|
|
Тема 1.4. Двоичная арифметикаВ результате изучения данной темы Вы будете:
Отрицательные двоичные числа На протяжении всей истории цифровых компьютеров для представления отрицательных чисел использовались 4 различные системы.
Первая из них называется системой со знаком. В такой системе крайний левый бит – это знаковый бит (0 – это «+», а 1 – это «-»), а оставшиеся биты показывают абсолютное значение числа.
Третья система, дополнение до двух, содержит знаковый бит (0 – это «+», а 1 – это «-»). Отрицание числа происходит в два этапа. Сначала каждая 1 меняется на 0, а каждый 0 – на 1 (как и в системе дополнения до единицы). Затем к полученному результату прибавляется 1. Двоичное сложение происходит точно так же, как и десятичное, только перенос совершается в том случае, если сумма больше 1, а не больше 9. Например, рассмотрим преобразование числа 6(10) в форму с дополнением до двух: 00000110(2) (+6(10)); 11111001(2) (-6(10) в системе с дополнением до единицы); 11111010(2) (-6(10) в системе с дополнением до двух). Если нужно совершить перенос из крайнего левого бита, он просто отбрасывается.
В четвертой системе, которая для m-битных чисел называется excess 2m-1, число представляется как сумма этого числа и 2m-l. Например, для 8-битного числа (m=8) система называется excess 128, а число сохраняется в виде суммы исходного числа и 128. Следовательно, -3 превращается в -3+128=125, и это число (-3) представляется 8-битным двоичным числом 125 (01111101). Числа от -128 до +127 выражаются числами от 0 до 255 (все их можно записать в виде 8-битного положительного числа). Отметим, что эта система соответствует системе с дополнением до двух с обращенным знаковым битом. Ниже представлены примеры отрицательных чисел во всех четырех системах (Таблица 1.2).
Таблица 1.2. Отрицательные 8-битные числа в четырех различных системах В системах со знаком и с дополнением до единицы есть два представления нуля: +0 и -0. Такая ситуация нежелательна. В системе с дополнением до двух такой проблемы нет, поскольку здесь «плюс нуль это всегда плюс нуль». Но зато в этой системе есть другая особенность. Набор битов, состоящий из 1, за которой следуют все нули, является дополнением самого себя. В результате ряд положительных и отрицательных чисел несимметричен – существует одно отрицательное число без соответствующего ему положительного. Это тоже является проблемой, т.к. удобнее иметь систему кодировки, в которой:
Дело в том, что любой ряд чисел с равным количеством положительных и отрицательных чисел и только одним нулем содержит нечетное число членов, тогда как m битов предполагают четное число битовых комбинаций. В любом случае будет либо одна лишняя битовая комбинация, либо одной комбинации не будет хватать. Конечно, лишнюю битовую комбинацию можно использовать для обозначения, например, большого отрицательного числа или для чего-нибудь еще, но она всегда будет создавать неудобства. Сложение двоичных чисел Сложение двух двоичных чисел начинается с крайнего правого бита. Суммируются соответствующие биты в первом и втором слагаемом. Перенос совершается на одну позицию влево, как и в десятичной арифметике. В арифметике с дополнением до единицы перенос от сложения крайних левых битов прибавляется к крайнему правому биту. Этот процесс называется циклическим переносом. В арифметике с дополнением до двух перенос, полученный в результате сложения крайних левых битов, просто отбрасывается. Ниже приведена таблица сложения для двоичных чисел (Таблица 1.3).
Таблица 1.3. Правила сложения для двоичных чисел Пример Выполнить сложение чисел 10(10) и (-3)(10) с дополнением до единицы и с дополнением до двух.
Вопросы для самоконтроля 1. Вспомните и назовите существующие системы представления отрицательных двоичных чисел. В чем заключаются их особенности? 2.
Индивидуальные задания 1. Выполните следующие вычисления над 8-битными числами с дополнением до двух: 00101101 11111111 00000000 11110111 +01101111 +11111111 -11111111 -11110111 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Выполните те же вычисление в системе с дополнением до единицы. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Перемножьте числа 0111(2) и 0011(2). _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Ниже приведены задачи на сложение 3-битных двоичных чисел в системе с дополнением до двух. Для каждой суммы установите: · равен ли знаковый бит результата единице; · равны ли младшие три бита нулю; · не произошло ли переполнения. 000 000 111 100 100 +001 +111 +110 +111 +100 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________   ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Если первое и второе слагаемые имеют противоположные знаки, ошибки переполнения не произойдет. Если они имеют одинаковые знаки, а результат – противоположный знак, значит, произошла ошибка переполнения и результат неверен. И в арифметике с дополнением до единицы, и в арифметике с дополнением до двух переполнение происходит тогда и только тогда, когда перенос в знаковый бит отличается от переноса из знакового бита. В большинстве компьютеров перенос из знакового бита сохраняется, но перенос в знаковый бит не виден из ответа, поэтому обычно вводится специальный бит переполнения.