Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Пространственные операции симметрии





СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛ

Симметрия — это способ математического описания физических, химических, математических и др. объектов. Симметрия объекта описывается посредством задания списка операций симметрии {F1, F2, …}, характерных для данного объекта. Операция симметрии — любая процедура, выполняемая над объектом, при условии, что ее конечный результат в принципе невозможно обнаружить посредством каких бы то ни было экспериментальных наблюдений или измерений. Другими словами, операция симметрии не оставляет физических последствий в объекте.

Операции симметрии весьма разнообразны. Возьмем объект, находящийся в т.н. "стационарном состоянии" и подвергнем его операции сдвига во времени (F = Dt), т.е. просто подождем некоторый отрезок времени Dt. Если теперь сравнить все измеримые характеристики объекта до и после нашей операции, то мы не найдем никаких отличий. Следовательно, операция смещения во времени является операцией симметрии, характерной для объектов или систем "стационарного" типа. Можно даже использовать понятие симметрии для определения смысла "стационарности": состояние объекта является стационарным, если для него операции сдвигов во времени являются операциями симметрии. Такой способ классификации состояний и объектов очень эффективен, поскольку он является однозначным и объективным.

Возьмем теперь "изолированный" объект, т.е. отделенный непроницаемыми границами от окружающей среды и не способный взаимодействовать ни с какими окружающими телами. Все характеристики такого объекта не изменятся при выполнении операций сдвига в пространстве (F = Dr) на любое расстояние и в любом направлении и пространственного поворота (F = Dj) на любой угол и вокруг любой пространственной оси. Следовательно, для любых изолированных объектов или систем пространственные сдвиги и повороты являются операциями симметрии. Данные операции симметрии можно использовать для определения смысла "изолированности". Описанные выше операции-сдвиги часто используют в качестве характеристик самого пространства-времени и интерпретируют как однородность времени, однородность и изотропность пространства.



Знание такой симметрии важно не только в механике, но и в химии, поскольку основные химические объекты — атомы, молекулы, вещества и т.д. обладают всеми описанными операциями симметрии. Это позволяет переносить химическое знание о таких объектах во времени и пространстве. Так, мы можем быть уверены, что химические свойства атома водорода не изменились за последние годы, свойства воды одинаковы в любой лаборатории мира и т.д.

В реальных ситуациях, изучаемые объекты и системы никогда не бывают в точности стационарными или строго изолированными от окружающих тел. Поэтому их симметрия носит более частный характер. При этом существенное значение имеет следующее условие: объект должен быть составным, т.е. должен содержать внутренние части, определенным образом упорядоченные относительно друг друга. Некоторые из этих частей должны быть одинаковы между собой. Если мы переставим местами две такие одинаковые части, сохраняя общую структуру объекта, то его наблюдаемые характеристики не изменятся при любых условиях (неоднородное окружение, эволюция во времени и т.д.). Такой вид симметрии называется перестановочной. Возьмем для примера молекулу пропана:

Ясно, что при перестановке местами любых двух атомов углерода (РСС) или любых двух атомов водорода (РНН), свойства молекулы совершенно не изменятся. Такие перестановки (Pij) являются операциями симметрии. Напротив, если мы переставим местами атом углерода и атом водорода, то свойства молекулы изменятся чрезвычайно сильно — настолько, что получившаяся молекула не сможет устойчиво существовать и разрушится или перегруппируется некоторым образом. Такая перестановка уже не будет операцией симметрии. Перестановочные операции симметрии не ограничиваются только бинарными перестановками. В перестановке может участвовать любое число атомов, вплоть до всех атомов, имеющихся в составе молекулы.

Очевидно, что для каждой молекулы можно перечислить все возможные перестановки одинаковых атомов, являющиеся операциями симметрии {Pij}. Такой список называется группой перестановок ядер молекулы (ГПЯМ). Аналогичные группы существуют и для электронов, входящих в состав атомов и молекул. Они играют важную роль в квантовой химии.

Среди перестановок можно выделить некоторые особые, которые можно выполнить посредством глобальных перемещений в пространстве всего составного объекта в целом, и в которых сохраняются бинарные соотношения между частицами (например, в молекуле химически связанные атомы остаются связанными, т.е. молекула преобразуется как целое без разрыва химических связей). Перестановки такого специального типа называются пространственными операциями симметрии.Во многих случаях достаточно ограничиться рассмотрением именно этих операций симметрии.

 

Классы эквивалентности

Иногда в группе симметрии имеется несколько однотипных операций, похожих друг на друга. Рассмотрим для примера группу С3v, описывающую симметрию объектов в форме треугольной пирамиды (например, молекула аммиака). Эта группа содержит два поворота вокруг вертикальной оси — на 120 ° и 240 ° (или, что то же самое, на –120 °) и три отражения в вертикальных плоскостях, пересекающихся друг с другом по оси z и образующих между собой углы в 120°. Можно заметить, что обе операции поворота (по часовой стрелке и против часовой стрелки) переходят друг в друга в результате отражения в любой из трех плоскостей симметрии. Аналогичным образом, три операции отражения переходят друг в друга при поворотах на 120 °. Такие совокупности операций образуют т.н. классы эквивалентности группы. Следовательно, в группе С3v имеется три класса эквивалентности:

класс поворотов, содержащий 2 операции { C3 и3 };

класс отражений, содержащий 3 операции { s1,s2, s3 };

единичный класс, содержащий 1 операцию { E }.

Можно заметить, что эти классы непересекающиеся. Другими словами, каждый элемент группы относится только к одному классу эквивалентности. Внутри данного класса все элементы эквивалентны между собой, но любые два элемента из разных классов не эквивалентны друг другу. В коммутативных (абелевых) группах каждый элемент образует свой индивидуальный класс эквивалентности. Другими словами, в таких группах нет эквивалентных между собой элементов.

Разбиение группы на классы эквивалентности играет важную роль в физико-химических приложениях теории групп.

Типы симметрии

С помощью ТГС объекты различной природы можно классифицировать специальным образом — по типам симметрии. Рассмотрим снова молекулу воды, симметрия которой нам известна. Пусть теперь эта молекула находится в движении — она вся, как целое, движется в направлении оси х. Ясно, что каждый атом молекулы также движется в направлении оси х, причем и направления, и величины скоростей отдельных атомов в точности одинаковы.

Подвергнем эту движущуюся молекулу действию операций симметрии, входящих в группу С2v. В результате действия операции Е,мы не увидим никаких изменений ни в расположении атомов, ни в их скоростях. После поворота движущейся молекулы вокруг оси z на 180° мы увидим, что атомы водорода поменялись местами, их задние половины поменялись местами с передними, а левые половины — с правыми. Кроме того, все скорости одновременно изменили свое направление на противоположное. В результате, молекула самосовместилась (в смысле относительного расположения атомов), но стала двигаться в противоположном направлении. После операции отражения в плоскости xz, направление движения не изменится, а после отражения в плоскости yz изменится на противоположное.

Полученные результаты можно кратко записать с помощью следующих уравнений:

Теперь характер действия операций данной ТГС на молекулу воды, движущуюся в направлении оси х, мы можем суммировать с помощью таблицы:

 

Операция симметрии Е С2 sxz syz
Характер +1 –1 +1 –1

Набор чисел во второй строке, показывающих действие каждой из операций симметрии на наш объект, является математическим выражением понятия тип симметрии. Сами же эти числа называются характерами данного типа симметрии. Другими словами, тип симметрии задается набором характеров. В математической литературе можно встретить другое название — неприводимое представление (НП) группы симметрии. Дли физико-химических приложений понятия “НП ТГС” и “тип симметрии ТГС” можно рассматривать как синонимы.

Число различных типов симметрии для каждой ТГС строго ограничено, а именно: оно равно числу классов эквивалентности данной группы. Поэтому все типы симметрии можно легко перечислить и систематизировать в виде справочных таблиц. Они, обычно, называются таблицами характеров групп. Приведем в качестве примера таблицу характеров группы С2v.

 

C2v Е С2 sxz syz Типы движений
A1 z
A2 –1 –1 Rz
B1 –1 –1 x, Ry
B2 –1 –1 y, Rx

Из таблицы видно, что в данной группе имеется 4 типа симметрии, которые обозначены специальными символами. В последнем столбце приведены примеры типов механических движений (x, y, z — трансляции вдоль соответствующих осей, а Rx , Ry и Rz соответствуют вращениям), которые, как обычно говорят, “принадлежат” данным типам симметрии.

В любой группе имеется один специальный тип симметрии (А1), для которого все характеры равны 1. Он называется полносимметричным типом и соответствует неподвижной молекуле. По этому типу классифицируются физические величины, не изменяющиеся при действии операций симметрии, такие как энергия, дипольный момент и др., обусловленные внутренним устройством (природой) молекулы, а не конкретным состоянием, связанным с внешними условиями, в которых молекула находится.

Полезность классификации различных характеристик молекул по типам симметрии обусловлена следующим обстоятельством: если две какие-либо характеристики относятся к одному и тому же типу симметрии, то между ними есть нечто общее и в физическом отношении. Другими словами, физические величины, которые мы приписываем молекуле, можно разбить на классы, определяемые типами симметрии. Достаточно изучить особенности только одного представителя такого класса, чтобы получить аналогичную информацию о всех остальных.

ВЕКТОРЫ

Вектором называется математический объект, для которого определено выполнение двух алгебраических операций:

операция сложения двух векторов a +b = c

операция умножения вектора на число a • а = b .

Наиболее существенной особенностью этих операций является то, что в результате их выполнения всегда получается вектор того же типа, что и исходные векторы. Поэтому, имея некоторый исходный набор векторов, мы можем постепенно увеличивать его посредством операций сложения и умножения на числа. В конце концов мы придем к такому множеству векторов, которое уже больше не будет расширяться, а будет замкнутым относительно указанных операций. Такое замкнутое множество векторов называется векторным пространством.

Если при выполнении указанных операций выполняются дополнительные условия линейности:

a(a +b)=aa +ab

(a + b)a = aa +bb

то получающееся пространство называется линейным пространством (ЛП). ЛП может, наряду с группами симметрии, служить еще одним примером математических структур, представляющих собой замкнутые множества однотипных и упорядоченных определенным образом (с помощью алгебраических операций) объектов.

Линейные комбинации

Располагая операциями сложения векторов и умножения их на числа можно построить и более сложную конструкцию типа:

aa +bb +gc + ..... = x

которая называется линейной комбинацией (ЛК) векторов a, b, c, …c коэффициентами a, b, g,, соответственно. Понятие ЛК позволяет сформулировать несколько общих правил: 1) всякая ЛК любых векторов некоторого ЛП также является вектором этого же самого ЛП; 2)любой вектор некоторого ЛП может быть представлен в виде ЛК нескольких векторов того же самого ЛП; 3) в любом ЛП существует такой выделенный набор векторов, называемый базисным набором (или просто базисом), что все, без исключения, векторы этого ЛП могут быть представлены в виде ЛК этих выделенных базисных векторов. На векторы, выбираемые в качестве базисных, накладывается одно важное условие: они должны быть линейно независимы между собой (не должны выражаться друг через друга).

Эти правила дают возможность ввести специальный способ описания любого ЛП. Выберем базисный набор и разложим все интересующие нас векторы по этому базису (т.е. представим их в виде ЛК базисных векторов); тогда каждый вектор можно однозначно задать посредством набора коэффициентов ЛК, соответствующей данному вектору. Такие коэффициенты называются координатами вектора (по отношению к заданному базису). Координаты вектора — это обыкновенные числа, и координатное представление вектора позволяет описать его посредством только совокупности чисел, независимо от конкретного физического смысла, вкладываемого нами в понятие вектора.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас имеется набор различных смесей двух чистых химических веществ: воды и спирта. Среди всех возможных смесей выделим две особых:

смесь S1, содержащая 100 % воды и 0 % спирта;

смесь S2, содержащая 0 % воды и 100 % спирта.

Ясно, что произвольную смесь можно представить в виде ЛК этих двух базисных смесей:

S = n1 * S1 + n2 * S2

и полностью охарактеризовать ее всего двумя числами-координатами: n1 и n2. Другими словами, при заданном базисном наборе, мы можем установить эквивалентность произвольной химической смеси и набора чисел: S~ {n1, n2}. Теперь достаточно заменить слово “смесь” на слово “вектор”, чтобы получить модель ЛП, описывающую множество смесей двух веществ.

Комплексные векторы

В квантовой механике широко применяют векторы, координаты которых могут быть комплексными числами. В этом случае имеются некоторые особенности в правилах построения скалярного произведения. Они, в основном, сводятся к установлению соотношения между ко- и контравекторами. В квантовой механике ковекторы принято обозначать символом á x| и называть бра-векторами, тогда как контравекторы обозначаются символом | xñ и называются кет-векторами. Один и то же вектор можно представить и в виде бра-вектора и в виде кет-вектора. При этом они будут отличаться друг от друга не просто способом расположения (горизонтальным или вертикальным) чисел-координат, но и тем, что их координаты (с одними и теми же номерами) являются комплексно сопряженными между собой. (Комплексно сопряженными являются два комплексных числа, отличающиеся только знаком при мнимой части, например, Z = 2 + 3i и Z* = 2 – 3i.) Особенность взаимно сопряженных комплексных чисел состоит в том, что их произведение, называемое квадратом комплексного числа, всегда является действительным числом. Например: Z · Z* = | Z |2 = 22 + 32 = 13. Поэтому, если перемножить (в смысле скалярногоумножения) два вектора, координаты которых взаимно сопряжены, то квадрат модуля любого вектора будет не только действительным, но и положительным числом. А, следовательно, из него всегда можно извлечь корень и определить модуль (длину) вектора. Подчеркнем, что два вектора, отличающиеся типом (бра- и кет-), и координаты которых взаимно комплексно сопряжены, называются эрмитово сопряженными векторами, что отмечается специальным верхним индексом (+).

á x | = (x1*, x2*, x3 *, .... ) и á x |+ º | xñ=

Если векторы-сомножители различны, то их скалярное произведение не будет действительным числом. Такие комплексные числа, являющиеся скалярным произведением двух комплексных векторов: С = á х|у ñ называются квантовомеханическими амплитудами и играют важную роль в математическом аппарате квантовой механики. Отсюда понятно и происхождение названия: первая половина скобки (от англ. — bracket), изображающей скалярное произведение, называется бра-, а вторая половина — кет-вектором.

Матрицы

Матрицы являются математическими объектами, которые, подобно векторам, широко используются для моделирования различных физических и химических структур и их свойств. Матрица — таблица, состоящая из строк и столбцов. Элементами матрицы (матричными элементами) являются чаще всего числа. Однако, в качестве матричных элементов могут выступать и объекты другого вида — векторы, функции, другие матрицы и т.д. В общем случае, количества строк и столбцов матрицы могут отличаться. Однако, наиболее часто используются квадратные матрицы, в которых число строк равно числу столбцов. Квадратную матрицу принято изображать следующим образом:

Первый индекс матричного элемента служит номером строки, а второй — номером столбца.

Матрицу можно рассматривать как вектор-столбец, элементами которого являются вектор-строки, или, наоборот, как вектор-строку, элементами которой являются вектор-столбцы. Для матриц можно определить несколько полезных характеристик.

Определитель. Под определителем или детерминантом матрицы (обозначается как Det или D) понимается некоторое число, которое можно рассчитать через матричные элементы по известным правилам. Рассмотрим эти правила подробно.

В основе вычисления определителя лежит процедура разложения по элементам строки. Для ее выполнения необходимо:

• выбрать некоторую строку (обычно выбирается та строка, которая содержит наибольшее количество нулей),

• записать первый элемент выбранной строки и умножить его на вспомогательную матрицу (минор), которая получается из исходной посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит выписанный элемент,

• выполнить описанный выше прием для всех элементов выделенной строки,

• каждое произведение дополнительно умножить на (–1)i+j, где i и j — индексы элемента выделенной строки,

• сложить все полученные таким образом произведения (элементов выделенной строки на вспомогательные матрицы-миноры).

Полученная сумма и будет представлять собой разложение определителя по элементам данной строки. Это разложение содержит матрицы, размер которых меньше на единицу, чем у исходной матрицы. Теперь необходимо описанную процедуру разложения по элементам строки применить к каждой из этих вспомогательных матриц. В результате получим разложение, содержащее матрицы еще меньшего размера. Продолжая эту процедуру, мы придем к матрицам размера 1, представляющим собой обычные числа. Теперь необходимо выполнить все арифметические операции умножения и сложения. В результате получим некоторое число, которое и будет определителем исходной матрицы.

Рассмотрим пример вычисления определителя. Пусть имеется матрица размера (3´3):

 
 

 


Выберем для разложения первую строку. Выполним первый этап разложения и получим сумму трех произведений элементов первой строки на вспомогательные матрицы размера (2´2):

 
 

 

 


Выполним второй этап, подвергнув процедуре разложения вспомогательные матрицы размера (2´2) и получим совокупность чисел, связанных определенными операциями умножения и сложения: 2 × (5 × 5 – 7 × 1) – 4 × (3 × 5 – 7 × 4) + 8 × (3 × 1 – 5 × 4). Выполним арифметические действия и получим конечный результат:

2 × (25 – 7) – 4 × (15 – 28) + 8 × (3 – 20) =

= 2 × (18) – 4 × (–13) + 8 × (–17) = 36 + 52 – 136 = – 48

Полученное число и равно определителю матрицы: Det(A) = – 48. Подчеркнем, что для разложения определителя можно выбирать любую строку и любой столбец на любой из стадий вычисления.

Перманент. Перманент — это число, которое рассчитывается во всем аналогично определителю, за исключением того, что множители вида (–1)i+j вставляться не должны. Перманент, поэтому, иногда называют плюс-определителем матрицы. Так, для приведенного выше примера перманент будет равен:

Р(А) = 2 × (25 + 7) + 4 × (15 + 28) + 8 × (3 +20) =

= 2 × (32) + 4 × (43) + 8 × (23) = 64 + 172 + 184 = 420.

Алгебраическое дополнение. Алгебраическое дополнение — это число, которое можно поставить в соответствие каждому матричному элементу. Чтобы рассчитать алгебраическое дополнение для элемента аij необходимо вычеркнуть строку с номером i и столбец с номером j из исходной матрицы и рассчитать определитель матрицы меньшего размера, которая получится в результате такого вычеркивания. Кроме того, этот определитель необходимо умножить на множитель (–1)i+j. Алгебраическое дополнение обозначается той же буквой, что и матричный элемент, но только прописной (Аij). Очевидно, что определитель матрицы может быть выражен как сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Det(A)= ai1 × Ai1 + ai2 × Ai2 + . . . . + ain × Ain = å (aik × Aik)

След. Следом называется число, равное сумме всех диагональных (у которых оба индекса одинаковы) элементов матрицы: Sр (A)= å aii . Для приведенного выше примера матрицы А след будет равен: 2 + 5 + 5 = 12

Операции над матрицами

Для матриц определены операции сложения и умножения на число, вполне аналогичные таким операциям для векторов:

1) при сложении двух матриц одинакового размера снова образуется матрица того же размера, причем матричные элементы матрицы-суммы являются суммами матричных элементов матриц-слагаемых с одинаковыми индексам (т.е. если А + В = С, то aij + bij = cij );

2) при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число (если a× А = В, то a ×аij = bij ).

Для квадратных матриц одинакового размера определена еще одна важная операция — умножение матриц друг на друга. В результате перемножения двух квадратных матриц получается матрица того же размера, что и матрицы-сомножители. Матричные элементы матрицы-произведения находятся по следующему правилу. Для расчета матричного элемента с индексами i и j необходимо:

• выделить в первой матрице-сомножителе строку с номером i,

• выделить во второй матрице столбец с номером j,

• рассчитать скалярное произведение выделенного вектора-строки в первой матрице на выделенный вектор-столбец во второй матрице.

 

Таким образом, чтобы найти произведение двух матриц, необходимо рассчитать скалярные произведения каждой строки первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

В общем случае результат перемножения двух матриц зависит от порядка расположения сомножителей. В том случае, когда такой зависимости нет и выполняется равенство А*В = В*А, матрицы называются коммутирующими. В противном случае матрицы будут не коммутирующими.

Среди всех матриц данного размера имеется одна особая матрица, называемая единичной (она обозначается символом Е), для которой выполняется условие: А*Е = Е*А = А, где А — любая матрица. Другими словами, единичная матрица выполняет при умножении матриц ту же роль, что число 1 при умножении чисел.

Типы матриц

Существует обширная классификация матриц. Отметим некоторые, наиболее часто употребляемые типы матриц.

Матрицы, для которых выполняется условие А*В = В*А = Е, называются взаимно обратными. В этом случае, обычно, употребляются специальные обозначения: В= А–1 и А = В–1 в которых вышеприведенное условие выглядит так:

А* А–1 = А–1 * А = Еи В* В–1 =В–1 * В= Е.

Если мы располагаем некоторой матрицей А, то мы всегда можем рассчитать и обратную ей матрицу А–1. Элемент обратной матрицы с индексами i и j, рассчитывается по формуле:

(аij)–1 = Aji /Det(A)

Другими словами, надо рассчитать алгебраическое дополнение элемента aji (он расположен симметрично данному элементу аij, относительно главной диагонали матрицы) и разделить его на определитель исходной матрицы. Из этого правила вытекает одно ограничение: если определитель матрицы равен нулю, то у нее нет обратной матрицы. Такие матрицы, не имеющие обратных, называются особенными.

Для примера найдем обратную матрицу для матрицы А, приведенной выше. Вначале рассчитаем алгебраические дополнения для всех элементов прямой матрицы

       
   
 
 

 


Аналогично получим остальные значения:

а13 = 8 А13 = +1 × (3 × 1 – 5 × 4) = –17

а21 = 3 А21 = –1 × (4 × 5 – 8 × 1) = –12

а22 = 5 А22 = +1 × (2 × 5 – 8 × 4) = –22

а23 = 7 А23 = –1 × (2 × 1 – 4 × 4) = +14

а31 = 4 А31 = +1 × (4 × 7 – 8 × 5) = –12

а32 = 1 А32 = –1 × (2 × 7 – 8 × 3) = +10

а33 = 5 А33 = +1 × (2 × 5 – 4 × 3) = –2

Теперь можно записать обратную матрицу в виде, где общий множитель вынесен за знак матрицы:

 

 
 

 


Правильность найденного результата легко проверить прямым перемножением обеих матриц.

Две матрицы, отличающиеся тем, что строки одной из них в точности совпадают со столбцами другой (с одними и теми же номерами), называются взаимно транспонированными. Для заданной матрицы Анайти транспонированную очень просто — надо отразить исходную матрицу относительно главной диагонали, т.е. превратить строки в столбцы, а столбцы в строки. Например, для нашей матрицы А транспонированная ей матрица будет иметь вид:

       
   

 


Для симметричных (относительно главной диагонали) матриц операция транспонирования, не приводит к каким-либо изменениям, т.е. А = Ат. Для некоторых матриц совпадают друг с другом транспонированная и обратная матрицы: А-1 = Ат. Такие матрицы относятся к типу ортогональных. Для них нахождение обратной матрицы сводится к ее транспонированию.

Некоторые особенности имеются у матриц, элементами которых являются комплексные числа. Для таких матриц можно определить операцию комплексного сопряжения, в результате которой все комплексные элементы исходной матрицы заменяются на комплексно сопряженные им (при этом к символу матрицы добавляется верхний индекс *). Последовательное проведение операций транспонирования и комплексного сопряжения называется эрмитовым сопряжением (или просто сопряжением, что отмечается верхним индексом + ). Например, для комплексной матрицы

 
 

 

 


комплексно сопряженная и сопряженная матрицы будут иметь вид:

       
 
   
 

 


Если для комплексной матрицы выполняется условие: С = С+, то она называется самосопряженной или эрмитовой матрицей. Если для комплексной матрицы выполняется условие: С-1 = С+, то она называется унитарной матрицей.

Можно заметить, что эрмитовы матрицы играют в множестве комплексных матриц ту же роль, что и симметричные матрицы в множестве действительных матриц. В том же отношении аналогичными являются унитарные и ортогональные матрицы.

Линейные операторы

Рассмотрим такой частный случай умножения матриц, когда одна из матриц-сомножителей содержит всего один столбец (или одну строку):

 
 

 


В соответствии с правилами умножения, в данном случае результат умножения будет представлять собой также матрицу с одним столбцом. Очевидно, что такое умножение можно трактовать несколько иначе, а именно: как умножение матрицы на вектор-столбец. Заметим, что в результате снова получился вектор того же типа (столбец) и той же размерности. Такую операцию, обычно называют преобразованием вектора х в вектор у посредством матрицы Аи записывают в виде следующего уравнения:

Матрица, преобразующая исходный вектор (вектор-прообраз) в конечный вектор (вектор-образ) называется специальным термином — линейный оператор. В более общем смысле, под оператором понимается любое правило преобразования однотипных объектов друг в друга, например, прибавление числа, умножение на число, возведение в степень, дифференцирование, интегрирование и т.д. Такое правило можно описать многими способами. Одним из таких способов является задание оператора посредством матрицы (совокупности чисел — матричных элементов). Поэтому матрицы часто называют также матричными представлениями операторов.

Рассмотрим в качестве наглядного примера операции симметрии. Будем трактовать эти операции как операторы, т.е. как правила преобразования объектов. Каждый такой оператор можно легко изобразить посредством квадратной матрицы — матричного представления операции симметрии.

Например, смысл единичной операции заключается в том, что все составные части объекта сохраняют свое положение. Пространственные координаты любой такой части можно задать в векторной форме:

 
 

 

 


Таким образом, матричным представлением единичной операции симметрии является единичная матрица.

Рассмотрим другую операцию — С2z. Ее смысл заключается в повороте любого объекта вокруг оси z на половину полного оборота. Легко догадаться, что при этом происходит с координатами вектора: что координата z не изменяется вообще, а координаты x и у меняют свои знаки на противоположные. Чтобы достичь такого результата действием матрицы на вектор-столбец, необходимо, чтобы матрица имела следующий вид:

 
 

 

 


Аналогично, найдем матричные представления для операций отражения:

 

 

Между полученными матрицами существуют те же самые соотношения (связи) что и между операциями симметрии. Так, например, в группе симметрии С2vвыполняется равенство: sхz * syz = С2z. Если мы заменим операции симметрии их матричными представлениями, то равенство не нарушится. Отсюда можно заключить, что для матриц-представлений можно построить точно такую же таблицу умножения, что и для операций симметрии. Эти таблицы отличаются только обозначениями. Другими словами, полученный нами набор из 4-х матриц-представлений является группой, устроенной идентично группе симметрии С2v. Мы получили две одинаковые (изоморфные) группы, которые можно рассматривать как два экземпляра одной и той же абстрактной группы, в которых мы придаем элементам этой абстрактной группы различный конкретный смысл. Такие конкретизированные группы называются представлениями абстрактных групп.Группы, элементами которых являются числовые матрицы называются матричными представлениями. Матричные представления ТГС играют очень важную роль в описании симметрии физических и химических объектов и имеют обширные практические приложения.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение понятиям "симметрия", "операция симметрии" и "элемент симметрии".

2. Перечислите известные Вам разновидности симметрии.

3. Перечислите все пространственные операции симметрии.

4. Дайте определение точечной группы симметрии. ТГС состоит их операций или элементов симметрии?

5. Каким образом связаны между собой элементы ТГС?

6. Дайте определение понятия "класс эквивалентности". Являются ли такие классы перекрывающимися?

7. Дайте определение понятиям "тип симметрии", "характер", "таблица характеров".

8. Для каких целей можно использовать типы симметрии?

9. Сколько типов симметрии имеет та или иная ТГС?

10. Дайте определение понятиям "вектор" и "векторное пространство". Какие векторные пространства называются линейными?

11. Дайте определение операциям, которые можно выполнять с векторами: сложение, умножение на число, разложение по базису, скалярное умножение, возведение в квадрат.

12. Для каких целей используется координатное представление векторов? Сколько координатных представлений может иметь заданный вектор?

13. В чем различие между векторами-строками и векторами-столбцами?

14. В чем различие между действительными и комплексными векторами?

15. В каких случаях необходимо использовать функциональное представление векторов?

16. Дайте определение понятиям "бра-вектор" и "кет-вектор".

17. Приведите формулы для вычисления модуля вектора и угла между двумя векторами.









Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.