Целые числа без знака и со знаком

Лекция №8

« Международный факультет прикладных информационных технологий

Бакалавриат «Информатика и вычислительная техника»

Представление данных

Определение. Байтом называется последовательность из восьми бит. Байт является минимально адресуемым элементом памяти.

Определение. Словом называется последовательность из двух байтов. Адресом слова является адрес младшего байта и всегда является положительным (ноль рассматриваем как положительное число). Длина слова равна 16 битам.

Определение. Двойным словом называется последовательность из четырёх байтов. Адресом двойного слова является адрес младшего байта и всего является положительным (ноль рассматриваем как положительное число). Длина двойного слова равно 32 битам.

Рассмотрим следующие виды чисел, представляемых в памяти машины:

целые числа без знака

целые числа со знаком

числа с фиксированной запятой (точкой)

числа с плавающей запятой (точкой)

Целые числа без знака и со знаком

Числа без знака получили свое название потому, что среди этих чисел нет отрицательных. Количество различных чисел, которые можно записать в байте, слове или двойном слове определяется числом сочетаний с повторениями из 2 соответственно по 8, 16, 32. Таким образом, количество различных чисел следующее:

2⁸ = 256 для байта

2¹⁶ = 65536 для слова

2³² = 4294967296 для двойного слова.

Целые числа без знака – это самый простой вид чисел: они представляют собой весь диапазон двоичных чисел, которые можно записать в байте, слове или двойном слове.

Диапазоны изменения целых чисел без знака следующие:

00H (0) - FF (255) для байта;

0000 (0) – FFFF (65535) для слова;

00000000 (0) – FFFFFFFF (4294967295) для двойного слова.

В представлении целых числа со знаком старший разряд используется как знаковый, а остальные используются для записи числа. Диапазоны изменения целых чисел со знаком следующие:

80H (-128) - 7FH (127)

8000H (-32768) - 7FFF (32767)

Определение. Прямым кодом называется двоичная запись неотрицательного целого числа.

Определение. Обратным кодом называется запись, полученная поразрядной инверсией прямого кода.

Определение. Дополнительным кодом называется запись, полученная прибавлением 1 (единицы) к обратному коду.

Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде и выражаются в дополнительном коде. Для представления отрицательного целого двоичного числа необходимо инвертировать все биты, равного по модулю положительного числа, а затем прибавить 1. Иными словами необходимо найти последовательной кодов чисел: прямой код, обратный код, дополнительный.

Сумма 65 и (-65) должна составлять ноль. Получим:

Все восемь бит имеют нулевое значение. Перенос единичного бита влево потерян.

Следует подчеркнуть, что знак числа условен. Одно и то же число, например FBH можно интерпретировать как число со знаком, так и число без знака.

Если битовую комбинацию представленную шестнадцатеричным числом FBH рассматривать как целое со знаком, то её значение будет равно (-5).

Если битовую комбинацию представленную шестнадцатеричным числом FBH рассматривать как целое без знака, то её значение будет рано 251.

Дадим выборочную таблицу 16-битовых чисел с указанием из машинного представления, а также значений без знака и со знаком. Из этой таблицы видно, что чисел со знаком размером в слово диапазон положительных значений простирается от 0 до 32767, а диапазон отрицательных значений до (-1) до (-32768).

Среди команд процессора, выполняющих обработку чисел, можно выделить команды, безразличные к знаку числа (например, inc, add), команды предназначенные для обработки чисел без знака (ja, jb), а также команды, специально рассчитанные на обработку чисел со знаком (jg, jl).

Округление чисел с плавающей запятой (точкой)

Стандарт IEEE 754 описывает операции сложения, умножения, вычитания, деления, вычисления остатка от деления, извлечения квадратного корня и преобразований между различными типами чисел. Общий принцип всех операций заключается в том, что результат получается из точного путем приведения к представимому числу согласно установленному режиму округления.

В стандарте определены четыре режима округления:

округление к ближайшему представимому числу;

округление к –∞;

округление к +∞;

округление к 0.

В режиме округления к ближайшему представимому числу, как следует из названия, результатом операции является представимое число, ближайшее к точному значению. Когда точное значение одинаково удалено от двух представимых чисел, выбирается то, у которого младший бит мантиссы равен нулю.

При округлении к –∞ результатом является ближайшее представимое число, не превосходящее точного значения.

При округлении к +∞ — ближайшее представимое число, которое не меньше точного значения

При округлении к 0 — ближайшее представимое число, не превосходящее по абсолютной величине точного значения.

Определение. Округление к –∞, округление к +∞, округление к 0 называются режимами прямого округления (directed rounding).

Для иллюстрации режимов округления рассмотрим примеры. В первом примере требуется округлить число с заданной мантиссой к ближайшему представимому числу одинарной точности:

исходная мантисса: 1010101010101010101010 1011111111 ₂

округленная мантисса: 1010101010101010101010 1000000000 ₂

В следующем примере требуется округлить число с заданной мантиссой в сторону 0:

исходная мантисса: 1010101010101010101010 1111111111 ₂

округленная мантисса: 1010101010101010101010 1000000000 ₂

Исключения

Стандартом IEEE 754 определены пять типов исключений:

¾ invalid operation — некорректная операция;

¾ division by zero — деление на нуль;

¾ overflow — переполнение;

¾ underflow — потеря значимости;

¾ inexact — потеря точности.

В стандарте приводится список ситуаций, в которых выставляется исключение invalid operation. Ниже представлены некоторые из них:

¾ любые операции над SNaN;

¾ сложение бесконечностей с разными знаками или вычитание бесконечностей с одинаковыми знаками;

¾ умножение 0 · ∞;

¾ деление 0/0 или ∞/∞;

¾ взятие остатка от деления x rem y, где y = 0 или x = ∞;

¾ извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Рассмотрим остальные исключения на примере деления чисел двойной точности в режиме округления к 0.

Исключение division by zero выставляется, когда делитель равен нулю.

Обязательное условие возникновения исключения — не равное нулю или бесконечности делимое. В случае возникновения исключения division by zero

результат равен бесконечности:

делимое: 7FEFFFFFFFFFFFFF₁₆ (1.797693e+308)

делитель: 0000000000000000₁₆ (+0)

частное: 7FF0000000000000₁₆ (+∞)

исключения: division by zero

Исключение overflow возникает, когда результат операции превышает (по абсолютной величине) наибольшее представимое число:

делимое: 7FEFFFFFFFFFFFFF₁₆ (1.797693e+308)

делитель: 0003A6B50B0F27BB₁₆ (5.077619e–309)

частное: 7FEFFFFFFFFFFFFF₁₆ (1.797693e+308)

исключения: overflow и inexact

Исключение underflow возникает, когда результат операции настолько мал (по абсолютной величине), что он может быть представлен только денормализованным числом:

делимое: 0010000000000000₁₆ (2.225074e–308)

делитель: 7FEFFFFFFFFFFFFF₁₆ (1.797693e+308)

частное: 0000000000000000₁₆ (+0)

исключения: underflow и inexact

Исключение inexact возникает, когда результат операции отличается от точного

значения:

делимое: 27E83F0F3FFC9538₁₆ (1.786431e+000)

делитель: FBAF43813FFFFFFF₁₆ (2.000000e+000)

частное: 2BC3037F3FEC9538₁₆ (8.932153e–001)

исключения: inexact

Алгоритм Малкома

В начале семидесятых годов 20-го века Malcolm и Gentleman предложили алгоритм для вывода некоторых характеристик систем с плавающей точкой.

A:= 1.0;

B:= 1.0;

while ((A+1.0)-A)-1.0 = 0.0

A:= 2 * A;

while ((A+B)-A)-B <> 0.0

B:= B + 1.0;

return(B)

Двоичные файлы

Двоичные файлы состоят из последовательности чисел, представляющих собой закодированную информацию, которая может загружаться непосредственно в компьютер. Микропроцессор компьютера обладает всеми необходимыми средствами для того, чтобы разобраться в этой последовательности и определить команды от данных. Большинство программ хранится в двоичных файлах.

Двоичные программные файлы являются микропроцессорно-ориентированными. Это означает, что программа, написанная для компьютера IBM PC, может быть выполнена только на компьютере, имеющей ту же самую систему команд.

Если в двоичном файле находятся и данные, то прочитать и понять их можно только с помощью специально написанной программы.

Текстовые файлы.

Если каждому символу алфавита сопоставить определенное число (например, порядковый номер), то с помощью двоичного кода можно кодировать и текстовую информацию. Восьми двоичных разрядов достаточно для кодирования 256 различных символов. Этого хватит, чтобы выразить различными комбинациями восьми битов все символы английского и русского алфавитов, как строчные, так и прописные, а также знаки препинания, символы основных арифметических действий и некоторые общепринятые специальные символы, например "@".

Теоретически это выглядит очень просто, однако всегда существовали достаточно веские органзационные сложности. В первые годы развития вычислительной техники они были связаны с отсутствием необходимых стандартов, а в настоящее время вызваны, наоборот, изобилием одновременно действующих и противоречивых стандртов. Для того, чтобы весь мир одинаково кодировал текстовые данные, нужны единые таблицы кодирования, а это пока невозможно из-за противоречий между символами национальных алфавитов, а также противоречий корпоративного характера.

Для английского языка, ставшего международным средством общения, противоречия уже сняты. Институт стандартизации США (ANSI – American Standard Institute) ввел в действие систему кодирования ASCII (American Standard Code for Information Interchange – стандартный код информационного обмена США). В системе ASCII закреплены две таблицы кодирования – базовая и расширенная. Базовая таблица закрепляет значения кодов от 0 до 127, а расширенная относится к символам от 128 до 255.

ASCII-код

С целью стандартизации в компьютерах используется американский национальный стандартный код для обмена информацией ASCII (American National Standard Code for Information). Наличие стандартного кода облегчает обмен данными между различными устройствами. Восьмибитовый расширенный ASCII-код обеспечивает представление 256 символов, включая символы для национальных алфавитов.

Но 01000001 представляет также букву А. Таким образом одна и та же комбинация из восьми битов может представлять как число, так и букву, а данном случае комбинаций 01000001 это 65, а с другой стороны – буква А. Все зависит от интерпретации битового содержания.

Если программа определяет элемент данных для арифметических целей, то 01000001 представляет двоичное число, эквивалентное десятичному числу 65.

Если программа определяет элемент данных (один смежный байт или более), имея в виду его описание, как, например, заголовок, тогда 01000001 представляет собой букву или «строку».

При программировании это различие становится понятным, так как назначение каждого элемента данных определено.

Закономерно возникает вопрос, откуда компьютер «знает», что значения восьми бит 01000001 представляют букву А. Когда на клавиатуре нажата клавиша А, операционная система принимает сигнал от этой конкретной клавиши в байт памяти. Это сигнал устанавливает биты в значения 01000001. Можно переслать этот байт в память, и если передать его на экран или принтер, то будет сгенерирована буква А.

Первые 32 кода базовой таблицы, начиная с нулевого, отданы производителям аппаратных средств. В этой области располагаются так называемые управляющие коды, которым не соответствуют никакие символы языков, и, соответственно, эти коды не выводятся на экран, ни на устройства печати, но ими можно управлять тем, как производится выод прочих данных. Начиная с кода 32 по код 127 размещены коды символов английского алфавита, знаков препинания, цифр, арифметических действий и некоторых вспомогательных символов.

Список литературы

1. IEEE 754-2008 Standard for Floating-Point Arithmetic
   Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике
   Официальный стандарт по арифметике с числами с плавающей точкой http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=4610933
2. ISO/IEC JTC1/SC22/WG14 – Programming Language C
   Стандарт языка программирования высокого уровня C, включающий в себя описание реализации чисел с плавающей точкой в этом языке. http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/
3. ISO/IEC JTC1/SC22/WG21 – Programming Language C++
   Стандарт языка программирования высокого уровня C++, включающий в себя описание реализации чисел с плавающей точкой в этом языке. http://www.open-std.org/JTC1/SC22/WG21/
4. А.C. Камкин, М.M. Чупилко. Тестирование модулей арифметики с плавающей точкой микропроцессоров на соответствие стандарту IEEE 754. Стр. 7-22. Труды Института системного программирования РАН, том 14, 2008 г. Часть 2. ISSN 2220-6426 (Online), ISSN 2079-8156 (Print). Стр. 7-22. http://www.ispras.ru/ru/proceedings/archives/isp_2008_14_2/isp_2008_14_2_7.php

Лекция №8

« Международный факультет прикладных информационных технологий

Бакалавриат «Информатика и вычислительная техника»

Представление данных

Определение. Байтом называется последовательность из восьми бит. Байт является минимально адресуемым элементом памяти.

Определение. Словом называется последовательность из двух байтов. Адресом слова является адрес младшего байта и всегда является положительным (ноль рассматриваем как положительное число). Длина слова равна 16 битам.

Определение. Двойным словом называется последовательность из четырёх байтов. Адресом двойного слова является адрес младшего байта и всего является положительным (ноль рассматриваем как положительное число). Длина двойного слова равно 32 битам.

Рассмотрим следующие виды чисел, представляемых в памяти машины:

целые числа без знака

целые числа со знаком

числа с фиксированной запятой (точкой)

числа с плавающей запятой (точкой)

Целые числа без знака и со знаком

Числа без знака получили свое название потому, что среди этих чисел нет отрицательных. Количество различных чисел, которые можно записать в байте, слове или двойном слове определяется числом сочетаний с повторениями из 2 соответственно по 8, 16, 32. Таким образом, количество различных чисел следующее:

2⁸ = 256 для байта

2¹⁶ = 65536 для слова

2³² = 4294967296 для двойного слова.

Целые числа без знака – это самый простой вид чисел: они представляют собой весь диапазон двоичных чисел, которые можно записать в байте, слове или двойном слове.

Диапазоны изменения целых чисел без знака следующие:

00H (0) - FF (255) для байта;

0000 (0) – FFFF (65535) для слова;

00000000 (0) – FFFFFFFF (4294967295) для двойного слова.

В представлении целых числа со знаком старший разряд используется как знаковый, а остальные используются для записи числа. Диапазоны изменения целых чисел со знаком следующие:

80H (-128) - 7FH (127)

8000H (-32768) - 7FFF (32767)

Определение. Прямым кодом называется двоичная запись неотрицательного целого числа.

Определение. Обратным кодом называется запись, полученная поразрядной инверсией прямого кода.

Определение. Дополнительным кодом называется запись, полученная прибавлением 1 (единицы) к обратному коду.

Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде и выражаются в дополнительном коде. Для представления отрицательного целого двоичного числа необходимо инвертировать все биты, равного по модулю положительного числа, а затем прибавить 1. Иными словами необходимо найти последовательной кодов чисел: прямой код, обратный код, дополнительный.

Сумма 65 и (-65) должна составлять ноль. Получим:

Все восемь бит имеют нулевое значение. Перенос единичного бита влево потерян.

Следует подчеркнуть, что знак числа условен. Одно и то же число, например FBH можно интерпретировать как число со знаком, так и число без знака.

Если битовую комбинацию представленную шестнадцатеричным числом FBH рассматривать как целое со знаком, то её значение будет равно (-5).

Если битовую комбинацию представленную шестнадцатеричным числом FBH рассматривать как целое без знака, то её значение будет рано 251.

Дадим выборочную таблицу 16-битовых чисел с указанием из машинного представления, а также значений без знака и со знаком. Из этой таблицы видно, что чисел со знаком размером в слово диапазон положительных значений простирается от 0 до 32767, а диапазон отрицательных значений до (-1) до (-32768).

Среди команд процессора, выполняющих обработку чисел, можно выделить команды, безразличные к знаку числа (например, inc, add), команды предназначенные для обработки чисел без знака (ja, jb), а также команды, специально рассчитанные на обработку чисел со знаком (jg, jl).

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: