|
|
Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.При проверке прочности частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким простым путем, каким мы пользовались для прямоугольника и круга. Таким сечением может быть, например, тавр (Рис.5 а) кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные конструкции) (Рис.5, б), кольцевое сечение шейки вала или еще более сложные сечения. Все эти сечения можно разбить на простейшие, как-то: прямоугольники, треугольники, круги и т.д. Можно показать, что момент инерции такой сложной фигуры является суммой моментов инерции частей, на которые мы ее разбиваем.
Рис.5. Сечения типа тавр — а) и кольцо б)
Известно, что момент инерции любой фигуры относительно оси у — у равен:
где z —расстояние элементарных площадок Разобьем взятую площадь на четыре части: Наш интеграл разобьется на четыре интеграла, каждый из которых будет охватывать одну из площадей
Каждый из этих интегралов представляет собой момент инерции соответствующей части площади относительно оси у — у; поэтому
где Полученный результат можно формулировать так: момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей. Таким образом, нам необходимо уметь вычислять момент инерции любой фигуры относительно любой оси, лежащей в ее плоскости. Решение этой задачи и составляет содержание настоящей и последующих двух собеседований. Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.
Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.
Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем
Из рис.1 имеем:
Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,
т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:
Найдем также центробежный момент инерции
где:
Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:
Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей. Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).
Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.
Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:
Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей
Подставляя эти значения
или
Аналогично:
или
Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции
Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:
где
После преобразований получим:
Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси Для вычисления же величин Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для
т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо
где Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:
Так как по симметрии для круга
что было получено выше путем интегрирования. Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:
Лекция № 18. Главные оси инерции и главные моменты инерции. Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции
может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать
Найдем, под каким углом
Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.
В известном выражении для перехода от осей yz к осям или
откуда:
Этому уравнению удовлетворяют два значения Пользуясь этой формулой, можно по известным
Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения
Заменяя здесь из формулы (1) дробь
получаем
К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3). За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси
По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных
Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты
Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.
Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси
Зная же центральный момент инерции
Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии. Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей
Рис.3. Пример расчета моментов инерции.
Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:
Центральные моменты относительно повернутых осей
Центробежный момент инерции относительно осей
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей
Моменты инерции относительно осей
Центробежный момент инерции равен:
  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
до оси у — у.
, 
, 
и 
. Теперь при вычислении момента инерции можно сгруппировать слагаемые в подинтегральной функции так, чтобы отдельно произвести суммирование для каждой из выделенных четырех площадей, а затем эти суммы сложить. Величина интеграла от этого не изменится.
— момент инерции относительно оси у — у площади 
— то же для площади 
. Проведем в плоскости фигуры ось 
параллельно оси у на расстоянии 
от нее. Найдем зависимость между 
и 
— моментом инерции относительно оси 
и 
. Тогда
относительно осей 
, параллельных центральным, если известен 
(Рис.1). Так как по определению
, 
то отсюда следует
, а также центробежный момент инерции 
.Начертим вторую систему координатных осей 
, через известные моменты инерции 
и 
будут:
и 
. Тогда:
относительно тех же осей и угол наклона оси 
— расстояние площадок dF от точки О. Величина 
является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.
то
, можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.
и 
; для них
наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.
, для центробежного момента инерции дадим углу 
, отличающиеся на 180°, или два значения 
, отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси 
и 
. Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения 
, другим 
.
и 
через 
и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену 
на
и 
; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (
. Для вычисления 
, переходя от осей 
и касательных 
напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла 
, 
после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла 
и 
(Рис.2), наклоненной к 
, проходящей на расстоянии 
(рис.2) от центра тяжести:
мы уже имели дело с интегралом 
, представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.
