Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Тема 7. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ





 

Идея гармонической линеаризации нашла свое место в теории автоматического регулирования прежде всего потому, что имеется груп­па приближенных методов анализа нелинейных систем, основанных на принципе гармонического баланса. Они используются главным образом для исследования устойчивости нелинейных систем, а также устойчи­вости автоколебаний в этих системах.

При гармонической линеаризации нелинейного элемента считается что на его вход подается гармонический сигнал. При этом естествен­но ожидать, что на выходе нелинейного эвена сигнал будет негармо­ническим и в его составе будут высшие гармоники, общее количество которых теоретически может быть равно бесконечности. Тогда и в автоматической системе


в целом будут присутствовать эти гармоники, так как система замкнута и сигнал с выхода нелинейного звена рано или поздно, пройдя через группу других звеньев, попадет на его вход. Чтобы этот сигнал можно было считать гармоническим, необхо­димо, чтобы линейная часть системы обладала свойствами фильтра нижних частот и отфильтровывала все верхние гармоники, оставляя на входе нелинейного звена только первую. Если линейная часть нели­нейной системы не обладает свойствами фильтра нижних частот, то использовать метод гармонической линеаризации нельзя, так как воз­никнут большие погрешности в анализе процессов, происходящих в системе.

Суть гармонической линеаризации сводится к замене нелинейного звена некоторым линейным эквивалентом по первой гармонике выходно­го сигнала. При этом вводится понятие коэффициента передачи линеаризованного звена по первой гармонике

 

 

где Vвх - амплитуда гармонического сигнала на входе звена; V1 вых - амплитуда первой гармоники сигнала на выходе звена.

Таким образом, гармоники более высоких порядков просто не учитываются. Поскольку звено все же нелинейное, естественно, что коэффициент Кн1 не будет постоянным при изменении амплитуды Vвх, так как форма искаженного негармонического сигнала на выходе звена при изменении амплитуды входного воздействия будет меняться. Например, на рис. 7.1, а показана простейшая нелинейность "насыщение". Если амплитуда Vвх будет в пределах от 0 до а, то звено фактически бу­дет линейным и его коэффициент передачи:

 

На рис. 7.1, а обозначены по осям х1 и х2 – вход и выход нели­нейного эвена.

Если же амплитуда сигнала на входе превысит уровень а, то в

выходном сигнале будет уплощение вершин гармонического сигнала (рис. 7.1,б) и при симметричности нелинейной характеристики поя­вятся высшие нечетные гармоники. Будет при этом, конечно, и первая гармоника V1вых. Чтобы отразить факт зависимости Кн1 от амплитуды входного сигнала, его обозначают

 

1 (A),

 

где А – амплитуда входного гармонического сигнала.


а б

 

Рис. 7.1

 

Для безреактивкых нелинейных звеньев, где нет частотной за­висимости характера вносимых искажений, такого обозначения доста­точно. Для реактивных же звеньев, в которых характер искажений вы­ходного сигнала зависит не только от амплитуды, но и от частоты входного гармонического сигнала, вводят обозначение

 

Кн (А, W).

 

Примером такого звена может служить полупроводниковый диод ва­рикап, совмещающий в себе нелинейную вольт-амперную характеристику открытого р-n перехода и нелинейную барьерную емкость диода в запертом состоянии. Будем считать для упрощения изложения, что в рамках данной темы мы имеем дело с безреактивными нелинейными звеньями, т. е. будем обозначать коэффициент передачи по первой гармонике как

 

1 при А > а  
2 при А > α
3 при a3>A>a1 см. вар. 2 при A>a2  
4 при А ≥ а2
5 при A≥ a
6     7 A≥a  

 

 

Естественно, что для нахождения аналитических зависимостей Кн1 (А) различных нелинейных звеньев необходимо разложить в ряд Фурье функцию, описывающую выходной сигнал, и взять из него только пер­вую гармонику. В табл. 7.1 приведены данные для 7 типовых нелиней­ных звеньев, где показаны формы характеристик и аналитические

 

Таблица 7. 1

 

 

выражения для Кн1. С сохранением нумерации табл. 7. 1 названия нелинейных звеньев следующие:

звено 1 – «насыщение»;

звено 2 – «зона нечувствительности»;

звено 3 – «зона нечувствительности с насыщением»;

звено 4 – «3-позиционное реле с гистерезисом»;

звено 5 – «2-позиционное реле с гистерезисом»;

звено 6 – «2-позиционное реле без гистерезиса»;

звено 7 – «3-позиционное реле без гистерезиса».

Как видно из аналитических зависимостей табл. 7.1, у звеньев с неоднозначными характеристиками (4, 5) в выражениях для Кн1 имеется мнимая часть, что говорит о наличии фазовых сдвигов между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим сигналом. Для остальных звеньев фазового сдвига нет, т.е. максимум первой гармо­ники выходного сигнала совпадает с максимумом входного сигнала.

Интерес представляет то, что фазовые сдвиги для звеньев 4, 5 зависят от амплитуды А. Например, для звена 5

 

 

откуда видно, что при А=а φ(А)=-π/2, а при увеличении A фазовый сдвиг

должен уменьшаться. В пределе, при А → ∞ φ(А) → 0. В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 7. 2, а и 7. 2, б где видно, что при А = а прямоугольный сигнал выхода сдвинут относительно входного сигнала ровно на 900, а максимум первой гармоники, как известно, будет совпадать с серединой импульса на выходе (первая гармоника помечена пунктиром). При А > а (рис. 7.2, 6) импульс на выходе уже сдвинут по фазе меньше 900 относительно входного сигнала. По аналитическим выражениям табл. 7.1 можно построить графики для модуля и фазы коэффициента передачи по первой гармонике Кн1(А). Такие данные приведены в табл. 7. 2. Представляют интерес зависимости для нелинейности «трехпозиционное реле с гистерезисом (звеном 4)». Они называют коэффициентом возврата реле. Хорошо видно, что при λ → 1, когда гистерезис исчезает, звено 4 превращается в звено 7 и фазового сдвига вообще нет. При λ → 0, когда а2 >> а1, фазовый сдвиг максимален для данного эвена, но он не достигает -90°,а значительно меньше. Для этого достаточно рассмотреть рис. 7.3, где взят именно случай а1 >> а1 и А = а2. Даже при А = а2 фазовый сдвиг немного не достигает -450 и может достигнуть этого значения только при а1 → 0.

 

а)

 

б)

 

Рис. 7. 2

 

При использовании метода гармонической линеаризации в теории и практике автоматического управления часто бывает необходимо представление функции Кн1 (А) в виде годографов. В табл. 7.3 на основе данных табл. 7.2 построены годографы Кн1 (А) и – 1/Кн1 (А) для семи типовых нелинейных звеньев.


 

Таблица 7. 2

звено Кн1(А) φ (А)
Насыщение φ=0
Зона нечувствительности φ=0
Зона нечувствительности с насыщением φ=0
3-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле без гистерезиса φ=0
3-позиционное реле без гистерезиса φ=0

Таблица 7. 3

Звено Годограф Кн1(А) Годограф - 1/Кн1 (А)
Насыщение
Зона нечувствительности
Зона нечувствительности с насыщением
3-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле с гистерезисом
2-х позиционное реле без гистерезиса
3-позиционное реле без гистерезиса

 

Рис. 7. 3

 

Зависимости Кн1 (А) и φ (А) в табл. 7. 2 построены без соблюдения масштаба, приближенно, лишь с сохранением характера этих зависимостей. Часто этого бывает достаточно, например для решения воп­роса о возможности или невозможности автоколебаний в нелинейной системе, что является уже предметом изучения следующей темы 8. В рамках же темы 7 интересно будет рассмотреть, не прибегая к получению аналитических зависимостей, характера кривых Кн1 (А) для не­которых нелинейных звеньев, не входящих в перечень рассмотренных выше 7 звеньев.

Пример 7.1. Звено с характеристикой рис. 7. 4 Построим зависи­мость Кн1(А) и ее годограф. Как видно из рис. 7. 4, при А < а, звено является линейным и его коэффициент передачи равен tgα1. При А>а1 будет происходить снижение Кн1(A), как у звена "насыщение".

 

Рис. 7. 4 Рис. 7. 5


Однако после достижения амплитудой входного сигнала уровня а2 в выходном сигнале появятся заостренные вершины (рис. 7. 5) и коэф­фициент Кн1 (A) вновь начнет увеличиваться.

При этом увеличение Kн1 при А → ∞ будет происходить до зна­чений Кн1 (∞) = tg α2.

Соответствующая зависимость Кн1 (A) показана на рис. 7. 6,а, а на рис. 7.6,б - годограф Кн1 (А). Поскольку φ(А) = о, годограф расположен на вещественной оси.

 

 


Рис. 7.6

 

Пример 7.2. Звено с характеристикой рис. 7. 7.

 

 

α 2=89030

Рис. 7. 7

 

 

Данное звено при малых амплитудах А напоминает звено предыдущее (рис. 7. 4), но при А > а наклон характеристики резко увеличивается. Поэтому при А → ∞Кн1 (А) также стремится к большому числу (tg 89030').

На рис. 7.8,а показана зависимость Кн1 (А), а на рис. 7. 8,б - годограф. Поскольку звено имеет однозначную характеристику, φ (А)=0.

 


а) б)

 

Рис. 7.8

 







ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.