 очок, якщо відомо, що сума очок, що випали, не менша за 9.

Конструкція "ймовірність…якщо відомо…", або інакше: "ймовірність … за умови, що…" ясно вказує на умовну ймовірність. Очевидно, потрібно знайти Р(А/В), де А – подія "випаде хоч раз 6 очок", В – "сума не менша за 9".

В прикладі 9 ми вже з’ясували, який стохастичний експеримент, і знайшли кількість (36) рівноможливих наслідків, що складають Ω. З цих результатів подія А є об’єднання рівно одинадцяти: (6,1); (6,2); …; (6,6); (1,6);…; (5,6), а подія В – восьми: (4,5); (5,4); (4,6); (5,5); (6,4); (5,6); (6,5); (6,6).

Подія складається з п’яти випадків, що входять і в А, і в В: (4,6); (6,4); (5,6); (6,5); (6,6). Отже, .

Приклад 13. З урни, що містить білих та чорних куль, послідовно виймають дві кулі (без повернення). Знайти ймовірність того, що друга куля біла, якщо відомо, що перша куля біла.

Нам потрібно знайти Р(А/В), де А є подія "друга куля біла", В – подія "перша куля біла".

7 Випробування Бернуллі. Наближені формули для .

На практиці часто зустрічаються ситуації, які можна розглядати як проведення певної кількості n окремих експериментів (випробувань), які є незалежними і в результаті кожного з яких певна подія (“успіх”) може статись з однією і тією ж ймовірністю p. Такі випробування прийнято називати випробуваннями Бернуллі.

Приклад: Сподіваючись на приз від компанії “Кока-кола”, ви протягом року кожного тижня купуєте по пляшці цього напою. В середньому кожна двохсота пляшка має кришечку зі знаком призу.

В даному випадку n =?, p =?

В лекціях виведено формулу для ймовірності того, що в даній серії з n випробувань Бернуллі відбудеться рівно k успіхів:

Якщо n та k великі, можна використовувати наближені формули:

локальну Муавра-Лапласа

, - щільність стандартного нормального розподілу, а - ймовірність “неуспіху”;

інтегральну Муавра-Лапласа

,

де , для формула аналогічна, а значення функції Лапласа беруться з таблиць;

формулу Пуассона (для малих p)

, де .

Вправа: Які з цих формул можна застосувати до попереднього прикладу, щоб обчислити ймовірність того, що вам жодного разу не пощастить? Зробіть це і порівняйте результати.

Контрольні питання

1 Комбінаторика.

2 Задачі з комбінаторики.

3 Задачі на класичне означення ймовірності.

5 Задачі на застосування аксіом теорії ймовірностей

4 Задачі на операції з множинами

6 Задачі на умовні ймовірності і незалежні події

7 Випробування Бернуллі.

8 Наближені формули для .

ПЕРЕЛІК ЛІТЕРАТУРИ

1. Котов В.М., Пилипчук Л.А., Соболевская Е.П. Теория алгоритмов. Ч.1. - Мн.: БГУ. 2001. - 192 с.

2. Котов В.М., Соболевская Е.П. Структуры данных и алгоритмы: теория и практика. - Мн.: БГУ. 2004. - 252 с.

3. Окулов С. М. Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 341 с: ил.

4. Шаховська Н.Б., Р.О. Голощук «Алгоритми і структури даних», посібник, під редакцією д.т.н., професора В.В. Пасічника. «Магнолія 2006», Львів, 2010. – 215 с.

5. Ахо Альфред В., Хопкрофт Джон Э., Ульман Джеффри Д. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. - М.: Мир,1979. - 536 c.

6. Ахо Альфред В., Хопкрофт Джон Э., Ульман Джеффри Д. Структуры данных и алгоритмы. - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2000. - 384 c.

7. Ковалев М.Я., Котов В.М.,Лепин В.В. Теория алгоритмов. Часть 2. Приближенные алгоритмы. – Мн.: БГУ, 2003. – 147 с.

8. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.. Алгоритмы: построение и анализ. - М.: МЦНМО, 1999. - 960 с., 263 ил.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: