|
|
Хвильові рівняння електромагнітних хвиль
Для одержання хвильових рівнянь електромагнітних хвиль, розв’язком яких є рівняння (6), скористаємось рівняннями Максвелла. Розглянемо замкнутий контур в системі координат Еz,o,x, сторони якого відповідно дорівнюють
Рис. 4
Оскільки ліві сторони рівнянь (7) відповідають рівнянню Максвелла (1), то праві сторони цих рівнянь можна прирівняти. Після незначних спрощень одержуємо
В граничному випадку, коли
де –
Рівняння Максвелла (3) використаємо до замкнутого контуру в координатній площині Нy,o,x (рис.4), вважаючи що вільні електричні заряди відсутні, а тому струм провідності jdS = 0
Оскільки ліві сторони рівнянь (10) однакові, то й праві сторони однакові. Прирівняємо праві сторони цих рівнянь, одержимо
В граничному випадку, коли
Оскільки
Продиференціюємо рівняння (12) за координатою х, одержимо
Замість виразу в дужках правої сторони рівняння (13) підставимо його значення з рівняння (9), одержимо
Продиференціюємо рівняння (9) за координатою х, одержимо
Похідну в дужках правої сторони рівняння (15) замінимо на відповідну похідну з рівняння (12), одержимо
З рівнянь (14) і (16) шляхом незначних перетворень одержуємо хвильові рівняння електромагнітних хвиль
Аналогічні до (17) хвильові рівняння можна одержати, якщо кожне з рівнянь (6) двічі диференціювати за часом і координатою і виключити з них функцію косинуса, тобто
Звідки, врахувавши що
Аналогічно диференціюємо друге рівняння (6) й після незначних спрощень одержуємо
Зіставлення рівнянь (18) і (19) з рівняннями (17) дає можливість визначити швидкість поширення електромагнітних хвиль
Якщо врахувати, що для вакууму ε =1 і μ = 1, то швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі буде дорівнювати
Одержане значення швидкості поширення електромагнітних хвиль у вакуумі добре збігається зі швидкістю поширення світла. В діелектричному середовищі (крім феромагнетиків) швидкість поширення електромагнітних хвиль менша на
Для світлових хвиль, які можуть поширюватись в прозорих діелектричних середовищах, величину
3. Енергія електромагнітних хвиль. Вектор Пойнтінга Можливість виявлення електромагнітних хвиль указує на те, що вони переносять енергію. Об'ємна густина w енергії електромагнітної хвилі складається з об'ємних густин
В рівняння (9), яке дорівнює
одержимо
Після необхідних спрощень одержимо
Оскільки
Рівність (27) справедлива не лише для амплітудних значень напруженостей електричного й магнітного полів, але й для будь-яких їх значень, тобто
Вираз (24) густини енергії електромагнітних хвиль перепишемо в такому вигляді
або з урахуванням (28) одержимо
Нехай електромагнітна хвиля поширюється зі швидкістю υ в напрямі осі х. Виділимо прямокутний паралелепіпед з площею торця S і стороною υΔt, як це показано на рис. 5.
Повна енергія, яка буде перенесена через площу S за час Δt буде дорівнювати
Рис. 5
Із цієї формули знайдемо вектор потоку енергії, яка переноситься через площу S в напрямі осі х із швидкістю υ, тобто
Оскільки вектори Ε і Η взаємно перпендикулярні й утворять з напрямком поширення хвилі правогвинтову систему, то напрямок вектора [ Е·Н ] збігається з напрямком перенесення енергії, а модуль цього вектора дорівнює Е·Н. Отже, вектор густини потоку електромагнітної енергії називається вектором Пойнтінга. Якщо електромагнітні хвилі поглинаються або відбиваються тілами, то відповідно до теорії Максвелла вони повинні здійснювати на тіла деякий тиск. Тиск електромагнітних хвиль пояснюється тим, що під дією електричного поля хвилі заряджені частинки речовини починають упорядковано рухатися і крім того зі сторони магнітного поля хвилі на частинку діє сила Лоренца. Однак величина цього тиску досить мізерна. Можна оцінити, що при середній потужності сонячного випромінювання на Землю діє тиск, який не перевершує 5 мкПа. Вперше тиск електромагнітного випромінювання вдалось виміряти російському фізику Лебедєву. Поле електромагнітних хвиль має певний імпульс, величину якого можна оцінити через енергію так
де W ─ енергія електромагнітної хвилі; с ─ швидкість поширення електромагнітних хвиль.   ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
і Δх. Запишемо для цього замкнутого контуру рівняння Максвелла (1)
,
(7)
. (8)
, рівняння (8) набуде вигляду
, зв’язок індукції магнітного поля з напруженістю цього поля. З урахуванням цього зауваження формула (8) набуде вигляду
(9)
(10)
(11)
, то рівняння (11) набуде вигляду
. (12)
(13)
. (14)
(15)
(16)
(17)
, одержуємо
(18)
(19)
(20)
(21)
, тобто
(22)
(23)
і 
електричного і магнітного полів:
(24)
підставимо необхідні похідні рівнянь (6), тобто
. (25)
. (26)
, то вираз (36) перепишеться
. (27)
. (28)
,
. (29)
. (30)
. (31)
(32)