Задача распределения ресурсов

В общем случае задача оптимального распределения ресурсов формулируется следующим образом. Предприятие распоряжается ресурсами различных типов. Среди таких ресурсов могут быть материально-вещественные, энергетические, трудовые, технические, финансовые и другие, не участвовавшие в нашем примере. Ресурсы каждого типа могут быть разделены на классы. Сырье - по видам сырья, трудовые - по профессиям и квалификации работников, технические - по техническим характеристикам, финансовые - по источникам финансирования и т.п. Пусть в результате такой классификации, такого разделения получилось m видов ресурсов.

Пронумеруем все виды ресурсов числами от 1 до m, буквой i будем обозначать номер вида ресурса. Таким образом, i удовлетворяет неравенству 1 £ i £ m. Заметим, что ресурсы разных видов могут измеряться в различных единицах (тоннах, кубометрах, человеко-часах, рублях, штуках и др.). В течение планового периода предприятие обладает некоторыми доступными объемами ресурса каждого вида. Объем ресурса i-го вида, измеренный в единицах соответствующих данному виду ресурса, обозначим посредством bi. Индекс i около буквы b указывает, что доступные объемы ресурсов разных видов могут быть различными.

Из этих ресурсов предприятие способно изготавливать различную продукцию. Обозначим буквой n общее число видов продукции, которые может выпустить предприятие из имеющихся ресурсов. Занумеруем все виды продукции числами от 1 до n. Буквой j будем обозначать номер вида продукции, так что выполняется неравенство 1 £ j £ n. Продукция, как и ресурсы, может измеряться в различных единицах.

Пусть cj - цена, по которой предприятие реализует каждую единицу продукции j-го вида. Индекс j около буквы c указывает, что цена разных видов продукции может быть различной. Производство продукции требует затрат ресурсов. Объем затрат зависит от вида ресурса, вида продукции и количества единиц продукции. Обозначим посредством aij норму затрат ресурса i-го вида на производство продукции j-го вида. Другими словами, aij - это количество ресурса i-го вида, затрачиваемое при производстве единицы продукции j-го вида.

Задача оптимального использования ресурсов, задача производственного планирования, состоит в том, чтобы определить, какую продукцию и в каком объеме следует изготовить предприятию из имеющихся ресурсов с тем, чтобы доход от реализации продукции был наибольшим.

Построим математическую модель задачи. Сначала введем переменные. Посредством xj обозначим искомый объем выпуска продукции j-го вида. Математическую модель можно теперь записать в следующей форме:

Верхняя строка записи говорит о максимизации целевой функции. Сама целевая функция представляет собой обычно сумму произведений цен на объем выпуска для различных видов продукции, то есть доход предприятия от продажи изготовленной продукции. В качестве коэффициентов целевой функции часто используют величину маржи от продажи единицы продукции соответствующего вида. В этом случае целевая функция представляет собой маржинальную прибыль. Фигурная скобка объединяет систему ограничений задачи, неравенства, входящие в систему, соответствуют различным видам ресурсов. Каждое такое неравенство говорит о том, что суммарное количество ресурса, используемое в производстве различных видов продукции, не превосходит общего запаса этого ресурса. В последней строке системы ограничений указано, что количества производимой продукции не могут быть отрицательными. Заметим, что равенство нулю здесь не запрещено, то есть некоторые (или даже все) виды продукции предприятие может и не выпускать, хотя они и доступны для выпуска. Экономическая задача поиска плана производства продукции, дающего наибольший доход, превращается в математическую задачу поиска максимального значения целевой функции от n переменных при условии, что значения этих переменных подчинены системе ограничений, имеющих форму неравенств.

Всякий набор значений переменных (x1, x2,..., xn) называется планом задачи. Те планы, которые удовлетворяют системе ограничений, называются допустимыми планами. Оптимальным планом называется тот из допустимых планов, который дает наибольшее значение целевой функции среди всех ее значений на допустимых планах. Само это наибольшее значение целевой функции, то есть значение целевой функции на оптимальном плане, называется оптимумом задачи.

104. Нелинейное программирование

Нелинейное программирование — случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением является нелинейная функция.

Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции при выполнении условий

где — параметры, — ограничения, — количество параметров, — количество ограничений.

В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями.

Общая задача нелинейного программирования (ОЗНП) определяется как задача нахождения максимума (или минимума) целевой функции f(x1, х2,..., xn) на множестве D, определяемом системой ограничений

где хотя бы одна из функций f или gi является нелинейной.

По аналогии с линейным программированием ЗНП однозначно определяется парой (D, f) и кратко может быть записана в следующем виде

Также очевидно, что вопрос о типе оптимизации не является принципиальным. Поэтому мы, для определенности, в дальнейшем по умолчанию будем рассматривать задачи максимизации.

Как и в ЗЛП, вектор х* = (x1*,x2*,...,xn*) D называется допустимым планом, а если для любого x D выполняется неравенство f(x*) ≥ f(x), то х* называют оптимальным планом. В этом случае х*является точкой глобального максимума.

С точки зрения экономической интерпретации f(x) может рассматриваться как доход, который получает фирма (предприятие) при плане выпуска х, а gi(х) ≤ 0 как технологические ограничения на возможности выпуска продукции. В данном случае они являются обобщением ресурсных ограничений в ЗЛП (аiх – bi ≤ 0).

Задача (2.2) является весьма общей, т. к. допускает запись логических условий, например:

или запись условий дискретности множеств:

Набор ограничений, определяющих множество D, при необходимости всегда можно свести либо к системе, состоящей из одних неравенств:

либо, добавив фиктивные переменные у, к системе уравнений:

Перечислим свойства ЗНП, которые существенно усложняют процесс их решения по сравнению с задачами линейного программирования:

1. Множество допустимых планов D может иметь очень сложную структуру (например, быть невыпуклым или несвязным).

2. Глобальный максимум (минимум) может достигаться как внутри множества D, так и на его границах (где он, вообще говоря, будет не совпадать ни с одним из локальных экстремумов).

3. Целевая функция f может быть недифференцируемой, что затрудняет применение классических методов математического анализа.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: