Задачи для решения в аудитории

Задача 7.1. Задана характеристика нелинейного звена (рис. 7.9).

Зарисовать вид характеристик Кн₁ (А), φ (А) и годограф Кн₁ (А) (качественно, без вычислений).

Задача 7. 2. Вид характеристики (рис. 7.10). Задание аналогично задаче 7.1.

Задача 7. 3. Годограф Кн₁ (А) (рис. 7.11). Нарисуйте характеристику нелинейного звена.

Рис. 7. 9 Рис.7.10 Рис.7. 11

Тема 8. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И

УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОКОЛЕБАНИЯ

Под устойчивостью нелинейных систем подразумевают отсутствие в ней автоколебаний и устойчивость обычного равновесного состояния. Говоря об устойчивости автоколебаний, имеют в виду такой их режим, который

удерживается в системе при различных отклонениях параметров системы, произошедших по любой причине.

В отличие от линейных систем, в которых ответ на вопрос об устойчивости однозначен (либо "да", либо "нет"), у нелинейных систем есть интересная особенность: в них могут отсутствовать ав­токолебания при некоторых относительно небольших внешних воз­действиях, и они при этом проявляют все внешние признаки устойчи­вых систем. Вместе с тем возможна ситуация, когда после приложения к системе воздействия большой амплитуды в ней зарождаются автоко­лебания, которые не прекращаются после снятия внешнего воз­действия. Про такие системы говорят, что они устойчивы "в малом", но неустойчивы "в большом".

Есть различные способы решения вопроса об устойчивости нели­нейных систем. В рамках данной темы мы рассмотрим в основном графоаналитический метод Л. С. Гольдфарба и лишь в конце свяжем его с характером фазового портрета нелинейной системы.

Метод X С. Годьдфарба

Методом Л. С. Гольдфарба удобно анализировать устойчивость не- линейных систем и устойчивость автоколебаний в нелинейных систе­мах. В основу метода положена идея гармонической линеаризации и используется характеристическое уравнение гармонически линеаризо­ванной системы:

Кл(р) Кн₁(РА) + 1 = 0

Или, переходя к частотным функциям:

Кл(iw) Кн₁ (iw, А) + 1 = 0. (8.1)

Здесь Кл (iw) - частотная характеристика линейной части системы.

Такой подход четкого разделения характеристик линейной части системы Кл (iw) и нелинейной части Кн₁ (iw, А) автоматически означа­ет, что метод Л. С. Гольдфарба может быть применен только тогда, когда в структурной схеме нелинейной системы можно четко и однозначно выделить одну линейную часть и одну нелинейную часть. Если этого сделать нельзя, необходимо использовать другие методы анали­за нелинейных систем.

Для безреактивных нелинейных звеньев, где Кн₁ не зависит от частоты, уравнение (8.1) можно записать проще:

К_л(iw)K_н1(А)= -1 (8.2)

Фактически здесь записано условие баланса фаз и амплитуд для наличия автоколебаний в системе автоматического регулирования. В самом деле, наличие в контуре регулирования модуля усиления, равного 1, и 180⁰ фазового сдвига достаточно для автоколебаний, так

как недостающие 180° внесет сумматор системы и баланс фаз будет

обеспечен. Заслугой Л. С. Гольдфарба является то, что он предложил

удобное решение уравнения (8.2) на комплексной плоскости. Представим для этого уравнение (8.2) несколько иначе:

(8.3)

Теперь можно на комплексной плоскости построить годограф К_л(iw), являющийся функцией частоты, и годограф - 1/К_н1(А), являю­щийся функцией амплитуды. Если оба годографа построены в одинако­вом масштабе, то точка их пересечения будет решением уравнения (8.3), так как оба вектора совпадут как по длине, так и по углу наклона к вещественной оси.

Амплитуду и частоту автоколебаний определить очень просто -аргумент функции К_л(iw) в точке пересечения дает частоту, а аргумент функции - 1/Kн₁ (A) - амплитуду автоколебаний (амплитуда на входе нелинейного элемента). Если точек пересечения несколько, то в системе возможно существование нескольких периодических про­цессов. Однако среди всех возможных в этом случае автоколебаний могут быть как устойчивые, так и неустойчивые. Для определения устойчивости автоколебаний существует простое правило: если при приращении аргумента +∆А точка годографа -1/Кн₁(А) выходит из за­мкнутой кривой Кл (iw), то такая точка является точкой устойчивых автоколебаний, а если точка на годографе - 1/Kн₁ (A) входит внутрь годографа Кл (iw), то в таком случае колебания существовать не мо­гут, ибо малейшее изменение режима приведет к лавинообразному удалению автоколебаний от неустойчивой точки.

Совместное изображение на одной координатной системе годогра­фов Кл(iw) и - 1/Кн₁(А) часто называют диаграммой Гольдфарба. Поскольку здесь используется коэффициент передачи нелинейного зве­на Кн₁(А) по первой гармонике, правило, при котором можно поль­зоваться гармонической линеаризацией, остается в силе. Это значит, что анализ по Гольдфарбу будет справедлив только тогда, когда ли­нейная часть системы имеет характеристику типа "фильтр нижних частот", т.е. на высоких частотах имеется спад частотной характе­ристики, обеспечивающий подавление высших гармоник частоты автоко­лебаний. Конечно, может возникнуть вопрос: "Может же быть так, что и при наличии линейной части с характеристикой типа ФНЧ первая гармоника будет не очень высокой частоты и в полосу пропускания

ФНЧ войдут и вторая и даже третья гармоники?" Обычно такого не происходит. Ведь если возникают автоколебания, значит, в линейной части уже накоплен значительный фазовый сдвиг, а это бывает уже на скате АЧХ, так что вторая и высшие гармоники оказываются сущест­венно подавленными. Поэтому при исследовании автоколебаний в нели­нейной системе условие наличия ФНЧ в линейной части оказывается достаточным для правомочности использования понятия гармонической линеаризации.

Пример 8.1. Пусть линейная часть нелинейной системы содержит 3 инерционных звена, а нелинейная часть имеет характеристику типа "насыщение". Тогда диаграмма Гольдфарба будет выглядеть следующим образом (рис. 8.1). Если коэффициент усиления линейной части до­статочен для того, чтобы годографы пересеклись, как и показано на рис. 8.1, то в системе будут автоколебания, причем устойчивые, так как годограф нелинейной части - 1/Кн₁ (А) в точке пересечения по-

Рис. 8. 1

кидает пределы комплексной плоскости, очерченные годографом линей­ной части К_л(iw). На этом примере очень наглядно можно показать, почему правило Гольдфарба для устойчивости автоколебаний именно такое. В самом деле, для баланса амплитуд автоколебаний в системе необходимо, чтобы любая флуктуация коэффициента передачи линейной части системы компенсировалась обратным по закону изменением К_н1(А) нелинейной части. В данном случае это имеет место. Так если, например, коэффициент усиления линейной части по какой-то причине уменьшится, то, чтобы не исчезли автоколебания, необходимо увели­чить коэффициент передачи Кн₁(А) нелинейной части. Точно так и происходит (см. табл. 7.2). В свою очередь для уменьшения Кн₁(А) значение обратной функции должно увеличиться. Вот почему ее годограф удаляется от начала координат. А наличие знака "минус" от­брасывает этот годограф на отрицательный отрезок вещественной оси, и он уходит в бесконечность при А →∞ (сама функция Кн₁ (А) при этом стремится к нулю).

Пример 8. 2. Пусть линейная часть нелинейной системы содержит
одно интегрирующее и три инерционных звена, т. е.

а нелинейная часть имеет характеристику по рис. 7. 4 из примера 7.1.

Возможны ли автоколебания?

Диаграмма Гольдфарба для данного примера приведена на рис. 8. 2.

Значение коэффициента усиления линейной части выбрано достаточно

большим для того, чтобы годографы линейной и нелинейной части

Рис. 8. 2

пересекались дважды, при А = А₁, и А = А₂. Согласно правилу Гольд­фарба автоколебание будет устойчивым с амплитудой А₁. При А = А₂ автоколебание возможно лишь теоретически, так как любая флуктуация коэффициента усиления линейной части будет усиливаться характеристикой нелинейной части (а должна подавляться). В этом случае автоколебание либо "перескочит" в точку устойчивых автоколебаний с ам­плитудой А = А₁, либо устремится в бесконечность, в зависимости от направления первичной флуктуации, "выбивающей" автоколебание из точки А = А₁. Точка А₁ является точкой устойчивых автоколебаний. Точка А₂ является точкой неустойчивых автоколебаний. Что касается частоты автоколебаний, то, поскольку оба пересечения происходят на отрицательном отрезке вещественной оси, частота обоих автоколебаний (устойчивого и неустойчивого) будет одинаковой и определится по годографу линейной части. Конкретно, это будет частота w_o, на ко­торой φ(w) линейной части равен (-180°).

Пример 8. 3. Линейная часть системы имеет передаточную функцию

т. е., одно интегрирующее звено, одно форсирующее и четыре инерци­онных с постоянными времени Т₂. Характеристика нелинейной части системы приведена на рис. 8. 3.

Рис. 8. 3

Возможны ли автоколебания?

Диаграмма Гольдфарба показана на рис. 8. 4. Здесь коэффициент усиления линейной части выбран таким, чтобы было 3 пересечения го­дографа Кл(iw) с годографом - 1/Кн₁ (А) нелинейной части. Эти пе­ресечения на одной частоте wо, но c разными амплитудами A₁, А₂, A₃,

причем А₃> A₂> A₁.

Рис. 8. 4

В такой ситуации мы имеем две точки устойчивых автоколебаний при А=А₁, А=А₃ и одну точку неустойчивых автоколебаний при А=А₂. Поскольку точек устойчивых автоколебаний все же две, возникает вопрос: при какой амплитуде будет происходить автоколебание? Ответ простой: все зависит от начальных условий. Если на систему подать питание и не подвергать ее никаким входным воздействиям, возникнет автоколебание в "мягком" режиме, дорастет до амплитуды А₁ на входе нелинейного эвена а₂ >А> а₁ (см. рис. 8.3) и это автоколебание бу­дет устойчиво. Если попытаться внешним воздействием "выбить" систему из этого устойчивого автоколебания, то при слабых внешних воздействиях это не удастся сделать, а при сильных - удастся. В частности, если приложить внешнее воздействие большой амплитуды, то можно вывести систему на второй устойчивый режим автоколебаний с амплитудой А₃ и оно будет устойчивым. Но если отключить источник питания, а потом вновь включить, возврата ко второму устойчивому режиму с амплитудой А₃ не будет, а зародятся автоколебания первого устойчивого режима с амплитудой А₁. Здесь можно говорить о "мяг­ком" режиме самовозбуждения с амплитудой А₁ и "жестком" режиме воз­никновения автоколебания с амплитудой А₃. Следовательно, в данной системе одновременно не может быть автоколебаний с двумя амплиту­дами А₁ и А₃, а только что-то одно. Что касается автоколебаний с амплитудой А₂, то, несмотря на наличие при А=А₂ и баланса фаз, и баланса амплитуд, такое автоколебание существовать сколь-либо долго не может. Обязательно при малейшей флуктуации амплитуды ав­токолебание перейдет либо к амплитуде А₁, либо к А₃.

Все сказанное выше гораздо нагляднее можно продемонстрировать фазовым портретом данной системы, как, впрочем, и некоторых других примеров.

8. 2. Связь между диаграммой Д. С. Гольдфарба и фазовым портретом системы

Как известно, фазовый портрет системы - это семейство фазовых траекторий, зарисованных для различных начальных условий на фазовой плоскости. В частности, для устойчивых систем все фазовые тра­ектории стремятся в точку устойчивого равновесия (рис. 8.5,а), тогда как в системе с устойчивым автоколебанием на фазовом портрете имеется замкнутый устойчивый предельный цикл, к которому асимп­тотически приближаются все рядом лежащие фазовые траектории (рис.8.5.б). Интересно то, что предельных замкнутых циклов может быть несколько - по количеству пересечений годографов на диаграмме Гольдфарба. При этом для каждой точки пересечения на диаграмме Гольдфарба, соответствующей устойчивому автоколебанию, присутству­ет устойчивый предельный замкнутый цикл на фазовом портрете.

а) б)

Рис. 8. 5

Он обычно рисуется сплошной замкнутой линией в виде эллипса или ок­ружности (в частном случае). Что касается точек пересечения годог­рафов, обозначающих наличие неустойчивых автоколебаний, то на фа­зовом портрете им соответствуют замкнутые неустойчивые предельные циклы, обычно рисуемые в виде пунктирных замкнутых кривых. С них как бы "скатываются" в разные стороны, рядом лежащие фазовые траек­тории, т.е., без посторонней вынуждающей силы (скажем, внешнего генератора гармонического колебания) по пунктирной траектории изображающая точка фазового портрета двигаться ощутимое время не может. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 8.4. Рассмотрим фазовый портрет системы с диаграммой Гольдфарба по рис. 8.1 из примера 8.1. Там мы имеем единственное пересечение годографов, причем оно соответствует устойчивому авто­колебанию. Фазовый портрет такой системы изображен на рис. 8.5,б. Все траектории стремятся к устойчивому замкнутому циклу как изнут­ри его, так и снаружи.

Пример 8.5. Вернемся к рассмотрению диаграммы Гольфарба рис. 8.2, где имеются две точки пересечения годографов. Фазовый портрет такой системы представлен на рис. 8. 6. На нем очень хорошо просматривается выход изображающей точки по спиральной траектории на устойчивый предельный цикл с амплитудой А₁. Если принудительно поместить рабочую точку в область между двумя предельными циклами, а затем убрать внешнее воздействие, фазовая траектория снаружи вернется на устойчивый замкнутый цикл. И только если поместить рабочую точку за пределы второго, неустойчивого замкнутого цикла, то фазовая траектория устремится в бесконечность. Она не сможет преодолеть неустойчивый замкнутый цикл с амплитудой А₂ и попасть на устойчивый с амплитудой А₁. Так что неустойчивый замкнутый пре­дельный цикл является для фазовых траекторий как бы непреодолимым "водоразделом". Преодолеть его можно только с помощью внешнего ге­нератора (внешней силы).

Рис. 8.6

Пример 8.6. Рассмотрим систему с диаграммой Гольдфарба по рис. 8.4. Здесь три точки пересечения годографов, причем две из них соответствуют наличию устойчивых автоколебаний. Фазовый портрет представлен на рис. 8.7. На нем видны два устойчивых предельных цикла с амплитудами А₁ и А₃ и один неустойчивый с амплитудой А₂. Общее число замкнутых циклов соответствует числу пересечений годо­графов на диаграмме Гольдфарба.

Рис. 8. 7

Выводы

1. Если годографы на диаграмме Л. С. Гольдфарба не пересека­ются, то нелинейная система абсолютно устойчива и в ней не могут существовать автоколебания.

2. Если годографы пересекаются, то система не является устой­чивой и в ней могут существовать автоколебания. Они могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми, но в любом случае систему устой­чивой считать нельзя.

3. Между диаграммой Л. С. Гольдфарба и фазовым портретом системы имеется взаимосвязь. Каждой точке пересечения годографов на ди­аграмме Гольдфарба соответствует замкнутый предельный цикл на фазовом портрете, который может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Это зависит от характера пересечения годографов и удовлетворения условия Гольдфарба для устойчивости автоколебаний.

4. На фазовом портрете предельные замкнутые циклы перемежа­ются. Любые два устойчивых замкнутых цикла разделены неустойчивым, и наоборот.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: