Динамічні характеристики ланок і систем

План лекції:

1. Зворотні зв’язки в системах автоматичного регулювання.

2. Динаміка систем автоматичного керування.

3. Перетворення Лапласа.

4. Передаточні функції.

5. Загальні відомості про частотні характеристики.

Література: [1], [3], [4], [5], [7].

Зворотні зв’язки в системах автоматичного регулювання

Як було зазначено раніше, в замкнутих системах автоматичного керування замикання системи, що дає змогу забезпечити надходження на вхід об’єкта сигналу, пропорційного вихідній величині об’єкта, виконується за допомогою зворотного зв’язку. Оскільки цей сигнал повинен подіяти на об’єкт таким чином, щоб відхилення вихідної величини об’єкта, яке з’явилося внаслідок дії збурення, зменшилось, то головний зворотний зв’язок є від’ємним.

Під зворотним зв’язком розуміють таке виконання зв’язків у системі, при якому на вхід елемента надходить величина х_зв.з, пропорційна вихідній величині елемента (рис.4.1).

Основний елемент має передаточний коефіцієнт K. Формування сигналу зворотного зв’язку виконується пристроєм зворотного зв’язку. Його дія визначається коефіцієнтом, який показує відношення вихідної величини пристрою зворотного зв’язку х_зв.з до вихідної величини елемента х_вих:

Додатним зворотним зв’язком називають зв’язок, дія якого збігається за знаком з дією вхідної величини на даний елемент.

Якщо рівняння ланки до введення зворотного зв’язку має вигляд

х_вих = K х_вх,

то при наявності зворотного зв’язку фактичне значення вхідної величини обчислюється за формулою:

x _вх' = x_вх + х_зв.з = x_вх + β х_вих.

У цьому випадку рівняння ланки, охопленої додатним зворотним зв’язком, має вигляд:

х_вих = K (x_вх + β х_вих),

звідки

(1 – K β) х_вих = K x_вх,

Коефіцієнт при додатному зворотному зв’язку:

При від’ємному зворотному зв’язку x _вх' = x_вх – β х_вих і передаточний коефіцієнт ланки

Об’єднану формулу можна записати в такому вигляді:

де знак “плюс” стосується від’ємного зворотного зв’язку, а знак “мінус” – додатного.

При додатному зворотному зв’язку загальний передаточний коефіцієнт буде більший, ніж передаточний коефіцієнт елемента без зворотного зв’язку, що визначає широке застосування таких зворотних зв’язків у підсилювачах. При від’ємному зворотному зв’язку передаточний коефіцієнт буде зменшуватись, що позитивно впливає на затухання (стабілізацію) перехідних процесів.

Динаміка систем автоматичного керування

Динаміка САК – це розділ теорії автоматичного керування, який займається дослідженням системи в перехідних процесах.

До основних задач динаміки відносять:

– дослідження системи на стійкість, або здатність системи дати затухаючий перехідний процес;

– дослідження якості САК, тобто дослідження самого перехідного процесу;

– синтез або вибір коректуючих пристроїв, які призначені для корекції перехідного процесу в заданому напрямку.

Для кількісного дослідження процесів автоматичного керування, перш за все необхідні рівняння, що описують роботу САК.

Зважаючи на складність сучасних САК ці рівняння доцільно отримати, розбиваючи систему на прості частини, так звані динамічні ланки.

Динамічною ланкою називається частина системи керування, що описується диференціальним рівнянням певного типу. Диференціальні рівняння поділяються на лінійні та нелінійні. Дослідження нелінійних диференціальних рівнянь є суттєво складнішим, ніж лінійних. Тому в тих випадках, коли це можливо, завжди прагнуть лінеаризувати нелінійне диференціальне рівняння.

Перетворення Лапласа

Динамічні властивості автоматичних систем та їх складових частин (ланок) математично описуються диференціальними рівняннями. Чим більше в системі нагромаджуючих елементів, тим вище порядок диференціального рівняння, що зв’язує вихідну і вхідну величини системи.

Розв’язок лінійних диференціальних рівнянь може бути спрощений при використанні методів, що базуються на перетворенні функцій дійсної змінної у функції комплексної змінної. Методи функціонального перетворення дозволяють інтегро-диференціальні рівняння заміняти алгебраїчними рівняннями, розв’язок яких є значно простіший. Практичне використання знайшли методи перетворення Лапласа.

Перехід від функції дійсної змінної до функції комплексної змінної називається прямим перетворенням Лапласа і описується рівнянням:

(4.1)

де комплексна змінна.

У виразі (4.1) функція f(t) називається оригіналом, а функція F(s) – зображенням. Зворотний перехід від зображення до оригіналу можна здійснити за зворотним перетворенням Лапласа:

(4.2)

На практиці не доводиться обчислювати інтеграли прямого й зворотного перетворення Лапласа. При складанні рівнянь динаміки широко використовується операторна форма запису диференціальних рівнянь, згідно з якою вводяться символи похідних і інтегралів, що визначаються за допомогою оператора р.

Символ диференціювання за часом d/dt замінюють оператором р, а операцію інтегрування – оберненою величиною оператора 1/р.

Записуємо похідні в операторній формі:

Тоді

Записуємо інтеграли в операторній формі:

При переході до операторної форми запису диференціальні рівняння перетворюються в алгебраїчні і їх розв’язують звичайними алгебраїчними діями (додаванням, відніманням, діленням і множенням), а не більш складними – інтегруванням і диференціюванням.

Правомірність відокремлення функції від знака оператора можна показати на основі відомих положень математики. Наприклад, на основі того, що похідна суми деяких величин x, y, z є сума цих похідних

в операторній формі можна записати: px+py+pz=p(x+y+z).

Для спеціальних функцій перехід від оригіналів до зображень і навпаки здійснюють за допомогою таблиць перетворення Лапласа, які є в спеціальній літературі.

Передаточні функції

Передаточні функції при використанні перетворень Лапласа представляють як відношення зображень вихідної і вхідної величин:

(4.3)

При нульових початкових умовах передаточну функцію можна подати на основі запису відповідних величин в операторній формі. Тому в теорії автоматичного керування передаточну функцію часто записують так:

(4.4)

При цьому виходять із рівняння елемента в загальному вигляді:

P(p) x_вих = Q(p) x_вх

де Q(p), P(p) – відповідні оператори.

Отже, можна зробити висновок, що передаточна функція ланки (системи) це є дріб, чисельник якого – є співмножник при вхідній величині, а знаменник – співмножник при вихідній величині.

Передаточні функції в ТАК мають значне поширення і використовуються з метою:

– відображення динамічних властивостей елементів (систем) на основі структурних схем;

– знаходження вихідних виразів для побудови частотних характеристик, на яких базуються різні методи дослідження елементів і систем автоматичного керування;

– застосування математичного апарату, зручного для спрощення структурних схем.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: