|
|
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИСтр 1 из 33Следующая ⇒ ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ Растяжением или сжатием называется такой простой вид сопротивления, при котором внешние силы приложены вдоль продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникает только нормальная сила. Рассмотрим расчетную схему бруса постоянного поперечного сечения с заданной внешней сосредоточенной нагрузкой Р и распределенной q, (рис.1).
а) расчетная схема, б) первый участок, левая отсеченная часть, в) второй участок, левая отсеченная часть, г) второй участок, правая отсеченная часть, д) эпюра нормальных сил Рис.1. Построение эпюры нормальных сил:
Пусть
Брус имеет 2 участка 1 и 2. В пределах первого участка мысленно рассечем брус на 2 части нормальным сечением и рассмотрим равновесие, допустим левой части, введя следующую координату х1, рис.1 б:
Следовательно, в пределах первого участка брус претерпевает сжатие постоянной нормальной силой. Аналогично поступим со вторым участком. Мысленно рассечем его сечением 2—2, и рассмотрим равновесие левой части (рис.1 в).Установим предварительно границы изменения х2:
Подставляя граничные значения параметра х2, получим:
Таким образом, в пределах второго участка брус растянут и нормальная сила изменяется по линейному закону. Аналогичный результат получается и при рассмотрении правой отсеченной части (рис.1 г):
На основе полученных данных строится эпюра нормальных сил в виде графика распределения нормальной силы по длине бруса (рис.1 д). Характерно, что скачки на эпюре обусловлены наличием в соответствующих сечениях сосредоточенных сил R и Р, что в свою очередь может служить правилом правильности выполненных построений.
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.
Рис.4. Плоская деформация.
По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна
Из рис. 4 следует
Учитывая, что MN=dx, получим
В случае малых деформаций, когда
справедливого при x <<1, окончательно для малой деформации получим
Угловая деформация
Для угловой деформации
Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений
связывающих линейные и угловые деформации с перемещениями. Эти соотношения носят название соотношений Коши. Три линейных и шесть угловых деформаций (6) образуют тензор малых деформаций
Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений. Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл. До деформации его объем равен dV0 =dxdydz. Если пренебречь деформациями сдвига, которые изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра будут иметь размеры
(рис. 4), а его объем будет равен
Относительное изменение объема
в пределах малых деформаций составит
что совпадает с определением первого инварианта. Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не зависящая от выбора системы координат. Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций можно разложить на шаровой тензор и девиатор. При этом первый инвариант девиатора равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без изменения его объема. Лекция № 8. Упругость и пластичность. Закон Гука Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения. Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями. При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими. Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала. Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид
При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией
Рис.1. Одноосное напряженное состояние
Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений. Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения
Коэффициент пропорциональности Соотношения, аналогичные (1) и (2), в случае одноосного нагружения в направлении осей Оу, Ог напряжением
При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):
С учетом формул (1 — 4) получим
Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука. Угловая деформация
которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1). Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:
Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости. В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е,
Для малых деформаций
С учетом этих соотношений
До деформации эта диагональ имела размер
Из обобщенного закона Гука (5) получим
откуда
Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает
Сложим три соотношения упругости (5)
В итоге получим
Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату
Механические характеристики Е,
Предельное значение
С использованием равенства (9) будем иметь
откуда
Аналогичные соотношения можно вывести для
Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение
ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральный слой (рис. 1, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моменты инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихся балок должны быть просуммированы
Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с точностью до пренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать как монолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным
Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочность—в три раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровые балки.
б) а) несвязанная конструкция, б) связанная сварная конструкция
Общие понятия. К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k. Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.
Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.
Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх. На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт. Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы. Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами
Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:
где q(x)— интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х. Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:
Тогда
Если обозначить Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина
Постановка задачи. Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии. При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой. Мы условились называть «статической» такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения, этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует. При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере. Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки. Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию. Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:
заменяя в этой формуле величины
Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так зазываемым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю. Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии. Таким образом, потенциальная энергия деформации
Теорема Максвелла—Мора. Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен:
аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота с заменой производной Если на балке расположена какая угодно нагрузка из сосредоточенных сил
Рис.2. Частная расчетная модель метода Максвелла — Мора.
Коэффициенты
так как Например, для балки, изображенной на Рис2, а, изгибающий момент равен:
Производная Аналогично, производная изгибающего момента М (х) по паре сил Таким образом, для отыскания перемещения
Эта формула была предложена Максвеллом в 1864 г. и введена в практику расчета О. Мором в 1874 г. Если мы в полученном выражении под Для примера рис.2 имеем:
Знак плюс означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной нагрузки, знак минус — наоборот. Если при определении изгибающих моментов придется делить балку на участки, то соответственно и интеграл в формуле распадется на сумму интегралов. Сравнивая формулу Кастильяно с формулой Мора, нетрудно заметить, что они отличаются лишь одним множителем. В теореме Кастильяно Следовательно, производная от изгибающего момента по обобщенной силе — это то же самое, что изгибающий момент от силы
Метод Верещагина. Способ Максвелла — Мора в значительной степени вытеснил на практике непосредственное применение теоремы Кастильяно. В справочниках обычно приводятся таблицы интегралов Наш соотечественник А. Н. Верещагин в 1924 г. предложил упрощение вычислений. Так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила, либо пара сил, то эпюра Так как ордината
Рис.3. Расчетная модель метода Верещагина.
Но этот статический момент равен всей площади
но величина
и искомое перемещение равно
Таким образом, для определения перемещения Определим этим способом угол поворота сечения D балки, изображенной на Рис.4, а; Балка загружена моментом М, приложенным в сечении В к консоли АВ. Эпюра М показана на Рис.4, б. Прикладываем в сечении D единичную пару, выбирая ее направление произвольно (Рис.4, в). Эпюра моментов от единичной нагрузки показана на рис.4, г. Так как М на участках DC и СВ равен нулю, то остается лишь один интеграл для участка АВ.
а) расчетная схема б)грузовая эпюра в)фиктивное состояние г) эпюра моментов от единичного момента Рис.4. Иллюстрация метода Верещагина:
Площадь
Знак плюс показывает, что вращение происходит по направлению единичной пары, т. е.   Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. Прежде всего определим опорную реакцию R, задавшись ее направлением вдоль оси х.
, 
, можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения
определяется как сумма углов 
и 
(4). В случае малых деформаций
имеем
.
, которая пропорциональна величине напряжения
происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через 
и 
, причем эти деформации отрицательны при положительных 
:
называется коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности материала одинаков для обоих ортогональных направлений.
, 
, соответственно имеют вид
, а деформации 
и 
— соответственно напряжениями 
и 
. Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости
(рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения 
, 
. Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 
к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией 
в направлении действия напряжения 
и угловой деформацией 
. Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию 
. Тогда будем иметь
приводит к предельному значению 
, что соответствует несжимаемому материалу (
при 
). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде
, а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.
... (Рис.1). Начало координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба
, то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид: 
(25.4)
имеет измерение обратное длине.
. Тогда величина 
, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил А, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.
или 
численно равна работе внешних сил 
на 
. Выясним, что представляют собой эти производные.
, 
, 
,..., моментов 
, 
,..., сплошных нагрузок 
, 
..... то момент М(х) в любом сечении такой балки выражается линейной функцией от нагрузок:
, 
,..., 
, 
…, 
, 
... являются функциями пролета балки, расстояний точек приложения сил и моментов от опор и абсциссы х взятого сечения. Пусть мы отыскиваем прогиб точки приложения силы 
; действительно, подставляя в формулу вместо 
.
; но это как раз и будет выражение изгибающего момента нашей балки, если мы ее нагрузим силой 1, приложенной в той же точке В, где расположена сила Р (Рис.2, б), и направленной в ту же сторону.
.
(прогиба или угла поворота) любого сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении соответствующая сила, необходимо найти выражение для изгибающего момента М от заданной нагрузки и момента 
или 
, в теореме Мора 
.
для наиболее часто встречающихся типов нагрузки.
площади эпюры М, заштрихованный на чертеже.
, то произведение 
, а весь интеграл 
представляет собой статический момент площади эпюры М относительно точки А, умноженный на 
.
эпюры М, умноженной на расстояние от ее центра тяжести 
до точки А. Таким образом,
равна ординате 
эпюры 
; ордината эпюры 
отсюда искомый угол поворота 
равен