Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

Предисловие

Данное учебно-методическое пособие предназначено в первую очередь, для студентов экономико-управленческих специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объёме высшую математику. Пособие является дополнением к конспектам лекций по высшей математике часть I, а также руководством для подготовки и проведения практических занятий.

Пособие разбито на учебные элементы — занятия, каждое занятие содержит справочный материал (основные определения, формулы, признаки и т.п.), необходимый для решения задач. Каждый учебный элемент содержит три блока задач (аудиторные, домашние и дополнительные), при составлении которых особое внимание уделено стандартным задачам, которых так не хватает для успешного хода учебного процесса. Приводятся методические рекомендации по решению определённого круга задач, в частности, алгоритмы их решения. Такая форма изложения позволяет сначала познакомиться с приёмами решения типовых задач и оформлением записи их решения, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении. Тем не менее, в пособии довольно много сложных заданий и устных вопросов. Приводится два варианта типовой контрольной работы, а также решение индивидуального домашнего задания. Среди устных заданий немало качественных вопросов, обычно предлагаемых на экзаменах по высшей математике, эта часть данного издания будет полезна студентам для подготовки к экзаменам.

Список обозначений:

▲ ▼ — важные определения;

[ — «обратите особое внимание!»

► ◄ — начало и конец решения.

Занятие 1

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним

Цели

Знать:

v Основные определения, связанные с понятием дифференциальные уравнения.

Уметь:

v Определять, что функция удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению;

v находить решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными;

v решать задачу Коши.

▼ Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков, т.е.

.▲

▼ Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.▲

▼Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

.▲ (1)

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у ', то его записывают в виде

. (2)

и называют дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

P (x; y)× dx + Q (x;y)× dy =0, (3)

где Р (х; у) и Q (x; y) — известные функции.

▼Условие, что при х = x ₀ функция у (x) должна быть равна заданному числу y _o, т.е. у = у ₀, называется начальным условием (условие Коши). Начальное условие записывается в виде

или .▲ (4)

▼Дифференциальное уравнение вида

или

Р (х) dx + Q (y) dy =0, (5)

где Р (х) и Q (y) — непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными (с разделенными переменными).▲

▼ Уравнения с разделяющимися переменными в общем случае имеет вид

.▲ (6)

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Уравнение , где а, b, с — числа, путем замены ах + by + с = u сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем:

.

Данное уравнение принимает вид , откуда следует .

Интегрируя это уравнение и заменяя u на ах + by + с, получим общий интеграл исходного уравнения.

Постановка задачи 1: Доказать, что функция у = у (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

План решения: 1. Вычислить производную ;

2. Подставить у (х) и в уравнение ;

3. Убедиться в том, что получается тождество, т.е. для всех допустимых х.

№ 1. Проверить, что функция у = х + С есть общее решение дифференциального уравнения , и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование.

►Функция у = х + С удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной С. В самом деле, . Зададим произвольное начальное условие . Полагая х = х ₀ и у = у ₀ в равенстве у = х + С, найдём, что С = у ₀- х ₀. Подставив это значение С в данную функцию, будем иметь у = х + у ₀- х ₀. Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию. В самом деле, положив х = х ₀ получим у = х ₀+ у ₀- х ₀= у ₀. Таким образом функция у = х + С является общим решением данного дифференциального уравнения. В частности, полагая х ₀=0 и у ₀=0, получим частное решение у = х.

Общее решение данного дифференциального уравнения, т.е. функция у = х + С определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k =1 (см. рис. 1).

Рис.1

Через каждую точку М ₀(х ₀; у ₀) плоскости проходит единственная интегральная линия у = х + у ₀- х _0. Частное решение у = х определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую проходящую через начало координат.◄

№2. Проверить, является ли функция общим решением или общим интегралом уравнения .

►Необходимо проверить два условия:

1) удовлетворяет ли функция дифференциальному уравнению при любом С;

2) для всякого ли начального условия у = у ₀ при х = х ₀ найдётся С = С ₀.

В результате дифференцирования функции заданной неявно получим . Отсюда .

Подставив это значение в исходное уравнение, получим тождество.

Итак, первое условие выполняется, указанная функция является решением уравнения.

Проверим второе условие. Зададим начальные условия . Запишем данную функцию в виде . Так как , то и , но это верно лишь при условии .

Если взять точку (х ₀; у ₀) вне окружности с центром в начале координат и радиусом R =2, то получим , что невозможно ни при каких действительных значениях С. Следовательно, выражение не является общим интегралом данного уравнения.◄

Постановка задачи 2: Решить уравнение вида .

План решения: 1. Убедиться, что уравнение с разделяющимися переменными, для этого исходное уравнение привести к виду

или или — уравнения с разделяющимися переменными в общем виде; или в дифференциальной форме: ;

2. Обе части уравнения умножаем на dx (вообще говоря, нужно сделать так (используя различные алгебраические приемы), чтобы дифференциалы и стояли в числителях, а не в знаменателях);

;

3. В области, где и разделяем переменные, т.е. представляем уравнение в виде

;

(другими словами делаем так, чтобы каждая из функций «стояла у своего дифференциала», то есть где - там , где - );

Замечание. Если одно или оба уравнения и имеют решения х ₁, х ₂, …, и у ₁, у ₂, …, то равенства х = х ₁, х = х ₂, … и у = у ₁, у = у ₂, … нужно присоединить к ответу, так как они являются особыми решениями исходного уравнения.

4. Вычислим интегралы в уравнении

.

Константа С при этом есть произвольная постоянная интегрирования, которую достаточно прибавить к первообразной в любой части равенства;

5. Полученное выражение преобразуем к виду при всевозможных значениях С.

№3. Решить уравнение .

►1)Данное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид . В данном случае , , , .

2) Обе части уравнения умножать на dx не надо, так как уравнение уже имеет нужный вид, а именно:

, теперь разделим «на стоящую не у своего дифференциала функцию» :

. То есть получили вид , где и .

3)В области, где разделяем переменные, т.е. представляем уравнение в виде

.

В нашем случае надо разделить обе части уравнения на y:

, . В результате этих действий переменные разделились. Слева при присутствует только y (нет «иксов»), а справа при присутствуют только «иксы» (нет «игреков»).

4)Интегрируем обе части уравнения:

. Получаем: . Отметим, что постоянную интегрирования в выражение для общего решения можно вводить в произвольном виде так, как это удобно в конкретной ситуации, например, -С, , , , . Поэтому можем написать . Упрощаем:

,

,

. Получили общее решение исходного дифференциального уравнения.

5)Можно его записать в виде , то есть . Это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения. - особое решение.◄

№4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

►1)Данное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в дифференциальной форме

.

2)Обе части уравнения умножаем на dx.

.

3)Разделяем переменные , .

4)Интегрируя, найдём общий интеграл . После потенцирования получим

или ,

что является общим решением исходного уравнения.

Положим теперь , тогда . Откуда С =1. Итак, — частное решение исходного уравнения. - особое решение.◄

№5. Найти решение уравнения .

►Воспользуемся подстановкой z =3 x + y, где z = z (x). Дифференцируя, находим ; .

Тогда исходное уравнение принимает вид:

; .

1)Данное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными.

Заменяем отношением : .

2)Умножаем обе части уравнения на : .

3)Разделяем переменные. Для этого делим на «стоящую не у своего диффереренциала» функцию :

.

4)Интегрируя, получаем: .

Возвращаемся к замене:

. Это общее решение.◄

Аудиторное занятие

Проверить, что данная функция является решением дифференциального уравнения:

№1. , .

№2. .

№3. , .

Решить уравнения:

№4. .

Ответ: .

№5. , у (0)= -1. Ответ: y =2+ C cos x; y =2-3cos x.

№6. . Ответ: y -ln| x + y +1|= C.

№7. . Ответ: y =tg(ln Cx).

№8.. у (1)=1.

Ответ: .

№9. .

Ответ: .

№10. 2 xy dx + x ² dy =0. Ответ: C = x ² y.

№11. .

Ответ: .

№12. . Ответ: .

№13. . Ответ: , y=0.

№14. . Ответ: , у =1.

№15. . Ответ: х + у = С (1- ху).

№16. .

Ответ: , .

Домашнее задание

Проверить, что данная функция является решением ДУ:

№17. , .

№18. , .

№19. .

Решить уравнения:

№20. . Ответ: (х -1)²+ у ²= С ².

№21. . Ответ: .

№22. , у (0)=1.

Ответ: ; у =1.

№23. .

Ответ: .

№24. . Ответ: .

№25. . Ответ: .

№26. . Ответ: tg² x +sin² y = C.

№27. ,

Ответ: .

№28. . Ответ: .

№29. .

Ответ: .

№30. , у (1)=-1.

Ответ: .

№31. Ответ: ,

№32. , у (1)=0. Ответ: .

№33. , . Ответ: y =-2cos x.

Дополнительные задания

Проверить, что данная функция является решением ДУ:

№34. , .

№35. , .

№36. , .

№37. , .

№38. , .

№39. , .

Решить уравнения:

№40. .

Ответ: .

№41. .

Ответ: .

№42. . Ответ: .

№43. .

Ответ:

№44. , у =-2 при х =2.

Ответ:

№45. , .

Ответ:

№46. . Ответ: .

№47. , у (1)=2.

Ответ:

№48. . Ответ: .

№49. y ln y dx + x dy =0; у (1)=1. Ответ: у =1.

№50. , у (0)=0.

Ответ: .

№51. .

Ответ: .

№52. , у (0)=1.

Ответ: .

№53. . Ответ: .

№54. , у (-1)=1. Ответ: х + у =0.

№55. , y (0)=0. Ответ: .

№56. . Ответ: arctg y =ln| Cx |.

№57. (x + xy) dy +(y - xy) dx =0, y (1)=1. Ответ: y - x +ln| xy |=0.

№58. , y (0)=1. Ответ:

№59. . Подстановка xy = t.

Ответ: .

№60. . Подстановка xy = t.

Ответ: .

№61. . Подстановка x ln y = t.

Ответ: ; х =0.

Занятие 2

Цели

Знать:

v основные формы записи однородного дифференциального уравнения;

v методы решения однородных дифференциальных уравнений.

Уметь:

v Определять, порядок функции;

v находить решения однородного дифференциального уравнения;

v решать задачу Коши для однородного дифференциального уравнения.

▲Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция f (x; у) есть однородная функция нулевого порядка.▲

▲Однородное уравнение в дифференциальной форме

, (7)

где Р (х; у) и Q (x; у) — однородные функции одинакового порядка.▲

№ 6. Определить порядок функций:

1) ; 2) .

►1) Функция есть однородная функция третьего порядка, так как = =

= ;

2) Функция есть однородная функция нулевого порядка, так как

.

Постановка задачи 3: Решить уравнение вида

, (8)

где Р (х, у) и Q (x, у) — однородные функции одинакового порядка, т.е. и .

План решения: 1. Убедиться, что уравнение однородное;

2.Преобразуем исходное уравнение к виду

(9);

3. Ввести новую функцию t (х) с помощью подстановки y = tx, дифференцируя это равенство имеем:

;

4. Записать уравнение (9) через новую функцию:

, т.е. уравнение с разделяющимися переменными;

5. Разделяем переменные в области, где :

;

6. Интегрируем полученное уравнение;

7. Делаем замену ;

8. Записываем общее решение или общий интеграл.

№7. Решить уравнение: при у (1)=1.

►1)Убедимся, что уравнение однородное. Для этого перепишем исходное уравнение в виде .

Здесь , . Найдем и .

Обе эти функции – однородные первого порядка. Итак, уравнение - однородное.

2)Преобразуем исходное уравнение к виду

. Для этого разделим на x обе его части .

Замечание: не всегда опеделение порядка функций является необходимостью; чаще всего бывает достаточно привести исходное уравнение к виду . Такой вид уже говорит о том, что уравнение – однородное.

3)Полагаем , у = tx, .

4)Тогда уравнение принимает вид: — уравнение с разделяющимися переменными.

5)Разделяем переменные:

- переносим слагаемые с t в одну сторону: ;

- заменяем отношением : ;

- умножаем обе части на : .

6)Интегрируя, получаем:

ln|ln t -1|=ln| x |+ln| C | или ln t -1= Cx.

7)Делаем замену : .

8)Записываем общее решение: или

Для того, чтобы получить частное решение, подставим начальное условие в полученное решение: , отсюда С =-1. Таким образом, частное решение исходного уравнения будет иметь вид .◄

Постановка задачи 4: Решить уравнение вида (10)

Такие уравнения приводятся к однородному с помощью замены , где есть решения системы .

№8. Решить уравнение (x -2 y +3) dy +(2 x + y -1) dx =0.

►Представим исходное уравнение в виде:

.

Решаем систему например, по правилам Крамера. В данном случае и , .

Делаем замену переменных , и получаем в результате однородное уравнение

.

Деля числитель и знаменатель правой части уравнения на и заменяя , получим общий интеграл этого уравнения:

- приводим уравнение к виду : ;

- делаем замену (Отметим, что , .) и записываем уравнение через новую функцию: ;

получили уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим . Далее делаем обратный переход: и получаем . Возвращаясь к старым переменным , имеем окончательный ответ

.◄

Замечание: если , то следует выполнить следующую замену .

Аудиторное занятие

Решить уравнения:

№62. при . Ответ: y =2 x arctg x.

№63. . Ответ: .

№64 x dy – y dx = y dy, y (-1)=1. Ответ: x =- y (1+ln y).

№65. (x + y -2) dx +(x - y +4) dy =0. Ответ: x ²+2 xy - y ²-4 x +8 y = C. №66. . Ответ: .

№67. . Ответ: .

№68. x dy =(x + y) dx. Ответ: y = x (ln| x |+ C).

№69. . Ответ: .

№70. .

Ответ: .

№71. , у (1)=0. Ответ: .

Домашнее задание

№72. . Ответ: .

№73. 2 x ² dy =(x ² + y ²) dx. Ответ: .

№74. (x ²+ y ²) dx -2 xy dy =0. Ответ: y ²= x ²- Cx.

№75. (x ² +2 xy) dx + xy dy =0. Ответ: .

№76. ; . Ответ: .

№77. .

Ответ: .

№78. .

Ответ: .

№79. . Ответ: .

№80. . Ответ: .

№81. ; . Ответ: .

№82. .

Указание: подсановка . Ответ: .

№83. . Ответ: .

Дополнительные задания

№84. . Ответ: .

№85. . Ответ: y ²=4 x ²ln Cx.

№86. . Ответ: .

№87. , . Ответ: y = x arcsin x.

№88. . Ответ: .

№89. ; . Ответ: .

№90. , у (1)=0. Ответ: y =- x ln|1-ln x |.

№91. . Ответ: .

№92. , . Ответ: .

№93. . Ответ: .

№94. . Ответ: .

№95. , .

Ответ: .

№96. , .

Ответ: .

№97. . Ответ: .

№98. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: . Ответ: .

№99. . Ответ: .

№101. .

Указание: сделать замену .

Ответ: .

Занятие 3

Уравнение Бернулли

Цели

Знать:

v основные формы записи линейного дифференциального уравнения;

v методы решения линейных дифференциальных уравнений.

Уметь:

v находить решения линейного дифференциального уравнения;

v решать задачу Коши для линейного. дифференциального уравнения.

▼Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением, если его правая часть есть линейное выражение относительно искомой функции

.▲

Коэффициенты а и b — либо постоянные, либо функции от х.

Классическая форма линейного уравнения

дифференциальная форма

. (13)

Постановка задачи 5: Решить уравнение методом Бернулли.

План решен

123Следующая ⇒

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: