|
Спектральные характеристики некоторых функций1.Единичная ступенчатая функция. Дельта – функция. Функция 1(t) вида называется единичной ступенчатой функцией. Из (1) следует, 1(t) при t=0 имеет разрыв неопределенности первого рода, причем значение функции в точке разрыва не определено. Однако 1(t) при t=0 приписывают вполне определённые значения. Наиболее часто встречаются функции следующего вида: Выбор того или иного значения единичной функции t=0 связан особенностями решаемой задачи. Например, первое представление удобно в том случае, когда рассматривают функцию 1(t) как предел при λ→∞ последовательности непрерывных функций: f(t,λ)=1/2+(1/π)arctg λt (3), где λ – параметр и
Последовательность непрерывных функций при λ→ ∞ также имеет своим пределом первое представление 1(t). Если , то предел этой последовательности К категории особых функций относится дельта – функция Дирака, называется также импульсной функцией, первого порядка. Дельта функция определяется равенством: , причем Условия (6) и(7) оказываются несовместимыми, если рассматривать их с позиций классического матанализа, и поэтому дельта – функция не является функцией в обычном смысле. Однако в классе обобщенных функций она занимает равноправное место. Дельта–функция обычно рассматривается как предел последовательностей дельта - образных гладких (имеющих производные любого порядка) функций являющихся производными по t от (3). Например: является дельта – образной последовательностью, т.к. В самом деле, при t≠0 при t=0 , причем При таком определении дельта – функция является четной. Дельта – функция может апроксимироваться и разрывными функциями. Например, последовательность функций , характеризующих импульсы высотой 1/a и длительностью a, при a→0, сходятся к дельта функции, т.е.
Смещенная единичная ступенчатая функция и дельта–функции определяются равенствами: Рассмотрим важное свойство дельта – функции. Пусть f(t) непрерывна и ограниченна в интервале [-∞;∞]. Тогда справедливо равенство: Это соотношение определяет так называемое “фильтрующее” или “выхватывающее” свойство дельта – функции. Определим теперь спектральные характеристики 1(t). Единичная ступенчатая функция не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, и поэтому преобразование Фурье для такой функции не существует. Однако, используя понятие дельта–функции, можно построить спектральную характеристику и для неё. Покажем, что её спектральная характеристика определяется равенством: Подставляя F(jω) в формулу обратного преобразования Фурье и, учитывая фильтрующее свойство дельта–функции, получим
Учитывая Лемму Жордана и основанные на ней способы вычисления несобственных интегралов, найдём Следовательно: Таким образом, обратное преобразование Фурье функции F(jω) приводит к 1(t), и поэтому правая часть равенства (10) является её спектральной характеристикой. Определим спектральную характеристику дельта–функции (6). Применяя , получим учитывая фильтрующее свойство: Спектральная характеристика смещенной дельта-функции будет Из (11) и (12) следует, что модуль спектральной характеристики дельта-функции │F(jω) │ равен единице.
Отсюда следует, что амплитуды гармоник представления δ - функции в виде интеграла Фурье равны на всем диапазоне частот от -∞ до ∞. Найдем спектральную характеристику суммы двух дельта-функций
2. Гармонические колебания. Пусть задана косинусоидная функция
f(t) = А1 Cos ω1 t c амплитудой А1 и частотой ω1. Амплитудный спектр этой функции состоит из двух отрезков высотой А1 при частотах ω= ± ω1; для других значений частоты ω значения амплитудного спектра равны нулю.
Косинусоида не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости на интервале (-∞;∞) поэтому преобразование Фурье непосредственно не может быть использовано для определения спектральной характеристики (13). Покажем, что
Для этого используем обратное преобразование Фурье . Подставляя в эту формулу выражение (14) получим Здесь использовано фильтрующее свойство дельта-функции, причем точка ω=ω1, расположена внутри интервала (0, ∞), а δ(ω+ω1) = 0 при ω>0. Следовательно, с учетом формулы Эйлера т.е. даём косинусоиду, следовательно Пусть теперь задана периодическая функция Ее спектральная характеристика. Если , её модуль
Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|