Исследовать на совместность и решить неоднородные системы линейных уравнений

Решение: Запишем расширенную матрицу

системы, совмещенную с матрицей А системы:

Вычислим ранги обеих матриц методом приведения их к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. С этой целью первую строку вычтем из второй, а вторую – из третьей, получим:

Отсюда видно, что как матрица системы А, так и расширенная матрица

имеют одинаковый ранг, равный трем. Делаем вывод, что заданная система совместна, причем все три ее уравнения являются линейно независимыми (число уравнений и ранг матрицы совпадают). Таким образом, заданная система эквивалентна следующей системе:

Вычисляя определители матрицы этой системы:

делаем вывод, что свободной может быть объявлена либо

, либо

неизвестная. Поэтому в первом уравнении системы в правую часть следует перенести

или

откуда находим:

. Подставляем во второе уравнение системы. Получим

Подставляем найденные значения

в первое уравнение системы, найдем

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть свободная переменная

. Тогда частное решение системы будет равно

Решение: Запишем расширенную матрицу

системы, совместив ее с матрицей А системы

Выполним элементарные преобразования над строками совмещенных матриц, вычислим ранги матриц:

Получили матрицу, имеющую две ненулевые строки. Видно, что как матрица системы А, так и расширенная матрица

имеют одинаковый ранг, равный двум. Делаем вывод, что заданная система линейных уравнений совместна. Вместе с тем линейно независимы только первые два уравнения (ранг равен двум), а третье – следствие двух первых (при элементарных преобразованиях расширенной матрицы ее последняя строка стала нулевой). Таким образом, заданная система эквивалентна следующей системе:

Для решения полученной системы необходимо определиться со свободными переменными. Так как ранг заданной системы

, то базисных переменных будет тоже две. Все остальные – свободные, найдем их.

Вычислим определители второго порядка, составленные из коэффициентов при неизвестных, и отметим отличные от нуля.

Делаем вывод, что переменная

обязательно должна быть базисной. Вторую переменную выбираем произвольно из

. Пусть

будет базисной переменной, тогда

будут свободными, переносим их в правую часть уравнений

Тогда общее решение системы будет иметь вид:

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть

. Тогда получим:

Решение: Запишем расширенную матрицу

системы, совместив ее с матрицей А системы и найдем их ранги:

Отсюда видно, что ранг матрицы А заданной системы равен двум (третья строка матрицы А состоит из нулей, а миноры второго порядка отличны от нуля), в то время как ранг расширенной матрицы

равен трем. Поэтому, на основании теоремы Кронекера-Капелли, заданная система несовместна, т.е. не имеет решений.

Решение: Запишем расширенную матрицу

системы, совместив ее с матрицей А системы, найдем их ранги, делая элементарные преобразования над строками:

Полученный результат свидетельствует, что данная система совместна, так как ранги матриц А и

одинаковы и равны четырем. Не трудно заметить, что ранг матрицы системы равен числу уравнений системы, поэтому делаем вывод о том, что все уравнения системы линейно независимы. При этом ранг матрицы системы равен числу неизвестных – это свидетельствует о том, что система имеет единственное решение.