|
Построение логарифмических частотных характеристик.
Частотные методы исследования линейных систем автоматического регулирования существенно упростились, после того, как для построения графиков частотных характеристик были введены логарифмические шкалы. Частотные характеристики, построенные в логарифмических шкалах, называется логарифмическими частотными характеристиками. Чаще всего строятся характеристики - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и - логарифмическая фазовая характеристика. (ЛФХ) Для построения ЛАЧХ используется модуль АЧХ выраженный в децибелах Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д. Децибел равен одной десятой части бела. Если модуль был бы отношением мощностей, то в правой части (1) находился бы множитель 10. Т.к. модуль представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, токов и т.п.), то увеличение этого отношения в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует 2 белам или 20 децибелам. Поэтому в правой части (1) находится множитель 20. Один децибел соответствует изменению амплитуды в раз. Усилению соответствуют положительные децибелы, а ослаблению – отрицательные. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е. откладывается десятичный логарифм частоты, а около отметки указывается само значение частоты. При построении ЛАЧХ на оси ординат наносится шкала модулей в децибелах. При построении ЛФХ на оси абсцисс используется логарифмическая шкала частот, а на оси ординат откладывается фазовый сдвиг, т.е. в град. Для удобства одновременного построения ЛАЧХ и ЛФХ шкалы частот совмещаются, а шкала фазовых сдвигов наносится так, чтобы совместить фазовый сдвиг – 1800 с нулем шкалы модулей. При этом отрицательные фазовые сдвиги откладываются вверх.
Типовые динамические звенья И их характеристики Типовыми динамическими звеньями называются звенья, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Такие звенья классифицируются в зависимости от вида левой и правой частей их дифференциальных уравнений. Их можно разделить на три группы: - позиционные; - интегрирующие; - дифференцирующие. Каждая из этих групп, в свою очередь содержит несколько типовых звеньев. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике типовые динамические звенья и определим для каждого из них основные характеристики: - дифференциальное уравнение; - передаточную функцию; - переходную функцию: - импульсную переходную функцию (функцию веса); - амплитудно-фазовую частотную характеристику; - амплитудную частотную характеристику; - фазовую частотную характеристику; - логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ). 1. Позиционные звенья – такие звенья, для которых в установившемся режиме характерна линейная зависимость между входной и выходной величинами. Эти звенья описываются линейным диф. уравнением вида: D(p)x(t)=b0g(t) (1) где D(p) – многочлен не выше второго порядка. При постоянном входном сигнале выходная величина устойчивых позиционных звеньев с течением времени стремится к постоянному значению. а) Безинерционное (идеальное) усилительное звено. Звено, как в установившемся, так и в переходном режиме описывается уравнением вида: или , где k – коэффициент передачи (усиления). Передаточная функция звена . Переходная функция ; Весовая функция Частотные характеристики: АФХ
АЧХ
ФЧХ ЛАЧХ и ЛФЧХ
б) Апериодическое звено Любое устройство, описываемое дифференциальным уравнением вида (a0p+ a1)x(t)=b0g(t) Деля на a1, получим (Tp+1)x(t)=kg(t), где - постоянная времени звена, - коэффициент передачи звена. Передаточная функция звена .
Определим переходную характеристику с помощью преобразования Лапласа. Т.к.
, , или .
Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго. Практически для этого звена под временем переходного процесса понимается наименьший промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство: , где - наперед заданное положительное число [обычно (0,01 – 0,05) k. ], или tп= (3 – 5)T. Учитывая, что , найдем, что - функция веса.
АФХ . Построим АФХ в координатах Re и Im функции . Для этого представим в виде: . Умножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель . Обозначим ; . Исключим из них : , подставив в , получим: , или возводя в квадрат . Добавляя и вычитая из правой части , получим , или - окружность с центром, смещенным на по действительной оси и радиусом .
АЧХ
ФЧХ
Логарифмическая частотная характеристика ЛАЧХ апериодического звена . При , При , . Характеристики и называют низкочастотной и высокочастотной асимптотами. Заметим, что при . Частота, на которой сопрягаются эти характеристики, называется сопрягающей частотой. Ломаная линия с уравнением при и при называется асимптотической ЛАЧХ апериодического звена.
Если построить реальную ЛАЧХ по точкам, можно убедится, что максимальное отличие от асимптотической имеет место на сопрягающей частоте. Оно не велико (меньше 3 дб). Практически можно считать, что реальная и асимптотическая ЛАЧХ совпадают и ограничиваться построением асимптотических характеристик. Фазовая логарифмическая характеристика ЛФЧХ строится по точкам.
в) Колебательное звено Звено любой физической природы (маятник, колебательный контур и т.д.), описываемое диф. уравнением вида: (a0p2+ a1p+a2)x(t)=b0g(t) при определенных соотношениях параметров a1 называется колебательным звеном. Разделив на a2, получим: (Т2p2+2 Тp+1)x(t)=kg(t), где постоянная времени, ; ; . Передаточная функция колебательного звена . Характеристическое уравнение =0 имеет комплексные корни: , где . Выражение для переходной функции найдем используя обратное преобразование Лапласа: . Разложив на простые дроби, в соответствии с таблицей оригиналов и изображений, получим , где ; . Продифференцировав полученное выражение, определим функцию веса: . Переходной процесс рассматриваемого звена носит характер затухающих по экспоненте колебаний.
Практически важно определить время затухания переходного процесса tп – начальный промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство , где - наперед заданное положительное число. Более грубо можно считать, что процесс закончится тогда, когда затухли «сжимающие» его экспоненты. Иногда полезно знать максимальное отклонение или величину перерегулирования . Их можно вычислить по формуле : . Как видно величина перерегулирования зависит только от относительного коэффициента затухания (коэффициента демпфирования) . Амплитудно - фазовая характеристика, соответствующая передаточной функции будет .
Имея такую характеристику, легко определить значения амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний х(t) на выходе системы при наличии на ее входе гармонического управляющего воздействия . Амплитудно-частотная характеристика имеет вид: , а фазовая частотная характеристика . Найдем , для чего определим минимум подкоренного выражения в знаменателе и, приравняв его к нулю, получим . Следовательно, экстремум будет существовать на частоте - резонансная частота. При частота совпадает с собственной частотой колебаний системы. . Подставив выражение для АЧХ, найдем ее максимальное значение . Чем меньше значение , тем больше max. При , .
Выражение для логарифмической АЧХ имеет вид: . Асимптотическая ЛАЧХ будет состоять из двух участков: при ; при ;
При получаем консервативное звено с передаточной функцией . Все его характеристики могут быть получены из характеристик колебательного звена при . Интегрирующие звенья Интегрирующими называются звенья, работа которых описывается диф. уравнением вида . В них имеет место в установившемся режиме линейная зависимость между входной величиной и производной выходной величины или другими словами выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины. а) Идеальное интегрирующее звено. Диф. уравнение Передаточная функция Временные характеристики определяются: - переходная функция - весовая функция Амплитудно-фазовая характеристика
ЛАЧХ - прямая линия. Если , то ; если , то
б) Интерпретирующее звено с замедлением (реальное инт. звено) описывается уравнением Передаточная функция может рассматриваться как последовательное соединение идеального интегрирующего и апериодического звеньев. в) Изодромное звено. Описывается диф. уравнением . Передаточная функция , где может рассматриваться как параллельное соединение интегрирующего и пропорционального звеньев . 3. Дифференцирующие звенья – называются такие, у которых в установившемся режиме выходная величина пропорциональна производной по времени от входной. а) Идеальное дифференцирующее звено. Диф. уравнение Передаточная функция Переходная функция Весовая функция . Амплитудно-фазовая характеристика АЧХ АФХ ЛАЧХ - прямая линия.
Если ; если . б) Дифференцирующее звено с замедлением описывается диф. уравнением Передаточная функция может рассматриваться как последовательное соединение идеального дифференцирующего и апериодического звеньев .
Структурные схемы ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|