Уравнения, не содержащие явно искомой функции

Постановка задачи: Решить уравнение вида

. (16)

План решения: 1. Полагая , получим дифференциальное уравнение первого порядка .

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где С ₁ — произвольная постоянная.

3. Так как , имеем

.

Последовательно интегрируя k раз (при каждом интегрировании не забывая о произвольной постоянной), получим ответ

, n = k +1, — произвольные постоянные.

№17. Решить уравнение. .

►Данное уравнение второго порядка, не содержащие явно искомой функции y.

Обозначим , , где р = р (х) — новая неизвестная функция.

Тогда уравнение примет вид:

или .

Откуда или .

Так как , то . Разделяя переменные: , получаем общее решение .◄

3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной

Постановка задачи: Решить уравнение вида

(17).

План решения: 1. Поскольку данное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

,

где р (у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

или .

Получаем уравнение первого порядка относительно р (у).

2. Определив тип уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим .

3. Возвращаемся к замене , получаем уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные, имеем и, интегрируя, находим .

№18. Решить уравнение .

►Уравнение второго порядка и не содержит независимой переменной х. Полагаем , .

Тогда исходное уравнение имеет вид или — линейное уравнение I-го порядка.

Решим полученное уравнение методом Бернулли. Пусть p = uv, тогда . Откуда , а .

Следовательно , или — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

;

или , где .◄

Аудиторное занятие

№107. .

Ответ: .

№108. . Ответ: .

№109. . Ответ: .

№117. . Ответ: .

№110. .

Ответ: .

№111. .

Ответ: .

№112. ; .

Ответ: .

№113. .

Ответ: .

№133. .

Ответ: .

№134. ; .

Ответ: .

Домашнее задания

№114. ; .

Ответ: .

№119. .

Ответ: .

№118. .

Ответ: .

№118. .

Ответ: .

№120. . Ответ: .

№116. ; .

Ответ: .

№121. . Ответ: y = x ²- C ₁cos x + C ₂ x + C ₃.

№126. ; y (1)=1, .

Ответ: .

№131. .

Ответ: .

Дополнительные задания

№125. ; .

Ответ: .

№127. .

Ответ: .

№135. . Ответ: .

№129. . Ответ: .

№130. . Ответ: .

№132. . Ответ: .

№124. .

Ответ: .

№115. . Ответ: .

№136. ; . Ответ: .

№137. . Ответ: .

№123. . Ответ: .

№123. .

Ответ: .

№122. ; .

Ответ: .

№128. ; .

Ответ: .

Занятие 6

Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Цели

Знать:

v вид линейного однородного и неоднородного ДУ высших порядков;

v структуру общего решения линейного однородного и неоднородного ДУ;

Уметь:

v находить частное и общее решения линейного ДУ;

v находить частное решение методом неопределённых коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных.

▼Уравнение вида

, (18)

где p ₁, p ₂, …, p_n — константы, называется линейным ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами. ▲

▼Если f (х)=0 то уравнение называется линейным однородным уравнением, если f (х)¹0, то уравнение называется неоднородным. ▲

Для нахождения общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами составляем характеристическое равнение

. (19)

ÞПри составления характеристического уравнения достаточно в уравнении (18) заменить у⁽ⁿ⁾, у ^{( n-1 )} … у соответственно на kⁿ, k^{n -1}и 1.

Таблица 1

Составление общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

характер корней характеристического уравнения	вид общего решения
действительный простой корень k
действительный корень k кратности m
пара сопряжённых корней
пара сопряжённых корней кратности m

Постановка задачи: Решить линейное однородное ДУ уравнение n -гопорядка с постоянными коэффициентами

.

План решения: 1. Записать характеристическое уравнение , где у⁽ⁿ⁾, у ^{( n-1 )} … у заменены соответственно на kⁿ, k^{n -1}и 1;

2. Найдя корни характеристического уравнения составить общее решение данного уравнения, воспользовавшись таблицей 1.

Теорема (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением у уравнения (18) является сумма его общего решения соответствующего однородного уравнения = C ₁× у ₁+ C ₂× у ₂и произвольного частного решения у*, т.е.

y = + y *. (20)

Теорема (о наложении решений). Если правая часть уравнения (18) представляет собой сумму двух функций , а у *₁ и у *₂ — частные решения уравнений и соответственно, то функция является решением данного уравнения.

Для нахождения частных решений неоднородных ДУ используют метод неопределённых коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: