Независимых переменных, варьируемых на двух

Пользуясь планированием, предоставленным в табл. 4, можно определить: свободный член b₀, три коэффициента регрессии при линейных членах

, три коэффициента при парных произведениях b₁₂, b₁₃, b₂₃, и один коэффициент регрессии при тройном произведении b₁₂₃. Если ограничиться линейным приближением, то останется четыре степени свободы для проверки гипотезы адекватности.

Матрицу планирования для трех независимых переменных получают из планирования для двух переменных, повторив его дважды: один раз при значениях x₃, находящихся на нижнем уровне, второй раз – на верхнем уровне. Если нужно включить в рассмотрение четвертый фактор х₄, то аналогичным образом дважды повторяют планирование для трех переменных: один раз для фактора х₄, находящегося на нижнем уровне, другой раз – на верхнем уровне. В результате получают матрицу планирования, которая будет представлена следующей строкой:

Аналогичным образом могут быть построены планы для сколь угодно большого числа независимых переменных. Легко видеть, что с ростом числа факторов k число опытов растет по показательной функции

. Планирования, представленные в табл. 3 и 4, обычно называют планированиями типа 2² и 2³ соответственно. При k независимых переменных мы будем иметь дело с полным факторным экспериментом типа 2^k.

Если при решении той или иной задачи можно ограничиться линейным приближением, то полный факторный эксперимент типа 2^k также оказывается недостаточно эффективным, особенно при большом k. При линейном росте числа независимых переменных число опытов для полного факторного эксперимента растет по показательной функции, в результате слишком много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Например, при k = 2,при линейном приближении, для проверки гипотезы адекватности используется только одна степень свободы, тогда как при А = 6 – уже 57 степеней свободы. Правда, при постановке таких больших экспериментов резко снижается ошибка в определении коэффициентов регрессии, так как при факторном планировании все опыты используются для оценки каждого из коэффициентов регрессии. Но это обстоятельство далеко не всегда является достаточным основанием для постановки большого числа опытов. Часто, особенно на первых этапах исследования, бывает нужно получить некоторую, хотя бы и не очень точную, информацию о процессе при минимальной затрате труда на проведение экспериментов. Если можно ограничиться линейным приближением, то число опытов можно резко снизить, используя для планирования так называемые дробные реплики от полного факторного эксперимента [1].

Поясним идею дробных реплик на конкретных примерах. Допустим, что нам нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика при трех независимых переменных. Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для полного факторного эксперимента типа 2² произведение х₁х₂ приравнять третьему фактору х₃. Будет получена матрица планирования, представленная в табл. 5.

Первая полуреплика от полного факторного эксперимента типа 2³ (планирование типа 2^3-1)

Элементы этой матрицы в точности равны элементам матрицы, представленной в табл. 3, но опыты здесь будут уже ставиться с включением третьего независимого переменного х₃. В первом опыте переменные х₁ и x ₂ находятся на нижнем уровне, х₃ – на верхнем; во втором опыте х₁ находится на верхнем уровне, x ₂ и х₃ – на нижних уровнях, и т. д. Пользуясь таким планированием, можно оценить свободный член b₀ и три коэффициента регрессии при линейных членах. Если коэффициенты регрессии b_ij при парных произведениях не строго равны нулю, то найденные нами коэффициенты регрессии будут оценками для совместных эффектов:

Эти эффекты не могут быть раздельно оценены в планировании, состоящем всего из четырех опытов, так как здесь неразличимы столбцы для линейных членов и парных произведений. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл. 5, мы вычислим еще столбец для произведения х ₁ х ₃, то увидим, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбца х₂.

Вторая полуреплика от полного факторного эксперимента типа 2³ (планирование типа 2^3-1)

Если после постановки первых четырех опытов у исследователя почему-либо возникнут сомнения в том, что

, то он может поставить еще четыре опыта, приравняв теперь

. Матрица такого планирования приведена в табл. 6. Пользуясь этой матрицей, можно оценить совместные эффекты:

Здесь элементы столбцов

равны соответственно элементам столбцов

, взятым с

Взяв среднее из сумм и разностей для первой и второй системы совместных оценок, мы получим коэффициенты регрессии, которые будут уже оценками для разделенных эффектов (если ограничиться рассмотрением членов до второго порядка включительно).

Легко видеть, что, объединив планирования, заданные таблицами 5 и 6, мы получим планирование, представленное таблицей 4. Первые две схемы планирования можно рассматривать как две половины или как две «полуреплики» от полного факторного эксперимента типа 2³. Отсюда понятно, что, реализовав обе полуреплики от полного факторного эксперимента типа 2³, получаем разделенные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Такие же разделенные эффекты будут получены, если реализовать сразу все восемь опытов для планирования типа 2³. Нужно обратить внимание на то, что разбиение матрицы планирования, представленного таблицей 5, нельзя производить путем механического распределения строк на две группы. В первую полуреплику здесь отбираются строки с нечетным числом латинских букв (это соответствует требованию

– здесь третья переменная попадает на верхний уровень только в тех строках, где две другие переменные находятся одновременно на верхних или нижних уровнях). Во вторую полуреплику берутся строки с четным числом латинских букв (в соответствии с требованием

Обратимся теперь к задаче с четырьмя независимыми переменными. Здесь можно поступить следующим образом: в планировании 2³, представленном таблицей 4, приравнять тройное взаимодействие x ₁ x ₂ x ₃ к четвертому фактору х₄, постулируя, что b₁₂₃ = 0. Мы получим одну из полуреплик от полного факторного эксперимента типа 2⁴. Матрица такого планирования будет задана строкой:

Здесь все строки четные. Эта матрица планирования получилась из матрицы планирования 2³:

путем умножения на букву d нечетного сочетания букв (соответственно требованию х₄ = х ₁ x ₂ x ₃, четвертый фактор берется на верхнем уровне только в тех строках, где на верхнем уровне находится или один, или три других фактора). Вторую полуреплику получим, приравняв

. Матрица планирования этой полуреплики будет задаваться нечетной строкой:

Эта строка получена путем умножения на букву d четных комбинаций букв в исходной матрице планирования. Объединив две полуреплики, мы опять получим матрицу планирования для полного фактора эксперимента. Число четных и нечетных строк в полном факторном эксперименте всегда одинаково. Можно пойти дальше и построить дробные реплики высокой степени дробности. Если, например, нужно изучить влияние семи переменных, то для получения линейного приближения можно ограничиться восемью опытами. Постулируя возможность линейного приближения, мы утверждаем, что все эффекты взаимодействия пренебрежимо малы. Это дает возможность получить дробную реплику из полного факторного эксперимента типа 2³, положив

Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2 ^k^-^p. В последнем примере мы рассмотрели дробную реплику, представляющую собой планирование типа 2^7-4. Полуреплика от полного факторного эксперимента 2⁴ будет записываться как планирование типа 2^4-1. Такой способ записи еще полностью не характеризует свойств реплики. Дробные реплики можно получать, приравнивая основные эффекты различным эффектам взаимодействия. Например, планирование типа 2^4-1 можно получить, приравнивая х₄ к тройному взаимодействию х ₁ х ₂ х ₃или к одному из парных взаимодействий x_ix_j. Естественно, что при этом изменится система совместных оценок.

Исследование уравнений регрессии, полученных с помощью полного факторного эксперимента и дробных реплик. Легко видеть, что рассмотренные выше схемы – полный факторный эксперимент и дробные реплики обладают следующими свойствами:

где k – номер последнего столбца в матрице планирования.

Формально полный факторный эксперимент всегда можно рассматривать как некоторое планирование первого порядка, заменяя в матрице планирования произведения независимых переменных новыми переменными. Первое из написанных выше свойств – это свойство ортогональности: скалярное произведение всех вектор-столбцов здесь равно нулю. Второе свойство – это условие симметричного расположения всех независимых переменных относительно центра эксперимента. Наконец, третье свойство – это равенство сумм квадратов элементов для всех столбцов. Из первого условия следует, что матрица коэффициентов нормальных уравнений диагональна. Из третьего условия следует, что все диагональные элементы этой матрицы равны числу наблюдений N, а диагональные элементы обратной матрицы

Для проведения регрессионного анализа мы получаем здесь следующие очень простые формулы:

В зависимости от постановки задачи можно различным образом использовать информацию, полученную при определении S_R:

· Если имеет место насыщенное планирование (все эффекты взаимодействия заменены новыми факторами), то

и, следовательно, S_R также должно быть равно нулю. В этом случае S_R вычисляют только для проверки правильности вычисления коэффициентов регрессии.

· Если имеет место ненасыщенное планирование и индекс обозначает только число линейных членов, то тогда вычисляют остаточную дисперсию

и, пользуясь дисперсионным отношением

, проверяют гипотезу адекватности.

Отыскание области оптимума методами планирования эксперимента – это шаговая процедура, включающая факторный эксперимент, его статистический анализ и крутое восхождение по поверхности отклика. Эти этапы повторяют до тех пор, пока не будет достигнута область, близкая к оптимуму. Все опыты, поставленные вне оптимальной области, представляют интерес постольку, поскольку они могут использоваться как трамплин для попадания в область оптимума. Планирование эксперимента обеспечивает минимизацию их числа, приводя, тем самым, к экономии времени и средств. Рассмотрение этой процедуры начинается с вопросов организации и проведения дробных факторных экспериментов. Дробный факторный эксперимент является основным инструментом планирования эксперимента при отыскании области оптимума. Метод, который мы начинаем рассматривать, называется методом Бокса-Уилсона [2]. В этом разделе последовательно рассматриваются вопросы о выборе матрицы планирования и вычислении коэффициентов модели.

Выбор модели. Задача состоит в том, чтобы выбрать число и расположение в факторном пространстве экспериментальных точек так, чтобы при минимуме точек получить информацию, необходимую и достаточную для планирования следующего шага. В формулировке задачи необходимо уточнить следующие моменты. Какую область факторного пространства следует изучать на первом этапе? В какой форме должны быть представлены результаты первого этапа: т. е. какой должна быть модель?

В вопросе об области важны два обстоятельства: окрестности какой точки она должна представлять и как велика должна быть эта область. Последнее обстоятельство прямо связано с вопросом о модели. В соответствии с принципом последовательного усложнения модели естественно на первом этапе начать с линейной функции. Тогда ясно, что должно быть использовано планирование на двух уровнях (через две точки можно однозначно провести прямую). Остается выяснить, как выбрать область (интервалы варьирования факторов), чтобы линейная модель адекватно описывала результаты эксперимента. Данная постановка задачи налагает на этот выбор дополнительные требования. Можно доказать, что аналитическая функция аппроксимируется плоскостью в достаточно малой окрестности любой не экстремальной точки. Так как кривизна поверхности в окрестностях нулевой точки заранее не известна, то выбор «достаточно малой окрестности» должен быть интуитивным. Правда, после проведения первой серии опытов становится ясным, насколько он оказался удачным. Это позволяет ввести соответствующие коррективы. Кроме того, необходимо принимать во внимание то обстоятельство, что дальнейшее движение к оптимуму по градиенту линейной модели будет тем эффективнее, чем более симметрична модель относительно коэффициентов регрессии. Это значит, что чем больше ожидаемое влияние фактора, тем уже следует выбирать его интервал варьирования. Данные случайного баланса, если его проводили, дают некоторые ориентиры для такого выбора. В этом случае, предполагается, что поверхность отклика имеет один (или два близко расположенных) экстремум, так как в случае многоэкстремальной задачи результат будет зависеть от координат нулевой точки.

Выбор матрицы планирования. Основой для выбора матрицы планирования служат факторные планы типа 2 ^k. Для этого используется кодирование факторов, определяемое соотношением:

где

– кодированное текущее значение фактора;

– натуральное значение интервала варьирования (волной над обозначением фактора будем

Кодирование представляет собой линейное преобразование координат факторного пространства: перенос начала координат в нулевую точку плана и выбор масштабов по осям в единицах интервалов варьирования. Отождествление верхнего уровня со знаком плюс и нижнего со знаком минус приводит к стандартной форме матрицы планирования, использующей только знаки. Чтобы выбрать подходящий план, необходимо сформулировать критерии его оптимальности. Формулировка критериев зависит от поставленной цели. Важно, чтобы критерии соответствовали интуитивным представлениям экспериментатора. Если, например, экспериментатор ожидает сложного поведения функции отклика и хочет гарантировать себе максимум информации в наихудшей возможной ситуации, то он, естественно, придет к минимаксному критерию. Планы, построенные для этого критерия при одном факторе, – так называемые фибоначчиевые планы, – приведены в работах [4, 5]. Возможно, обобщение этого подхода на случай нескольких факторов.

Поскольку линейную модель создают, прежде всего, для оценки направления градиента, которое заранее неизвестно, то можно использовать критерий: минимум дисперсии предсказанного значения параметра оптимизации в любой точке факторного пространства при равенстве этих дисперсий на равном расстоянии от нулевой точки в любом направлении. Это эквивалентно требованию инвариантности плана при вращении системы координат относительно центра. Отсюда возникло название планов, удовлетворяющих этому критерию – ротатабельные планы. Принцип ротатабельности является важнейшим при выборе плана. Однако для случая линейной модели план можно сделать оптимальным в более широком смысле. Для этого вводят второй критерий – требование ортогональности плана. Ортогональность позволяет получить для коэффициентов уравнения оценки, независимые друг от друга, что очень важно при интерпретации. Как следствие выполнения этих требований, дисперсии для коэффициентов не только минимальны, но и равны друг другу. Все это создает идеальные условия для статистического анализа. Факторные планы удовлетворяют всем этим критериям, но так как полный факторный эксперимент содержит (при числе факторов больше трех) слишком много опытов, то используют дробные реплики. Реплики также должны удовлетворять всем критериям. Такими являются регулярные дробные реплики.

Ортогональность плана гарантирует отсутствие корреляции между факторами, поэтому кажется, что все оценки коэффициентов регрессии независимы и свободны от посторонних влияний. Однако это справедливо, если описываемая область факторного пространства действительно линейна (при данной ошибке опыта) и, следовательно, все члены уравнения, отражающие кривизну, имеют нулевые коэффициенты. В действительности кривизна может существовать, например, если интервалы варьирования велики и хотя бы некоторые коэффициенты при эффектах взаимодействия окажутся отличными от нуля. Тогда может получиться, что столбцы этих взаимодействий в матрице планирования будут закоррелированы с некоторыми столбцами линейных эффектов. В дробном факторном эксперименте, в отличие от полного, всегда существует такая корреляция хотя бы для некоторых столбцов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента оказывается невозможно разделить коэффициент регрессии между линейным эффектом и взаимодействием. Такие оценки называются смешанными (совместными), а сам факт корреляции – смешиванием. Смешиваемость оценок – дань за сокращение числа опытов. Экспериментатор может бороться со смешиванием путем уменьшения дробности реплики, уменьшения интервалов варьирования, выбора вида модели. Экспериментатор стремится к тому, чтобы максимальное число линейных эффектов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Число линейных эффектов, которые не смешаны в данном плане, будем называть разрешающей способностью плана.

Прежде чем описать использование этих соотношений, следует сделать замечание о выборе дробности реплики. Чтобы реплика была ортогональной, она должна составлять такую часть полного факторного плана, которая сама является полным планом для меньшего числа факторов. Другими словами, в качестве подходящей реплики следует брать ближайший полный факторный эксперимент, число опытов в котором больше, чем число неизвестных коэффициентов в модели.

Вычисление коэффициентов модели. Вычисление коэффициентов – задача, решаемая методом наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов и связанный с ним регрессионный анализ являются основным инструментом обработки экспериментальных данных при планировании эксперимента. Это обстоятельство, а также важность этого метода самого по себе заставляют нас рассмотреть его более подробно. Мы остановимся на трех моментах. Первый из них – регрессионный анализ для одной независимой переменной. Второй – общий случай многомерного регрессионного анализа. Наконец, третий – регрессионный анализ и планирование.

Но при подстановке в уравнение экспериментальных значений в силу рассеяния результатов равенство нулю соблюдаться не будет. При этом для построчного выполнения тождеств в правые части должны быть записаны величины, которые представляют собой отклонения от нуля. Тогда получится следующая система уравнений:

Сформулированное выше условие наименьших квадратов может быть записано теперь как:

Аналитическим условием минимума функции является одновременное равенство нулю частных производных от этой функции по всем неизвестным.

Поскольку в нашем случае неизвестными являются два коэффициента, то, продифференцировав последнее уравнение дважды – сначала по одной, а потом по другой переменной, мы получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Имеем:

или, после раскрытия скобок и очевидных преобразований,

Решая систему в общем виде, получаем расчетные формулы:

С помощью приведенных формул и решается поставленная задача.

Метод наименьших квадратов, как и всякий метод обработки результатов, справедлив при некоторых ограничениях, налагаемых на исходные данные. При применении метода мы должны быть уверены в том, что эти условия выполняются достаточно хорошо. Для применения метода наименьших квадратов необходимо, чтобы параметр оптимизации являлся нормально распределенной случайной величиной с постоянной дисперсией, а все значения факторов должны быть неслучайными. Кроме того, все факторы должны быть не коррелированны. Некоррелированность факторов при ортогональном планировании выполняется автоматически.

Таким образом, метод наименьших квадратов весьма полезен и широко применим как простой математический инструмент. Метод наименьших квадратов можно обобщить на случай произвольного числа факторов. Неизвестную функцию аппроксимируем полиномом. Если степень полинома не задана априори, то расчеты придется вести несколько раз, постепенно увеличивая степень полинома до тех пор, пока полученная модель не станет адекватной. Чтобы получить общий случай, рассмотрим аппроксимацию нелинейным полиномом. При этом расчетам должна предшествовать операция линеаризации функции. Эта операция состоит в замене квадратов и эффектов взаимодействия факторов новыми переменными и вычислении для них соответствующих столбцов в матрице результатов наблюдений. Такая матрица называется Х-матрицей или матрицей условий экспериментов. В линеаризованном виде она соответствует расчетной матрице при планировании эксперимента. В общем виде Х-матрица может быть записана следующим образом:

Y-матрица-столбец наблюденных значений параметра оптимизации.

Х-матрица, конечно прямоугольна

. Но надо, пользуясь принципом наименьших квадратов, свести ее к квадратной матрице порядка k, т. е. получить так называемую систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов. В матричной записи эта система имеет вид:

где В – матрица-столбец искомых коэффициентов регрессии.

Для получения системы нормальных уравнений надо Х-матрицу умножить слева на матрицу, транспонированную к ней:

Из условия

следует, что матрица Х*Х симметрична. Если умножить уравнение (10.8) слева на матрицу, обратную матрице нормальных уравнений, то получим:

Это и есть решение. Для искомых коэффициентов регрессии имеем:

Посмотрим, что произойдет с расчетными формулами, если наложить на Х-матрицу условие ортогональности. Можно показать, что в этом случае матрица нормальных уравнений метода наименьших квадратов будет диагональной. Элементы обратной матрицы для диагональной матрицы равны обратным величинам соответствующих элементов прямой матрицы. Именно это обстоятельство позволяет при планировании экспериментов пользоваться простейшими расчетными формулами и делать операцию обращения матрицы практически в уме. Кроме того, как мы уже отмечали, это дает возможность независимо друг от друга оценивать все коэффициенты регрессии.

Статистические оценки. Рассмотрим общие вопросы, связанные со статистическими оценками. Ошибка опыта, точнее, дисперсия воспроизводимости, служит основой для всех суждений о качестве модели и ее элементов. Поэтому естественно, прежде всего, выяснить, как она оценивается. Основное условие для экспериментальной оценки ошибки опыта – это параллельные наблюдения. При пассивной регистрации какого-либо процесса приходится надеяться на то, что за длительное время процесс будет несколько раз возвращаться в одно и то же состояние. Но даже если это и так, все равно существует ряд трудностей с оценкой ошибки. Другое дело, когда объект управляем, а эксперимент планируется. Тогда мы сами можем решить вопрос о выборе числа параллельных опытов и их расположении.

Возможно, конечно, что, приступая к эксперименту, мы располагаем полной информацией об ошибке опыта. Тогда проблема снимается и параллельные опыты просто не нужны. Обычно априорная информация не столь полна. В зависимости от того, что известно и сколько опытов можно провести, мы располагаем несколькими возможностями. Весьма важно знать, близки ли ошибки в разных областях факторного пространства, или, как говорят статистики, однородны ли дисперсии параметра оптимизации в разных точках. Дело в том, что однородность дисперсий является одним из требований регрессионного анализа. Если известно, что это требование выполняется, то его не надо проверять и можно ставить параллельные опыты в одной точке (как правило, в нулевой точке, на основных уровнях значений факторов). На практике часто предполагается, что такая ситуация возникает. Отсюда рекомендуется ставить 3 – 4 опыта в нулевой точке, вычислять по ним дисперсию и считать, что она справедлива во всех остальных экспериментальных точках.

Когда возникают сомнения в однородности дисперсии, такая рекомендация уже непригодна. Приходится ставить параллельные во всех (или, по крайней мере, в нескольких) различных точках и проверять однородность. Проверку можно осуществлять с помощью различных статистических критериев. Обычно используют так называемый критерий Кохрена, применимый, если во всех точках одинаковое число параллельных опытов. Вычисления выглядят следующим образом. Для каждой точки пишут формулу:

и вычисляют дисперсии. В этой формуле

– дисперсия в i -той точке, m – число параллельных опытов,

– отклик j -того параллельного опыта,

– средний отклик в данном опыте.

Далее среди всех

находят наибольшую, которую делят на сумму всех дисперсий:

Это и есть критерий Кохрена. Если его значение не превышает табличного, то можно признать гипотезу об однородности дисперсий. В этом случае наилучшей оценкой дисперсии воспроизводимости будет средняя арифметическая дисперсия в точках:

При вычислении дисперсии воспроизводимости в нулевой точке пользуются формулой (10.9). Зная дисперсию воспроизводимости, мы знаем все о модели.

Оценка адекватности модели. Располагая ошибкой опыта, мы можем выяснить, является ли линейная модель адекватной. Для проверки адекватности строят F-критерий Фишера. Им проверяют гипотезу о том, что дисперсия относительно модели значимо превышает дисперсию опыта против альтернативы о незначимом различии между этими дисперсиями. Если различие незначимо (при некотором уровне значимости, обычно 5%-ном), то гипотеза об адекватности модели может быть принята. Значение критерия Фишера вычисляют по формуле:

Дисперсию адекватности, в свою очередь, вычисляют по формуле:

где

– значение параметра оптимизации, предсказываемое уравнением для условий j -того опыта.

Значение критерия Фишера, вычисленное по формуле (10.10) сравнивают с табличным значением для выбранного уровня значимости. Если расчетное значение не превышает табличного, то гипотезу адекватности принимают. Для отыскания табличного значения критерия требуется еще знать число степеней свободы, связанных с числителем и знаменателем выражения (10.10). Они представляют собой знаменатели тех формул, по которым вычисляют соответствующие дисперсии. Наряду с прямой оценкой адекватности, которая описана выше, существует ряд косвенных признаков, по которым можно судить о степени адекватности модели. Часто для оценки дисперсии опыта используют параллельные эксперименты в нулевой точке. Различие между средним значением из этих опытов и свободным членом линейного уравнения характеризует суммарный вклад квадратичных эффектов. Если это различие незначимо, например по критерию Стьюдента, то можно предполагать, что модель адекватна. Такая проверка не является абсолютной, так как возможно, что сумма положительных коэффициентов при квадратах близка к сумме отрицательных.

Оценка значимости коэффициентов. Оценка адекватности модели служит основой для того, чтобы принимать дальнейшие решения, однако всегда дают также и оценку значимости коэффициентов. Она важна при интерпретации модели и для дальнейшего отсеивания факторов. Основой для оценки значимости служит построение доверительных интервалов для коэффициентов, которое осуществляют следующим образом. Сначала определяют дисперсию коэффициентов регрессии:

Далее на основании обычной статистической процедуры оценивают доверительный интервал.

где

– доверительный интервал i -гo коэффициента;

t – значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости, обычно 5%-ном;

При ориентировочных оценках можно использовать значение критерия Стьюдента, равное двум. Тогда формула (10.13) примет вид:

В случае линейной или неполной квадратичной модели доверительные интервалы для коэффициентов регрессии равны друг другу. Располагая значением доверительного интервала, можно проверить значимость коэффициентов, исходя из следующего. С вероятностью, соответствующей выбранному уровню значимости, справедливо соотношение:

Незначимый коэффициент появляется у фактора, не оказывающего влияния на параметр оптимизации. В идеальном случае такой коэффициент, для которого значение «ноль» попадает в интервал, даваемый соотношением (10.12), должен быть признан незначимым. Признак незначимости – абсолютное значение доверительного интервала больше, чем абсолютное значение коэффициента. Значимость коэффициента зависит не только от роли данного фактора, но и от интервала варьирования. Это обстоятельство, вместе с оценкой адекватности, необходимо учитывать в ходе принятия решений.

Принятие решений. Возможны следующие случаи.

Если все линейные коэффициенты незначимы, то в первой серии были выбраны слишком узкие интервалы варьирования факторов. Следующим шагом должно быть повторение эксперимента при более широких интервалах. Если все коэффициенты значимы, то решение однозначно – переход к движению по градиенту. Наиболее часто встречается случай, когда часть линейных коэффициентов значима, а часть незначима. Здесь важно определить судьбу незначимых факторов. Если первой серии предшествовало экспериментальное отсеивание факторов и незначимым оказался слабый эффект, включенный в планирование из осторожности, то, получив для него незначимый коэффициент, можно его отсеять. Если же отсеивание не предшествовало первой серии, то отбрасывать фактор только по незначимости коэффициента рискованно. Обычно расширяют его интервал варьирования в следующей серии, и только если и там он окажется незначимым, то его отсеивают. Отсеивание приводит к уменьшению числа факторов и позволяет значительно упростить задачу. Адекватность модели в случае построения интерполяционной формулы означает конец решения задачи, а при оптимизации – переход к движению по градиенту.

Возможно несколько причин неадекватности. Чаще всего неадекватность возникает в результате неудачного выбора интервалов варьирования. В этом случае центр плана (нулевая точка) переносится в- экспериментальную точку, давшую наилучшее или одно из наилучших значение параметра оптимизации, а интервалы варьирования уменьшаются тем сильнее, чем больше по абсолютной величине коэффициент регрессии. Другой причиной неадекватности, кроме выбора интервалов варьирования, является попадание нулевой точки в «почти стационарную» область. На первых этапах планирования это случается редко. Если известно предельное значение параметра оптимизации, то о близости к оп

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: