|
к нахождению предела функции.Кроме элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в указанных особых случаях является следующее правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует или равен бесконечности. I. Случаи нахождения предела: 1) - когда функция представляет отношение двух бесконечно малых величин; 2) - когда функция представляет отношение двух бесконечно больших величин В этих случаях (по правилу Лопиталя) можно заменять отношение величин отношением их производных, т.е. если одновременно стремятся к нулю или бесконечности при или , то или Замечание: Если последний предел существует или равен бесконечности, то он будет равен искомому пределу. Если же отношение производных также будет представлять случай или , то можно снова и снова применять правило Лопиталя, если это полезно, до получения результата. Пример 1. Найти Решение: Неопределенность . По правилу Лопиталя данный предел равен В этом примере однократное применение правила Лопиталя снимает неопределенность. Пример 2. Найти Решение: Неопределенность . По правилу Лопиталя данный предел равен что снова приводит к неопределенности , тогда снова применим правило Лопиталя Здесь правило Лопиталя применимо дважды. Пример 3. Вычислить Решение: Неопределенность . По правилу Лопиталя данный предел равен Здесь правило Лопиталя применимо п раз. II. Случай нахождения предела: - когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую. III. Случай нахождения предела: - когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин. Замечание: Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаям или путем преобразования функции к виду дроби. Пример 4. Найти пределы: а) б) Решение: Установив, что имеет место случай или , преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю или бесконечности, затем применяем правило Лопиталя: а) б) III. Случаи нахождения предела: 1) - когда функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности. 2) - когда функция представляет степень, основание которой стремится к бесконечности, а показатель к нулю. 3) - когда функция представляет степень, основание и показатель которой стремятся к нулю. Замечание: Эти случаи нахождения предела функции также сводятся к случаям или следующим путем: функция логарифмируется и сначала находится предел её логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел самой функции. Пример 6. Найти Решение: 1) Сначала устанавливаем, что имеет место случай 2) Затем логарифмируем функцию и ищем предел её логарифма: 3) здесь нахождение предела свелось к случаю . Применяя правило Лопиталя, получим 4) Теперь по найденному пределу логарифма функции находим искомый предел самой функции ВАРИАНТЫ. Вычислить: В-1 В-2 В-3
В-4 В-5 В-6 В-7 В-8 В-9 В-10 В-11 В-12 В-13 В-14 В-15 В-16 В-17 В-18
В-19 В-20 В-21 В-22 В-23 В-24 В-25
ЛИТЕРАТУРА: 1) Зорич В.А. Математический анализ. Ч-I-М.: Наука, 1981 2) Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.-I –М.: Наука, 1971 3) Фихтенгольц Г.И. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 1,2,3. –М.: Наука, 1969 4) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т. I – М.: Высшая школа, 1981 5) Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. В двух частях. Ч.I. М.: Высшая школа, 1986 6) Справочное пособие по математическому анализу. Ч.I: Введение в анализ, производная, интеграл /Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай и др. Киев, ВШ, 1978 7) Ильин В.А.,Сендов Бл.Х.,Садовничий В.А. Математический анализ, Т. 1,2,3. – М.: Изд-во МГУ, 1985 8) Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1,2. М.: Наука, 1983. 9) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для ВУЗов. М.: АСТ Астрель, 2003. 10)Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов. Ч.1,2. Минск: Высшая школа, 1988
Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|