Тема 7. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Идея гармонической линеаризации нашла свое место в теории автоматического регулирования прежде всего потому, что имеется груп­па приближенных методов анализа нелинейных систем, основанных на принципе гармонического баланса. Они используются главным образом для исследования устойчивости нелинейных систем, а также устойчи­вости автоколебаний в этих системах.

При гармонической линеаризации нелинейного элемента считается что на его вход подается гармонический сигнал. При этом естествен­но ожидать, что на выходе нелинейного эвена сигнал будет негармо­ническим и в его составе будут высшие гармоники, общее количество которых теоретически может быть равно бесконечности. Тогда и в автоматической системе

в целом будут присутствовать эти гармоники, так как система замкнута и сигнал с выхода нелинейного звена рано или поздно, пройдя через группу других звеньев, попадет на его вход. Чтобы этот сигнал можно было считать гармоническим, необхо­димо, чтобы линейная часть системы обладала свойствами фильтра нижних частот и отфильтровывала все верхние гармоники, оставляя на входе нелинейного звена только первую. Если линейная часть нели­нейной системы не обладает свойствами фильтра нижних частот, то использовать метод гармонической линеаризации нельзя, так как воз­никнут большие погрешности в анализе процессов, происходящих в системе.

Суть гармонической линеаризации сводится к замене нелинейного звена некоторым линейным эквивалентом по первой гармонике выходно­го сигнала. При этом вводится понятие коэффициента передачи линеаризованного звена по первой гармонике

где Vвх - амплитуда гармонического сигнала на входе звена; V₁ вых - амплитуда первой гармоники сигнала на выходе звена.

Таким образом, гармоники более высоких порядков просто не учитываются. Поскольку звено все же нелинейное, естественно, что коэффициент Кн₁ не будет постоянным при изменении амплитуды Vвх, так как форма искаженного негармонического сигнала на выходе звена при изменении амплитуды входного воздействия будет меняться. Например, на рис. 7.1, а показана простейшая нелинейность "насыщение". Если амплитуда Vвх будет в пределах от 0 до а, то звено фактически бу­дет линейным и его коэффициент передачи:

На рис. 7.1, а обозначены по осям х₁ и х₂ – вход и выход нели­нейного эвена.

Если же амплитуда сигнала на входе превысит уровень а, то в

выходном сигнале будет уплощение вершин гармонического сигнала (рис. 7.1,б) и при симметричности нелинейной характеристики поя­вятся высшие нечетные гармоники. Будет при этом, конечно, и первая гармоника V₁вых. Чтобы отразить факт зависимости Кн₁ от амплитуды входного сигнала, его обозначают

Kн₁ (A),

где А – амплитуда входного гармонического сигнала.

а б

Рис. 7.1

Для безреактивкых нелинейных звеньев, где нет частотной за­висимости характера вносимых искажений, такого обозначения доста­точно. Для реактивных же звеньев, в которых характер искажений вы­ходного сигнала зависит не только от амплитуды, но и от частоты входного гармонического сигнала, вводят обозначение

Кн (А, W).

Примером такого звена может служить полупроводниковый диод ва­рикап, совмещающий в себе нелинейную вольт-амперную характеристику открытого р-n перехода и нелинейную барьерную емкость диода в запертом состоянии. Будем считать для упрощения изложения, что в рамках данной темы мы имеем дело с безреактивными нелинейными звеньями, т. е. будем обозначать коэффициент передачи по первой гармонике как

1	при А > а
2	при А > α
3	при a3>A>a1 см. вар. 2 при A>a2
4	при А ≥ а2
5	при A≥ a
6	7 A≥a

Естественно, что для нахождения аналитических зависимостей Кн₁ (А) различных нелинейных звеньев необходимо разложить в ряд Фурье функцию, описывающую выходной сигнал, и взять из него только пер­вую гармонику. В табл. 7.1 приведены данные для 7 типовых нелиней­ных звеньев, где показаны формы характеристик и аналитические

Таблица 7. 1

выражения для Кн₁. С сохранением нумерации табл. 7. 1 названия нелинейных звеньев следующие:

звено 1 – «насыщение»;

звено 2 – «зона нечувствительности»;

звено 3 – «зона нечувствительности с насыщением»;

звено 4 – «3-позиционное реле с гистерезисом»;

звено 5 – «2-позиционное реле с гистерезисом»;

звено 6 – «2-позиционное реле без гистерезиса»;

звено 7 – «3-позиционное реле без гистерезиса».

Как видно из аналитических зависимостей табл. 7.1, у звеньев с неоднозначными характеристиками (4, 5) в выражениях для Кн₁ имеется мнимая часть, что говорит о наличии фазовых сдвигов между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим сигналом. Для остальных звеньев фазового сдвига нет, т.е. максимум первой гармо­ники выходного сигнала совпадает с максимумом входного сигнала.

Интерес представляет то, что фазовые сдвиги для звеньев 4, 5 зависят от амплитуды А. Например, для звена 5

откуда видно, что при А=а φ(А)=-π/2, а при увеличении A фазовый сдвиг

должен уменьшаться. В пределе, при А → ∞ φ(А) → 0. В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 7. 2, а и 7. 2, б где видно, что при А = а прямоугольный сигнал выхода сдвинут относительно входного сигнала ровно на 90⁰, а максимум первой гармоники, как известно, будет совпадать с серединой импульса на выходе (первая гармоника помечена пунктиром). При А > а (рис. 7.2, 6) импульс на выходе уже сдвинут по фазе меньше 90⁰ относительно входного сигнала. По аналитическим выражениям табл. 7.1 можно построить графики для модуля и фазы коэффициента передачи по первой гармонике Кн₁(А). Такие данные приведены в табл. 7. 2. Представляют интерес зависимости для нелинейности «трехпозиционное реле с гистерезисом (звеном 4)». Они называют коэффициентом возврата реле. Хорошо видно, что при λ → 1, когда гистерезис исчезает, звено 4 превращается в звено 7 и фазового сдвига вообще нет. При λ → 0, когда а₂ >> а₁, фазовый сдвиг максимален для данного эвена, но он не достигает -90°,а значительно меньше. Для этого достаточно рассмотреть рис. 7.3, где взят именно случай а₁ >> а₁ и А = а₂. Даже при А = а₂ фазовый сдвиг немного не достигает -45⁰ и может достигнуть этого значения только при а₁ → 0.

а)

б)

Рис. 7. 2

При использовании метода гармонической линеаризации в теории и практике автоматического управления часто бывает необходимо представление функции Кн₁ (А) в виде годографов. В табл. 7.3 на основе данных табл. 7.2 построены годографы Кн₁ (А) и – 1/Кн₁ (А) для семи типовых нелинейных звеньев.

Таблица 7. 2

звено	Кн1(А)	φ (А)
Насыщение		φ=0
Зона нечувствительности		φ=0
Зона нечувствительности с насыщением		φ=0
3-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле без гистерезиса		φ=0
3-позиционное реле без гистерезиса		φ=0

Таблица 7. 3

Звено	Годограф Кн1(А)	Годограф - 1/Кн1 (А)
Насыщение
Зона нечувствительности
Зона нечувствительности с насыщением
3-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле с гистерезисом
2-х позиционное реле без гистерезиса
3-позиционное реле без гистерезиса

Рис. 7. 3

Зависимости Кн₁ (А) и φ (А) в табл. 7. 2 построены без соблюдения масштаба, приближенно, лишь с сохранением характера этих зависимостей. Часто этого бывает достаточно, например для решения воп­роса о возможности или невозможности автоколебаний в нелинейной системе, что является уже предметом изучения следующей темы 8. В рамках же темы 7 интересно будет рассмотреть, не прибегая к получению аналитических зависимостей, характера кривых Кн₁ (А) для не­которых нелинейных звеньев, не входящих в перечень рассмотренных выше 7 звеньев.

Пример 7.1. Звено с характеристикой рис. 7. 4 Построим зависи­мость Кн₁(А) и ее годограф. Как видно из рис. 7. 4, при А < а, звено является линейным и его коэффициент передачи равен tgα_1. При А>а₁ будет происходить снижение Кн₁(A), как у звена "насыщение".

Рис. 7. 4 Рис. 7. 5

Однако после достижения амплитудой входного сигнала уровня а₂ в выходном сигнале появятся заостренные вершины (рис. 7. 5) и коэф­фициент Кн₁ (A) вновь начнет увеличиваться.

При этом увеличение Kн₁ при А → ∞ будет происходить до зна­чений Кн₁ (∞) = tg α₂.

Соответствующая зависимость Кн₁ (A) показана на рис. 7. 6,а, а на рис. 7.6,б - годограф Кн₁ (А). Поскольку φ(А) = о, годограф расположен на вещественной оси.

Рис. 7.6

Пример 7.2. Звено с характеристикой рис. 7. 7.

α ₂=89⁰30^′

Рис. 7. 7

Данное звено при малых амплитудах А напоминает звено предыдущее (рис. 7. 4), но при А > а наклон характеристики резко увеличивается. Поэтому при А → ∞Кн₁ (А) также стремится к большому числу (tg 89⁰30').

На рис. 7.8,а показана зависимость Кн₁ (А), а на рис. 7. 8,б - годограф. Поскольку звено имеет однозначную характеристику, φ (А)=0.

а) б)

Рис. 7.8

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: