Вставить недостающие цифры или слова

1) Решить систему линейных уравнений

Решение: Система линейных уравнений является (однородной / неоднородной). Составим _______________ матрицу системы и найдем ранги матриц системы путем сведения их к ступенчатому виду:

Отсюда видно, что как матрица А, так и расширенная матрица имеют одинаковый ранг, равный ________. Делаем вывод, что заданная система (совместна / несовместна). Так как ранг равен _______, а число уравнений равно __________, то делаем вывод, что только ______ уравнения системы линейно независимы.

Заданная систему эквивалентна следующей

Найдем какой-нибудь минор, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличный от нуля.

Например,

.

Тогда переменные ___ и ___ будут базисными, а остальные ___ и ___ – свободными, перенесем свободные переменные в правую часть уравнений. Получим систему

Из второго уравнения системы выразим _____ и подставим в первое уравнение. Получим

_______________.

Общее решение системы будет иметь вид

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть _____, _____, тогда

Для самостоятельного решения

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

Пусть – векторы из некоторого линейного пространства.

Определение. Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор.

Примеры:

1. 2 (2, 5, 1) – 4 (1, 3, 0) + (0, 0, 1) = (0, –2, 3);

2. 3 (5, 4) – 5 (–1, 2) +2 (–10, –1) = (0, 0).

Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов получить нулевой вектор при ненулевых коэффициентах.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. .

Так, в предыдущем примере векторы линейно зависимы.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.

Если , то .

И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации остальных векторов , то он, в совокупности с ними, дает систему линейно зависимых векторов, так как в комбинации коэффициент .

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы будут линейно независимы, если равенство возможно лишь при . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.

Примеры выполнения заданий:

Задача 1. Будут ли векторы линейно зависимыми?

Решение: Составим линейную комбинацию . Подставим координаты и выполним действия над векторами:

В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:

Решив эту систему уравнений, получаем: а это значит, что линейно независимы.

Задача 2. Будут ли векторы линейно зависимыми?

Решение: Составим линейную комбинацию и приравняем ее к :

Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим

Решим систему уравнений: . Задавая произвольное значение , будем получать решение системы.

Например . Используя полученные значения, получаем , следовательно – линейно зависимы.

Вам необходимо в следующей задаче определить являются ли данные вектора линейно зависимыми.

Задача 3. Будут ли векторы линейно зависимыми?

Решение: Составим линейную комбинацию и приравняем ее к :

Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим

Решим систему уравнений, определим, являются ли данные вектора линейно зависимыми.

Для самостоятельного решения:

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ

ВЕКТОРОВ ЗАДАННЫХ МАТРИЦ

Определение. Говорят, что в линейном пространстве задан оператор A, если каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор

Определение. Оператор A называется линейным, если для любых двух векторов , из и произвольного числа выполняются:

1° A =

2° .

Вектор называется образом вектора , а вектор – прообразом вектора .

Определение. Если в некотором базисе пространства компоненты вектора выражаются через компоненты вектора следующим образом:

то матрица называется матрицей линейного оператора в данном базисе, а ранг матрицы называется рангом оператора .

Связь между вектором и его образом можно записать в матричной форме где – матрица линейного оператора

– матрицы-столбцы из координат векторов и .

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора A, если найдется такое число что Само число называется собственным значением оператора A (матрицы A).

Равенство в матричной форме можно записать или

Таким образом, мы получили однородную систему линейных уравнений. Для существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы определитель ее главной матрицы был равен нулю:

Полученное уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть – характеристическим многочленом линейного оператора A.

Корнями характеристического уравнения будут собственные значения линейного оператораA. Каждому собственному значению отвечают свои собственные векторы, причем таких бесконечно много.

Чтобы вычислить собственные значения линейного оператора A и найти его собственные векторы, нужно выполнить следующие операции:

1) сопоставить линейному оператору A матрицу A в выбранном базисе;

2) составить характерное уравнение и найти все его действительные корни которые и будут собственными значениями оператора;

3) для каждого собственного значения найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений

Примеры выполнения заданий:

Задача 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A с матрицей

Решение: Характеристический многочлен

Корни характеристического многочлена

– собственные значения линейного оператора A.

Собственные векторы находятся из условия

Рассмотрим получим систему

Пусть тогда решение системы имеет вид

или

Получим первое семейство собственных векторов c где c – произвольное действительное ненулевое число. Таким образом, – вектор, задающий инвариантное направление первого семейства собственных векторов.

Рассмотрим получим систему

Общее решение системы линейных уравнений

или (t; – t),

Тогда t (1; –1) – второе семейство собственных векторов, где t – произвольное действительное ненулевое число, а вектор задает второе инвариантное направление.

Придавая величинам c и t различные числовые значения, будем получать различные собственные векторы линейного оператора A.

Ответ:

.

Задача 2. Восстановите решение задачи:

Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора A с матрицей .

Решение: Составим характеристическое уравнение для данной матрицы и решим его:

– собственные значения оператора A.

Находим собственные векторы из условия . Рассмотрим

, получим систему

Пусть , тогда решение системы имеет вид

или .

Положив , получим вектор , задающий инвариантное направление первого семейства собственных векторов.

Рассмотрим

получим систему

Пусть , тогда решение системы имеет вид

или .

Положив , получим вектор , задающий инвариантное направление второго семейства собственных векторов.

Ответ:

.

Для самостоятельного решения:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10. .

Задача 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A с матрицей

Решение: Составим характеристическое уравнение для данной матрицы и решим его:

Разложим определитель по первому столбцу, получим

.

Таким образом, , – собственные значения оператора A.

Рассмотрим

, получим систему

или

Пусть , тогда , где – решение системы. Положив , получим вектор , задающий инвариантное направление первого семейства собственных векторов.

Рассмотрим , получим систему

Пусть , тогда ,

.

Положим и получим вектор , задающий инвариантное направление второго семейства собственных векторов.

Ответ: ;

; .

Задача 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A с матрицей .

Решение: Составим характеристическое уравнение для данной матрицы и решим его:

.

Разложим определитель по третьей строке, получим

или

Таким образом, , – собственные значения оператора A.

Рассмотрим , получим систему

Пусть , , тогда решение системы примет вид , где .

Положив , , находим вектор , задающий инвариантное направление первого семейства собственных векторов.

Положив , , находим вектор , задающий инвариантное направление второго семейства собственных векторов.

Рассмотрим , получим систему

Пусть , тогда решение системы примет вид , где . Положив , находим вектор , задающий инвариантное направление третьего семейства собственных векторов.

Ответ:

.

Задача 5. Восстановите решение задачи:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A с матрицей .

Решение: Составим характеристическое уравнение для данной матрицы

.

Разложим определитель по третьему столбцу, получим

или

Таким образом, – единственное собственное значение оператора A. Найдем соответствующие собственные векторы. Решим однородную систему .

Пусть , , тогда решение системы примет вид , где t, .

Положив , , находим вектор , задающий инвариантное направление первого семейства собственных векторов.

Положив , , находим вектор , задающий инвариантное направление второго семейства собственных векторов.

Ответ: ,

.

Для самостоятельного решения:

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A с матрицей .

Решение: Составим характеристическое уравнение для данной матрицы и решим его:

Прибавим элементы второго столбца определителя в левой части уравнения к элементам первого столбца:

Вычтем элементы первой строки из соответствующих элементов второй строки:

.

Разложим определитель по первому столбцу, получим

или

Таким образом, , – собственные значения оператора A.

Рассмотрим , найдем соответствующие собственные векторы, решив однородную систему

Пусть , , тогда решение системы примет вид , где .

Положив , , получим вектор , задающий инвариантное направление первого семейства собственных векторов.

Положив , , получим вектор , задающий инвариантное направление второго семейства собственных векторов.

Рассмотрим , получим систему

Второе уравнение системы является линейной комбинацией первого и третьего уравнений ; отбросим его:

Пусть , тогда решение системы примет вид , где .

Положив , получим вектор , задающий инвариантное направление третьего семейства собственных векторов.

Ответ:

.

Задача 7. Восстановите решение задачи:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A с матрицей

.

Решение: Составим характеристическое уравнение для данной матрицы и решим его:

.

Прибавим элементы второго столбца определителя в левой части уравнения к элементам первого столбца:

.

Вычтем элементы первой строки из соответствующих элементов второй строки:

.

Разложим определитель по первому столбцу

или

Таким образом, , , – собственные значения оператора A.

Рассмотрим , найдем соответствующие собственные векторы, решив однородную систему .

Пусть , тогда решение системы примет вид , где .

Положив , находим вектор , задающий инвариантное направление первого семейства собственных векторов.

Рассмотрим , найдем соответствующие собственные векторы, решив однородную систему .

Первое уравнение системы является суммой второго и третьего уравнений, отбросим его

Умножая второе уравнение на два и складывая с первым, получим

Умножая второе уравнение на три и вычитая его из первого уравнения, получим

Таким образом,

Пусть , тогда решение системы примет вид , где .

Положив , находим вектор , задающий второе инвариантное направление.

Рассмотрим , найдем соответствующие собственные векторы, решив однородную систему .

Первое уравнение является линейной комбинацией второго и третьего уравнений, отбросим его

Умножая второе уравнение на пять и складывая его с первым, получим

Умножая второе уравнение на три и вычитая его из первого уравнения, получим

Таким образом,

Пусть , тогда решение системы примет вид , где .

Положив , находим вектор , задающий инвариантное направление третьего семейства собственных векторов.

Ответ:

.

Для самостоятельного решения:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов – М.: «Наука», 2005. – 304 с.

2 Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова – М: ИНФРА-М, 2002. – 575 с. – (Серия «Высшее образование»)

3 Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова – М: ИНФРА-М, 2008. – 656 с.

4 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, В.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман: Под ред. проф. Н.Ш. Кремера – 5-е изд. перераб и доп. – М: ЮНИТИ, 2009. – 471 с.

5 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Практикум / Н.Ш. Кремер, В.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман: Под ред. проф. Н.Ш. Кремера – 5-е изд. перераб и доп. – М: ЮНИТИ, 2009. – 471 с.

6 Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы по курсу «Математика». Ч. 1 / сост. Т.В. Никитенко, Г.А. Киричек, Е.В. Афанасьева. – Тольятти: Изд-во ТГУС, 2007. – 83 с.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: