ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Кафедра высшей математики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Раздел «Линейная алгебра»

Электронное учебно-методическое пособие

для студентов 1 курса экономического факультета

Кемерово 2009

Составитель: старший преподаватель Айнетдинова Л.Н.

Высшая математика. Раздел «Линейная алгебра». Электронное учебно-методическое пособие для студентов 1 курса экономического факультета./ сост. Л.Н. Айнетдинова; ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». – Кемерово, 2009. – 58 с.

Электронное учебно-методическое пособие написано по курсу Высшая математика. Раздел «Линейная алгебра» для студентов 1 курса экономического факультета в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.

Учебно-методическое пособие содержит вопросы, которые необходимо знать для изучения предложенной темы практического занятия, разработаны примеры задач, приведены задачи для работы в аудитории и для самостоятельной работы.

Содержание

СодержаниеВведение. 4

Введение. 5

Тема 1. 6

Матрицы.. 6

Примеры решения задач. 6

Тема 2. 10

Свойства определителей. 10

Примеры решения задач. 10

Тема 3. 14

Обратная матрица. Матричные уравнения. 14

Примеры решения задач. 14

Тема 4. 17

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 17

Примеры решения задач. 17

Тема 5. 21

Ранг матрицы СЛАУ. 21

Примеры решения задач. 21

Тема 6. 25

Однородная система линейных уравнений. ФСР. 25

Примеры решения задач. 25

Тема 7. 28

Линейная зависимость векторов. 28

Базис и размерность линейного пространства. 28

Примеры решения задач. 29

Тема 8. 35

Линейные операторы. 35

Тема 9. 37

Квадратичные формы. 37

Тема 10. 39

Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи. 39

Тема 11. 41

Кривые второго порядка. 41

Тема 12. 44

Прямая и плоскость в пространстве. 44

Тема 13. 46

Векторная алгебра. 46

Справочные материалы.. 48

ГЛОССАРИЙ.. 50

ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ.. 54

Литература. 58

Введение

Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика» разработано в соответствии с типовой учебной программой и преследует собой – устранить недостаточность и разрозненность задачников по данному курсу.

Данное пособие предназначено для изучения следующих разделов курса: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия».

К каждой теме приведены вопросы, которые необходимо знать для изучения предложенной темы. Представлены примеры для решения студентами, как на практических занятиях, так и для выполнения домашних заданий. В конце пособия приведен глоссарий к разделу «Линейная алгебра» и справочный материал по теме «Векторная алгебра».

Тема 1

Матрицы

I. Контрольные вопросы.

1. Что называется матрицей?

2. Что понимается под операцией транспонирования матрицы? Существует ли транспонированная матрица для матрицы ?

3. Свойства операции транспонирования матриц

4. Записать в развернутом виде матрицу

5. Можно ли сложить две матрицы с размерами

6. Как перемножаются матрицы? Можно ли умножить матрицу с размерами на матрицу с такими же размерами.

7. Как связаны между собой минор и алгебраическое дополнение элемента ? Запишите минор и алгебраическое дополнение элемента .

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить произведение матриц .

Решение. Перемножим матрицы, умножая элементы каждой строки на соответствующие элементы каждого столбца.

Пример 2. Доказать, что матрица удовлетворяет уравнению

Решение. Подставим матрицу в исходное уравнение

Следовательно, матрица является корнем матричного уравнения .

II. Задания

1. Даны матрицы . Вычислите

2. Найти значение многочлена от матрицы :

3. Как изменится произведение матриц , если:

а) переставить - ю и - ю строки ;

б) к -й строке матрицы прибавить -ую строку, умноженную на число ;

в) переставить -й и -й столбцы матрицы ;

г) к -му столбцу матрицы прибавить -й столбец, умноженный на число .

4. Найдите те из произведений матриц , которые существуют:

5. Вычислить , где

6. Какие из следующих операций можно провести с матрицами А, В?

7. Является ли матрица корнем уравнения

Тема 2

Свойства определителей

I. Контрольные вопросы.

1. Что значить разложить определитель по элементам строки (столбца).

2. Запишите схематично «правило треугольника».

3. Запишите теорему Лапласа.

4. Сформулируйте свойства определителя и на примере определителя 3-го порядка, написанного в общем виде докажите их.

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислит величину определителя .

Решение. Рассмотрим три способа нахождения величины определителя.

1 способ основан на разложении определителя (теорема Лапласа), например, по первой строке.

.

2 способ использует правило треугольников (правило Саррюса).

3 способ основан на приведении определителя к треугольному виду. Определитель же треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

Последний способ прекрасно работает с большими определителями.

II. Задания.

1. Вычислите определители 2-го порядка

2. Вычислите определитель 3-го порядка

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. Используя свойства определителя доказать следующие тождества (определители не развертывать):

6. Вычислить следующие определители используя свойства

7. Вычислить определители; получив максимальное число нулей в строке или столбце:

8. Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями .

9. Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями

10. Найти значение параметра С, при котором величина определителя матрицы станет равной .

Тема 3

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: