|
|
Деформации при действии собственного веса.При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение
Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса.
Абсолютное удлинение этого участка равно
Полное удлинение стержня
Величина
подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного веса стержня. Что же касается деформаций стержней равного сопротивления, то, так как нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым
Абсолютное же удлинение при длине стержня l равно:
где обозначения соответствуют приведенным на рис.1. Деформацию ступенчатых стержней следует определять по частям, выполняя подсчеты по отдельным призматическим участкам. При определении деформации каждого участка учитывается не только его собственный вес, но и вес тех участков, которые влияют на его деформацию, добавляясь к внешней силе. Полная деформация получится суммированием деформаций отдельных участков. Лекция № 15. Расчет гибких нитей. В технике встречается еще один вид растянутых элементов, при определении прочности которых важное значение имеет собственный вес. Это — так называемые гибкие нити. Таким термином обозначаются гибкие элементы в линиях электропередач, в канатных дорогах, в висячих мостах и других сооружениях. Пусть (Рис.1) имеется гибкая нить постоянного сечения, нагруженная собственным весом и подвешенная в двух точках, находящихся на разных уровнях. Под действием собственного веса нить провисает по некоторой кривой АОВ. Горизонтальная проекция расстояния между опорами (точками ее закрепления), обозначаемая Нить имеет постоянное сечение, следовательно, вес ее распределен равномерно по ее длине. Обычно провисание нити невелико по сравнению с ее пролетом, и длина кривой АОВ мало отличается (не более чем на 10%) от длины хорды АВ. В этом случае с достаточной степенью точности можно считать, что вес нити равно- мерно распределен не по ее длине, а по длине ее проекции на горизонтальную ось, т. е. вдоль пролета l.
Рис.1. Расчетная схема гибкой нити.
Эту категорию гибких нитей мы и рассмотрим. Примем, что интенсивность нагрузки, равномерно распределенной по пролету нити, равна q. Эта нагрузка, имеющая размерность сила/длина, может быть не только собственным весом нити, приходящимся на единицу длины пролета, но и весом льда или любой другой нагрузкой, также равномерно распределенной. Сделанное допущение о законе распределения нагрузки значительно облегчает расчет, но делает его вместе с тем приближенным; если при точном решении (нагрузка распределена вдоль кривой) кривой провисания будет цепная линия, то в приближенном решении кривая провисания оказывается квадратной параболой. Начало координат выберем в самой низшей точке провисания нити О, положение которой, нам пока неизвестное, очевидно, зависит от величины нагрузки q, от соотношения между длиной нити по кривой и длиной пролета, а также от относительного положения опорных точек. В точке О касательная к кривой провисания нити, очевидно, горизонтальна. По этой касательной направим вправо ось Вырежем двумя сечениями — в начале координат и на расстоянии На рис.2 представлена вырезанная часть нити с действующими на нее силами. Равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q направлена вертикально вниз. Воздействие левой отброшенной части (горизонтальная сила Н) направлено, ввиду того, что нить работает на растяжение, влево. Действие правой отброшенной части, сила Т, направлено вправо по касательной к кривой провисания нити в этой точке. Cоставим уравнение равновесия вырезанного участка нити. Возьмем сумму моментов всех сил относительно точки приложения силы Т и приравняем ее нулю. При этом учтем, опираясь на приведенное в начале допущение, что равнодействующая распределенной нагрузки интенсивностью q будет
Рис.2. Фрагмент вырезанной части гибкой нити
откуда
Отсюда следует, что кривая провисания нити является параболой. Когда обе точки подвеса нити находятся на одном уровне, то
Из этой формулы находим величину силы Н:
Величина Н называется горизонтальным натяжением нити. Таким образом, если известны нагрузка q и натяжение H, то по формуле (2) найдем стрелу провисания
Составим еще одно условие равновесия вырезанной части нити, а именно, приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось
Из этого уравнения найдем силу Т — натяжение в произвольной точке
Откуда следует, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса — там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает больших значений, поэтому с достаточной для практики степенью точности можно считать, что усилие в нити постоянно и равно ее натяжению Н. На эту величину обычно и ведется расчет прочности нити. Если все же требуется вести расчет на наибольшую силу у точек подвеса, то для симметричной нити ее величину определим следующим путем. Вертикальные составляющие реакций опор равны между собой и равны половине суммарной нагрузки на нить, т. е.
Условие прочности для гибкой нити, если через F обозначена площадь сечения, имеет вид:
Заменив натяжение Н его значением по формуле (3), получим:
Из этой формулы при заданных
т. е. величина F не войдет в расчет. Если точки подвеса нити находятся на разных уровнях, то, подставляя в уравнение (1) значения
Отсюда из второго выражения определяем натяжение
а деля первое на второе, находим:
Имея в виду, что
Подставив это значение
Два знака в знаменателе указывают на то, что могут быть две основные формы провисания нити. Первая форма при меньшем значении Н (знак плюс перед вторым корнем) дает нам вершину параболы между опорами нити. При большем натяжении Н (знак минус перед вторым корнем) вершина параболы расположится левее опоры А (Рис.1). Получаем вторую форму кривой. Возможна и третья (промежуточная между двумя основными) форма провисания, соответствующая условию Если при подвеске нити на разных уровнях неизвестны стрелы провисания
Подставим в это выражение значения
откуда
а так как
Следует иметь в виду, что при
Теперь выясним, что произойдет с симметричной нитью, перекрывающей пролет При подсчете деформации нити, являющейся по сравнению с длиной нити малой величиной, сделаем два допущения: длина нити 'равна ее пролету, а натяжение постоянно и равно Н. При пологих нитях эти допущения дают небольшую погрешность. В таком случае удлинение нити, вызванное увеличением температуры, будет равно
где При повышении температуры нить удлиняется. В связи с этим увеличится ее стрела провисания и, как следствие, уменьшится ее натяжение. С другой стороны, из-за увеличения нагрузки, как видно из формулы (3), натяжение увеличится. Допустим, что окончательно натяжение увеличивается. Тогда удлинение нити, вызванное увеличением натяжения, будет, согласно закону Гука, равно:
Если Таким образом, длина нити во втором ее состоянии будет равна длине при первом ее состоянии с добавлением тех деформаций, которые произойдут от повышения температуры и натяжения:
Изменение длины нити вызовет изменение и ее стрелы провисания. Вместо Теперь заменим в последнем уравнении
В этом уравнении заменим
Тогда, после некоторых преобразований, уравнение для расчета натяжения может быть написано в виде:
Определив из этого уравнения натяжение В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию нагрузка не изменяется, а изменяется лишь температура, то в последнем уравнении интенсивность В тех случаях, когда стрела провисания не является малой по сравнению с пролетом, выведенные выше формулы, строго говоря, неприменимы, так как действительная кривая провисания нити, цепная линия, будет уже значительно отличаться от параболы, полученной нами благодаря предположению о равномерном распределении нагрузки по пролету нити, а не по ее длине, как то имеет место в действительности. Точные подсчеты показывают, что значение погрешности в величине натяжения Н, вызванной этим предположением, таково: при отношении Лекция № 16. Геометрические характеристики плоских сечений.   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. Для вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения определим сначала удлинение бесконечно малого участка стержня длиной 
, находящегося на расстоянии 
от конца стержня (Рис.4).
равно:
представляет собой полный вес стержня. Таким образом, для вычисления удлинения от действия груза и собственного веса можно воспользоваться прежней формулой:
, относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно
, носит название пролета.
, и что она приложена посредине отрезка 
,
Величина 
в данном случае будет так называемой стрелой провисания. Ее легко определить. Так как в этом случае, ввиду симметрии, низшая точка нити находится посредине пролита, то 
; подставляя в уравнение (1) значения 
и 
получаем:
и 
нити по кривой провисания устанавливается при помощи известной из математики приближенной формулы)
. Горизонтальные составляющие равны силе Н, определяемой по формуле (3). Полные реакции опор получатся как геометрические суммы этих составляющих:
и 
, где 
— вес единицы объема материала нити, и
и 
, находим 
и 
:
или 
, получаем:
или 
в формулу определенного натяжения Н, окончательно определяем:
; тогда начало координат 
совмещается с точкой А. Та или иная форма будет получена в зависимости от соотношений между длиной нити по кривой провисания АОВ (Рис.1) и длиной хорды АВ.
:
и 
будет иметь место первая форма провисания нити, при 
— вторая форма провисания и при 
— третья форма. Подставляя значения 
и 
и 
, получаем величины 
и интенсивности нагрузки 
температура нити повысится до 
а нагрузка увеличится до интенсивности 
(например, из-за ее обледенения). При этом предположим, что в первом состоянии задано или натяжение 
, или стрела провисания 
— коэффициент линейного температурного расширения материала нити.
окажется меньше, чем 
будет отрицательной. При понижении температуры будет отрицательной величина 
.
и 
их известными выражениями, а деформации 
— также их полученными ранее значениями. Тогда уравнение для S2 примет следующий вид:
и 
. В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию не изменяется температура, а изменяется лишь нагрузка, то в этом уравнении средний член в квадратной скобке равен нулю. Полученное уравнение пригодно, конечно, и при понижении температуры и уменьшении нагрузки.
погрешность не превосходит 0,3%, при 
ошибка составляет уже 1,3%, а при 
погрешность несколько, превосходит 5%.