Координатное представление векторов

Координаты вектора — это числа х ₁, х ₂, х ₃, …, являющиеся коэффициентами ЛК типа: х = х ₁ е₁ + х ₂ е₂ + х ₃ е₃ +...., где е₁, е₂, е₃, … — базисные векторы (базис). Координаты векторов принято записывать двумя альтернативными способами:

Вектор-столбец принято отмечать чертой над символом вектора, а вектор-строку — чертой под символом вектора. (Иногда вектор-столбцы называют контравариантными векторами или контравекторами, а вектор-строки — ковариантными векторами или ковекторами.) С математической точки зрения контра- и ко векторы эквивалентны, однако они могут использоваться для обозначения различных типов физических объектов.

Важную роль играет следующее обстоятельство: выбор базиса неоднозначен и в любом ЛП возможных базисов бесконечно много, однако все они содержат одно и то же число базисных векторов. Это фундаментальное число называется размерностью ЛП.

Координатное представление позволяет очень просто и наглядно выполнять операции над векторами. При сложении двух векторов складываются их координаты, расположенные на одинаковых позициях. Например:

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Например:

Если мы имеем линейную комбинацию, то любая координата результирующего вектора будет получаться как линейная комбинация координат исходных векторов, расположенных на соответствующих позициях. Например:

2 • (1, 3) – 4 • (5, 2) = (2 • 1 – 4 • 5, 2 • 3 – 4 • 2) = (–18, –2)

Координатное представление базисных векторов имеет особенно простой вид: каждый базисный вектор имеет одну координату (под номером, совпадающим с номером данного базисного вектора), равную единице, а все остальные его координаты равны нулю:

Используя координатное представление, можно ввести еще одну операцию, которая выполняется над парой векторов. Эта операция называется скалярным умножением векторов и изображается одним из следующих способов:

Сомножитель, идущий первым, всегда представляет собой ковектор (вектор-строку), тогда как второй сомножитель всегда является контравектором (вектор-столбцом). Результатом этой операции является число, называемое скалярным произведением векторов, значение которого можно рассчитать через координаты векторов х и у по формуле:

Таким образом, чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо первый из них записать в форме строки, а второй — в форме столбца. Аналогичным образом можно найти и скалярный квадрат вектора, т.е. произведение вектора на себя:

Cкалярный квадрат вектора называют также квадратом модуля вектора, поскольку корень квадратный из произведения вектора на себя называется модулем вектора

С помощью скалярного умножения можно ввести метрические понятия в модель ЛП, т.е. определить длины векторов и углы между ними. В качестве длины вектора принимается величина его модуля. Угол j между двумя векторами определяется по формуле:

Отметим следующее обстоятельство: при умножении вектора на некоторое число a его модуль (длина) увеличивается в a раз, а ориентация (угол относительно всех остальных векторов) остается неизменным. Таким образом, среди всех векторов можно выделить подмножества, в которые входят все векторы одной и той же ориентации, но отличающиеся друг от друга длиной. Такие подмножества сами по себе образуют одномерные ЛВП и называются лучами. В каждом луче можно выделить один особый вектор, длина которого равна единице. Такой вектор называется нормированным, его можно рассматривать в качестве представителя данного луча.

Любой другой вектор можно получить из нормированного посредством умножения на некоторое число или свести к нормированному посредством операции, называемой нормировкой (нормированием). При нормировке каждая координата вектора делится на величину модуля этого вектора. Например, двумерный вектор х = (6, 8) имеет квадрат модуля: ê х ê² = 6² + 8² = 100 и, следовательно, является ненормированным. Для нормировки разделим все координаты на 10 и получим нормированный вектор х' =(6/10, 8/10), совпадающий по направлению с исходным (т.е. принадлежащий тому же лучу), но имеющий единичную длину.

В квантовой механике широко применяют векторы, координаты которых могут быть комплексными числами. В этом случае имеются некоторые особенности в правилах построения скалярного произведения. Они, в основном, сводятся к установлению соотношения между ко- и контравекторами. В квантовой механике ковекторы принято обозначать символом á x | и называть бра- векторами, тогда как контравекторы обозначаются символом | x ñ и называются кет -векторами. Один и то же вектор можно представить и в виде бра-вектора и в виде кет-вектора. При этом они будут отличаться друг от друга не просто способом расположения (горизонтальным или вертикальным) чисел-координат, но и тем, что их координаты (с одними и теми же номерами) являются комплексно сопряженными между собой. (Комплексно сопряженными являются два комплексных числа, отличающиеся только знаком при мнимой части, например, Z = 2 + 3i и Z * = 2 – 3i.) Особенность взаимно сопряженных комплексных чисел состоит в том, что их произведение, называемое квадратом комплексного числа, всегда является действительным числом. Например: Z · Z * = | Z |² = 2² + 3² = 13. Поэтому, если перемножить (в смысле скалярногоумножения) два вектора, координаты которых взаимно сопряжены, то квадрат модуля любого вектора будет не только действительным, но и положительным числом. А, следовательно, из него всегда можно извлечь корень и определить модуль (длину) вектора. Подчеркнем, что два вектора, отличающиеся типом (бра- и кет-), и координаты которых взаимно комплексно сопряжены, называются эрмитово сопряженными векторами, что отмечается специальным верхним индексом (+).

Если векторы-сомножители различны, то их скалярное произведение не будет действительным числом. Такие комплексные числа, являющиеся скалярным произведением двух комплексных векторов: С = á х | у ñ называются квантовомеханическими амплитудами и играют важную роль в математическом аппарате квантовой механики. Отсюда понятно и происхождение названия: первая половина скобки (от англ. — bracket), изображающей скалярное произведение, называется бра-, а вторая половина — кет-вектором.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: