Методы решения СЛАУ квадратного типа. 1 Метод Крамера

Методы решения СЛАУ квадратного типа. 1 Метод Крамера

Составим определитель м-ы системы А:

который называется также определителем системы.

Теорема. (правило Крамера). Пусть А — определитель матрицы системы А, а

,— определитель, полученный из определителя А заменой j-гo столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если

,≠ 0, то система линейных уравнений (1.40) имеет единственное решение, определяемое по формулам

(1,43)

Формулы вычисления неизвестных (1.43) носят название формул Крамера.

В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (1.35), когда число уравнений = числу неизвестных, т. е. т = п. Система уравнений имеет вид

Квадратная м-а А порядка п этой системы получается из матрицы (1.36) при т = п.

В матричной форме система уравнений (1.40) имеет вид (1.38). Пусть м-а системы А явл-ся невырожденной, т. е. сущ-ет обратная м-а А '. Умножив обе части этого уравнения слева на А ', получаем решение системы (1.40) в матричной форме: X=A^-1B.

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по довольно сложным формулам. В случае, когда порядок п матриц А и А 'достаточно велик, нахождение обратной м-ы может быть довольно трудоемким процессом.

Рассмотрим систему уравнений общего вида (1.35). Пусть для определенности а₁₁≠0 (если а₁₁ = 0, то можно переставить на первое место ненулевое слагаемое или начать с другого уравнения). Умножим первое уравнение системы (1.35) на число a₂₁/a₁₁ и вычтем его из второго уравнения этой системы. Затем умножим обе части первого уравнения на число а₃₁/а₁₁ и вычтем его из третьего уравнения и т. д. — т. е. процесс закл-ся в последовательном вычитании первого уравнения, умножаемого на числа а_i₁/а₁₁, из i-го уравнения (i= 1, 2, 3,..., п). Т. о., в результате элементарных преобразований мы получаем эквивалентную систему в которой, начиная со второго уравнения, отсутствуют слагаемые, содержащие неизвестное Х

Здесь верхний индекс в скобках означает новые коэффициенты, полученные после первого шага. Для уменьшения громоздкости записи удобнее оперировать с расширенной матрицей системы, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов. Итак, после первого шага, содержащего (т- 1) элементарных преобразований системы, мы переходим от расширенной матрицы (1.39) исходной системы к расширенной матрице

Второй шаг заключается в том, что теперь 2-я строка матрицы (1.45) используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3-й по т-ю: эта строка последовательно умножается на число ai2/а11 и вычитается из i-й строки (i = 3, 4 … т). В результате этих (т - 2) элементарных преобразований получаем новую расширенную матрицу, соответствующую новой эквивалентной системе уравнений. Эта матрица имеет вид

где верхний индекс означает новые коэффициенты. В случае, если элемент а22 = 0, то второе уравнение можно поменять местами с другим уравнением, у которого элемент аi2≠ 0.Продолжим этот процесс аналогичным образом (т.е. на третьем шаге преобразуются строки с 4-й по т-ю, на четвертом шаге — строки с 5-й по т-ю и т. д.) до тех нор, пока не дойдем до последней т-й строки. После (r - 1)-го шага процесса последовательного исключения неизвестных мы получим следующую расширенную матрицу:

Последние (т — r) строк этой матрицы соответствуют уравнениям эквивалентной системы уравнений

уравнения могут появиться, если соответствующие уравнения исходной системы (1.35) представляют собой линейные комбинации других уравнений этой системы, о чем говорилось в предыдущем разделе. Здесь мы не исследовали заранее систему (1.35) на совместность; поэтому, если эта система несовместна, то хотя бы одно из чи

не равно нулю. Таким образом, метод Гаусса позволяет на определенном шаге установить возможную несовместность исходной системы линейных уравнений или выявить и удалить уравнения, являющиеся линейными комбинациями других уравнений системы (1.35), если она совместна.

Пусть система (1.35) совместна, тогда все правые части уравнений (1.48)

равны нулю, и после удаления нулевых уравнений в эквивалентной системе и нулевых строк в расширенной матрице получаем матрицу специфического ступенчатого вида, ранг которой равен г. Все элементы этой матрицы, стоящие слева или ниже элементов а,,, равны нулю:

Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений ранга г, которая имеет вид

Система уравнений (1.50) уже полностью подготовлена к нахождению решения, которое осуществляется снизу вверх, т. е. от последнего уравнения к первому. Переход от системы (1.35) к эквивалентной ее системе (1.50) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных из системы (1.50) — обратным ходом метода Гаусса. Укажем дальнейшую последовательность действий.

1. Если ранг системы (1.35) r=п, то система (1.50) имеет вид

Поднимаясь снизу вверх, последовательно находим (обратный ход метода Гаусса):

— из (г - 1)-го уравнения неизвестное хi путем подстановки в это

— из i-го уравнения неизвестное хi при подстановке в него найденных

— и так далее до первого уравнения, из которого при подстановке в

него уже найденных величин r„ х(r-1),..., х(r-i) находим х1.

2. Ранг системы уравнений (1.50) r < п. В этом случае объявляем неизвестные х(r+1) х(r+2) … хп свободными и формируем правые части уравнений (1.50), оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х1, х2,..., хn;.

Решение этой системы находится обратным ходом метода: теперь базисные неизвестные зависят от свободных неизвестных, которые могут принимать любые значения, а потому система (1.35) имеет бесчисленное множество решений.

16 Решение СЛАУ прямоугольного вида(m*n). Общее, частное, базисное, опорное решения.

Столбцы, на которых организовалась единичная матрица(или матрица, у которой на побочной диагонали 1, а остальные 0) являются линейно независимыми, любой другой столбец этой матрицы через них выражается и поэтому они являются базисными столбцами. Переменные, которые связаны с этими столбцами, называются базисными переменными, а остальные переменные называются свободными.

Представление базисных переменных через свободные называется общим решение системы уравнений.

Из общего решения можно получить любые частные решения, если свободным переменным придать любые произвольные значения. По формулам общего решения рассчитать базисные элементы и совокупность количественных значений для переменных носит название частного решения. Таких значений может быть бесчисленное множество.

Если свободные переменные занулить, то получаем частное решение вида

Если базисное решение получилось с неотрицательным знаком, т.е.bj≥0, то такое базисное решение носит название опорное решение.

17. Однородные системы линейных уравнений. Определение. СЛАУ наз-ся однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены =0.В общем случае однородная система (или система однородных уравнений) имеет вид

Однородная система уравнений всегда совместна: действительно, набор значений неизвестных хi = 0 (i = l, 2,..., п) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение однородной системы называется нулевым, или тривиальным.

18 Необходимое и достаточное условие существования нетривиального решения системы вида n*m. Вопрос о существовании ненулевого решения однородной системы линейных уравнений разрешает следующая теорема. Теорема. Однородная система имеет ненулевое решение т. и т. т., когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных.

Из этой теоремы вытекают 2 важных следствия.1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение. 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.