Рух матеріальної точки під дією центральної сили. Закон площин

МОМЕНТ КІЛЬКОСТІ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

6.1. Момент кількості руху матеріальної точки відносно центра і осі

Момент кількості руху матеріальної точки відносно центра визначається так само, як і момент сили .

Момент кількості руху матеріальної точки відносно нерухомого центра дорівнює векторному добутку радіуса-вектора точки і вектора кількості руху точки (рис. 6.1):

. (6.1)

За модулем: .

Отже, моментом кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра називається вектор який дорівнює за модулем добутку модуля кількості руху точки на плече d і має напрям перпендикулярний до площини, яка проходить через вектор і центр О в той бік, звідки вектор відносно центра О видно спрямованим проти руху годинникової стрілки (рис. 6.1).

Величина момента кількості руху матеріальної точки відносно деякої осі, наприклад , записуються аналогічно відповідному виразу для момента сили (рис. 6.2):

; (6.2)

Аналогічно запишемо залежність між моментом кількості руху точки відносно деякого центру та осі, що проходить через цей центр:

Отже, проекція вектор-моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра на вісь, яка проходить через цей центр, дорівнює моменту кількості руху точки відносно цієї осі.

Проектуючи вектор момент кількості руху точки відносно центра (6.1) на осі прямокутної декартової системи координат, отримаємо вирази для обчислення моментів кількості руху матеріальної точки відносно координатних осей:

; ; . (6.4)

6.2. Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки:

Векторна похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра дорівнює вектору-моменту сили, прикладеної до цієї точки, відносно того самого центра.

Доведення. Нехай матеріальна точка масою рухаєтьс я зішвидкістю під дією сили (рис. 6.3).

Момент кількості руху даної матеріальної точки відносно нерухомого центра визначається за формулою (6.1):

.

Знайдемо першу похідну за часом від останнього виразу

. (6.5)

Тут , як векторний добуток двох колінеарних векторів.

Остаточно маємо:

. (6.6)

Рівність (6.6) визначає доведену теорему про зміну моменту кількості руху матеріальної точки відносно нерухомого центра.

Проектуючи обидві частини рівняння (6.6) на координатні осі, дістаємо:

, , . (6.7)

Отже, перша похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює моменту сили, прикладеної до точки, відносно тієї самої осі.

Наслідки з теореми:

1. Якщо момент сили, прикладеної до точки, відносно деякого центра за весь час руху дорівнює нулю, то вектор-момент кількості руху матеріальної точки відносно того самого центра є векторною сталою величиною:

; ; . (6.8)

2. Якщо момент сили, прикладеної до точки, відносно деякої осі, наприклад за весь час руху дорівнює нулю, то момент кількості руху матеріальної точки відносно тієї самої осі є сталою величиною:

; ; . (6.9)

Рух матеріальної точки під дією центральної сили. Закон площин

Сила, лінія дії якої весь час проходить через деякий нерухомий центр, називається центральною силою. Прикладом такої сили є сила притягання планет Сонячної системи до Сонця.

Розглянемо рух матеріальної точки під дією сили , лінія дії якої під час руху проходить через точку (рис. 6.4.).

Вектор момент сили відносно точки весь час дорівнює нулю і рівняння (6.6) матиме вигляд:

,

звідки

.

Оскільки маса точки розглядається як стала величина, то вектор-момент вектора швидкості відносно центра залишається незмінним, тобто

. (6.10)

Цей вектор весь час спрямований перпендикулярно до площини, яка утворюється за допомогою векторів і .

Оскільки вектор зберігає незмінним не тільки модуль, а і напрям, то радіус-вектор точки і вектор її швидкості повинні весь час знаходитись в одній площині. З цього випливає, що траєкторією руху точки є плоска крива, а радіус вектор і швидкість точки змінюються відповідно таким чином, що момент швидкості відносно центра залишається під час руху незмінним.

Позначимо елементарну площу трикутника через , тоді

, (6.11)

де – векторелементарного переміщення.

Розділимо обидві частини рівняння (6.11) на і переходячи до границі при , отримаємо

. (6.12)

З урахуванням (6.10) маємо:

. (6.13)

Величина називається секторною швидкістю і характеризує міру зміни у часі площі , що описує радіус-вектор точки .

Таким чином, я кщо точка рухається під дією центральної сили, то траєкторією її руху буде плоска крива і рухається вона із векторною сталою секторною швидкістю, тобто так, що її радіус-вектор за рівні проміжки часу описує рівні площі.

Це положення називається законом площ і являє собою другий закон Кеплера, щодо руху планет навколо Сонця.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: