Основы построение систем единиц физических величин

Следующий важный в построении системы шаг - установить размер основных единиц, т. е. договориться и законодательно закрепить процедуру воспроизведения основной единицы.

Эта основа всех современных систем единиц физических величин сохранилась до настоящего времени.

К механическим основным единицам добавлялись:

- тепловые (Кельвин),

- электрические (Ампер),

- оптические (кандела),

- химические (моль),

2.2.

Формулы размерности

Формулой размерности называется математическое выражение, показывающее, во сколько раз изменится производная единица при определенных изменениях основных единиц. Для ознакомления с построением формул размерности полезно вначале рассмотреть случай, когда различные системы используют одни и те же основные величины и одни и те же определяющие соотношения. Такими системами, например, являются системы СГС и СИ, в которых для механических величин основными выбраны масса, длина и время. Эти системы отличаются только размером основных механических единиц.

Если с изменением основной единицы в n раз производная единиц и изменяется в n^P раз, то говорят, что данная производная единица обладает размерностью р относительно основной единицы.

Простейший пример: размерность площади или объема для тех систем единиц, где основной является единица длины. Размерность площади равна двум, размерность объема - трем, т. к.

(2.1)

В более сложных случаях, если единица некоторой величины А имеет размерность р, q и r относительно единиц длины, массы и времени, то формула размерности записывается в виде:

где символы L, М и Т представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, массы и силы без конкретного указания размера единиц. Это означает, что если каждую из основных единиц увеличить в 10 раз, то производная единица увеличивается в 10^pqr раз.

Может оказаться, что размер производной единицы не зависит ни от одной из основных единиц. В этом случае говорят, что производная единица безразмерна или обладает нулевой размерностью. При любом выборе основных единиц

формула размерности представляет собой одночлен, составленный из символов основных единиц, причем эти степени могут быть положительными, отрицательными, целыми или дробными.

При образовании формул размерности пользуются следующими теоремами:

Теорема 1. Если числовое значение величины С равно произведению числовых значений величин А и В, то размерность С равна произведению размерностей А и В, т. е.

(2.2)

Теорема 2. Если числовое значение величины С равно отношению числовых значений А и В, то размерность С равна отношению размерностей А и В, т. е.

(2.3)

Теорема 3. Если числовое значение величины С равно степени n числового значения величины А, то размерность С равна степени n размерности А, т. е.

(2.4)

Доказательства этих теорем очень просты, что можно проиллюстрировать доказательством первой из них.

Пусть числовое значение С равно произведению числовых значений А и В. При измерении их единицами c₁, a₁ и b₁ имеем

(2.5)

где C₁ = С/c₁; A₁ = А/a₁; в, = в/b₁.

Соответственно при измерении техже величин единицами c₂, a₂ и b₂

(2.6)

где C₂ = С/c₂; A₂ = А/a₂; B₂ = В/b₂.

Из сопоставления С, А и В, выраженных разными единицами, получаем:

(2.7)

Если теперь

(2.8)

и

(2.9)

то

(2.10)

что и требовалось доказать.

Аналогично нетрудно доказать и другие две теоремы. Важно отметить, что размерность не зависит от наличия или отсутствия в построении производной единицы постоянных безразмерных множителей или безразмерных величин. Это означает, например, что размерность площади квадрата

(2.11)

и площади круга

(2.12)

будут одинаковыми, поскольку коэффициент не зависит от размера основных единиц.

В заключение раздела, посвященному обзору различных систем единиц, упомянем, что размерность производных единиц не зависит от определения размера производной единицы.

Например, если выражать площади плоских фигур в квадратных метрах, когда единицей площади выбирается площадь квадрата со стороной равной единице длины, а затем выразить ту же площадь в «круглых» метрах, т. е. единицу площади определить как площадь круга с диаметром, равным единице длины, то размерность площади при таком переопределении не изменится и будет равна .

2.3.

Основные единицы системы СИ

Как указывалось выше, в систему СИ включено семь основных, т. е. выбранных произвольно, едини ц физических величин. Эти единицы и их обозначения приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Основные единицы международной системы СИ

Рассмотрим более подробно каждую из этих единиц с пояснениями так называемой реализации, т. е. основных принципов независимого их воспроизведения в международных эталонах.

2.4. Единица длины системы СИ - метр Метр по определению равен длине 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10-5d5 атома криптона 86 (86Kr). Это определение было принято в 1960 г. В 1927 г. определение было несколько иным, так как в качестве эталона-свидетеля была утверждена длина волны излучения кадмия 114 с длиной волны λ = 0,64402 мкм.     Поясним, почему в качестве эталона длины выбирается какая-либо линия в спектре излучения атома. Физическая сущность такого подхода состоит в том, что атомы излучают и поглощают электромагнитную энергию на строго фиксированных частотах, связанных с длиной волны соотношением: (2.15) где ν - число колебаний в секунду (частота излучения), λ - длина волны и с- скорость света. Электроны в атомах, переходя с одной орбиты на другую, излучают (или поглощают) энергию, равную (2.16) где h - постоянная Планка, T1 и T2 - энергии разрешенныхорбиталей в данном атоме. Одним из следствий теории квантования энергии в атоме является соотношение неопределенности Гайзенберга, утверждающее, что время(Δti) нахождения электрона в возбужденном состоянии и его энергия (ΔEi)в этом состоянии не могут быть одновременно измерены абсолютно точно. Связь эта дается в виде: или (2.17) Другими словами, линия излучаемая или поглощаемая атомами не является монохроматичной и имеет разброс (неопределенность) в энергии, жестко связанный со средним временем нахождения электрона в возбужденном состоянии, называемым временем жизни атома в этом состоянии. Соответственно, контур линии не будет прямоугольным и дается так называемым дисперсионным соотношением: (2.18) где Iν - интенсивность спектральной линии, ν0 - частота максимума интенсивности линии, Δti - время жизни возбужденного уровня. Это соответствует форме контуры спектральной линии, показанной на рис. 2.1 .     Рис. 02.01. Контур линии излучения атома, обусловленный естественным затуханием   Индексом обозначена так называемая естественная ширина линии, т. е. ширина профиля в единицах ν на половине максимального значения. Кроме естественного затухания излучения на ширину контура монохроматичной линии в спектре атома влияют: уширения столкновениями с собственными атомами; уширения столкновениями с посторонними атомами; уширение вследствие эффекта Допплера; штарковское уширение. Механизмы столкновительныхуширений аналогичны таковым для естественного уширения, т. к. причиной явления является уменьшение времени жизни атома в возбужденном состоянии. Согласно соотношению неопределенности Гайзенберга уменьшение времени жизни Δti приведет к размытию уровня энергии, т. е. увеличению ΔE. Аналитическая зависимость интенсивности будет квазидисперсионная (2.18) где вместо естественного времени жизни уровня Δt нужно подставлять сумму естественного и столкновительного времен жизни атома в возбужденном состоянии (2.19) где γ'ст - постоянная затухания излучения вследствие столкновений с собственным газом; γ''ст - постоянная затухания излучения в следствии столкновений с посторонним газом. Механизм допплеровского уширения связан с эффектом изменения частоты излучения, а следовательно и длины волны в зависимости оттого с какой скоростью и в каком направлении двигается излучающий объект. Для спектральной линии атома зависимость распределения интенсивности от длины волны дается выражением: (2.20) где ΔνD - допплеровская ширина линии, равная (2.21) где Т - температура; μ - молекулярный или атомный вес излучающих частиц; R - газовая постоянная. Штарковское уширение обусловлено изменениями энергии верхнего уровня при наличии сильных электромагнитных полей. Поскольку здесь не стоит проблема детального анализа всевозможных вариантов уширения спектральных линий, ограничимся только упоминанием о таком механизме. В метрологической практике ограничиваются дисперсионным и допплеровским механизмом уширения, т. к. в реальных источниках света можно считать эти факторы преобладающими. Суммарный контур линии с учетом столкновительного и допплеровского уширений в специальной литературе называют фойхтовским. Зависимость интенсивности от длины волны вблизи максимума линии дается выражением: (2.22) где у - относительная координата, равная и а - параметр Фойхта, равный . В эталонных измерениях для повышения точности очень важно иметь как можно более узкую (более монохроматичную) линию. Очевидно, что чем выше монохроматичность излучения, тем точнее можно навести измерительный прибор на данную линию. С этих позиций, глядя на выражение (2.22), можно сделать вывод, что нужно стремиться иметь источник излучения при возможно низкой температуре для уменьшения влияния допплеровского уширения. Важно также работать на частоте перехода с максимально большим временем жизни. Для минимизации столкновительного уширения желательно работать при невысоких давлениях в источнике света. Перечисленные требования обусловили выбор источников света для эталонов длины на первыхэтапах внедрения системы СИ в измерения. Так, первоначально в эталоне длины использовалась кадмиевая лампа, а в дальнейшем ее заменили на криптоновый источник света, который можно было охлаждать до температуры жидкого азота, уменьшая тем самым допплеровское уширение линий. Большой прогресс в повышении степени монохроматичности источников света для эталона длины был достигнут после открытия в 1962 г. и внедрения в дальнейшем в измерительную технику газоразрядных лазеров. Среди специфических свойств лазерного излучения для метрологии наиболее ценным оказалась очень высокая монохроматичность таких источников света. Поскольку лазерное (когерентное) излучение зависит не только от свойств излучающего атома, но и от характеристик резонатора (система зеркал в лазере), можно получить излучение, монохроматичность которого будет во много раз выше, чем излучение газоразрядного источника. Схематически это показано на рис. 2.2.

Рис. 02.02. Контуры спектральных линий газоразрядной лампы (1) и лазера (2)

Последние достижения измерительной техники в создании эталона метра состоят в том, что внутрь резонатора лазера помещают кювету (ячейку) с парами какого-либо чистого вещества, например метана или иода.

Такое вещество должно иметь линии поглощения на частотах близких к частоте генерации лазера. Поскольку в резонаторе такого лазера часть излучения поглощается, происходит срыв генерации, и на фоне линии лазерного излучения наблюдается провал, называемый провалом Лэмба. Далее электронными системами автоматической подстройки частоты вырабатывается сигнал, возвращающий частоту лазера в прежнее значение. Такими приемами удается уменьшить нестабильность частоты лазера.

Для создания эталонов единицы длины на основе описанных источников излучения используются приборы, при помощи которых можно регистрировать фазу световой электромагнитной волны - так называемые интерферометры. В интерферометре входящий световой пучок расщепляется на два пучка, распространяющиеся по разным путям, но в итоге опять сходящиеся на выходе.

В зависимости от разности оптических длин этих путей, называемых плечами интерферометра, можно измерять разность хода, которая определяется как

где n - показатель преломления среды; I - геометрическая длина пути.

Интерферометры собираются по различным схемам, но принцип работы у большинства схем один и тот же. Рассмотрим реализацию эталона длины на примере наиболее известного из литературы интерферометра Майкельсона. Схема установки для воспроизведения единицы длина на интерферометре Майкельсона дана на рис. 2.3

Рис. 02.03. Оптическая схема интерферометра Майкельсона, принцип построения которого положен в основу эталона единицы длины системы СИ - метра

Условие максимума интерференционной картины в интерферометре Майкельсона имеет вид:

(2.23)

условие минимума

(2.24)

Если в приборе, собранном по схеме рис. 2.3, одно из зеркал (№ 5 на рисунке) сделать подвижным, то при его перемещении в поле зрения 6 интерференционные полосы «побегут», т. е. будут перемещаться в плоскости изображения. Воспроизведение размера единицы длины состоит в счете числа полос, пробежавших при перемещении сплошного зеркала 5. Очевидно, что если это число составит 1650763,73 на длине волны λ= 0,60 578 мкм излучения криптоновой лампы, то перемещение составит 1 метр. На практике трудно изготовить механизм, позволяющий реализовать такое перемещение. Реально прецизионную подвижку для зеркала можно изготовить не более чем 25-30 см. Длина в 1 метр воспроизводится последовательно на интерферометрах с более сложной оптикой, но основная идея остается той же самой, что в классическом интерферометре Майкельсона.

Различные усовершенствования, внесенные в эталон длины, особенно с использованием лазеров, привели к необходимости перейти на новое определение метра, которое было принято в 1983 г. Основными нововведениями были:

1. Переход от криптоновой лампы к лазерному излучению в источнике света на эталонных установках.

2. Использование в качестве основного постулата постоянство скорости света в любой системе отсчета.

3. Объединение в одном эталоне воспроизведения размера трех физических величин: длины, времени и частоты.

4. Использование в эталоне источников света на пяти различных длинах волн.

Согласно новому определению метра основной единицей длины системы единиц СИ является длина, равная расстоянию, проходимому светом за3,33564 • 10^-9долю секунды.

Учитывая, что скорость света, как указывалось выше, равна с = 2,997925 • 10⁸ м/с этот промежуток времени равен t = 3,33564 • 10^-9 с. Частоты, на которых было предложено реализовать эталон метра, приведены в табл. 2.2. В первой графе таблицы указан тип лазера, т. е. рабочее вещество, и тип наполнения поглощающей ячейки.

Таблица 2.2.

Параметры лазерных установок, используемых
при воспроизведении метра

При воспроизведении единицы длины на интерферометре следует учитывать, что длины волн источников излучения даны для вакуума. В воздухе необходимо учитывать показатель преломления воздуха, в результате влияния которого длина волны в воздухе равна

где n - показатель преломления. Это означает, что в комплект эталонного комплекса для воспроизведения метра должен входить рефрактометр - точный прибор для измерения показателя преломления воздуха. Обычно это тоже интерферометр, измеряющий число полос, прошедших в поле зрения при откачке воздуха из кюветы известной длины. Для менее точных устройств можно пользоваться табличными данными для преломления (рефракции) воздуха. Например, для излучения гелий-неонового лазера на длине волны 0,63299 мкм показатель преломления равен п = 1,00027 при давлении 760,0 мм рт.ст. и температуре 20°С.

Прежде чем перейти к проблемам воспроизведения единиц частоты и времени на объединенном эталоне единиц механических величин системы СИ, рассмотрим эволюцию в создании и определении эталона времени.

2.5.

Рис. 02.04. Схема уровней энергии основного состояния атома цезия

Эталон единицы времени - в соответствии с определением был реализован на установке для наблюдения резонанса в атомном цезиевом пучке, схема которой дана на рис. 2.5.

Рис. 02.05. Схема установки для воспроизведения единицы частоты системы СИ - Герца

Принцип действия установки для наблюдения резонанса в цезиевом пучке и воспроизведения единицы частоты - Герца - состоял в следующем:

1. В специальном нагревателе испарялся металлический цезий и его атомный пучок распространялся через диафрагмы в вакуумную камеру.

2. На пути пучок попадал в магнитное неоднородное поле, в котором он расширялся и фокусировался на промежуточной щели D.

3. Щель D помещалась внутрь резонатора СВЧ, на который подавался переменный сигнал, близкий к 9,1926 ГГц.

4. За резонатором располагалась еще одна система магнитов, которая фокусировала атомный пучок на детекторе.

5. Изменяя плавно частоту подводимой к резонатору энергии, добивались резкого сигнала с детектора, соответствующего частоте резонанса в цезии.

Именно эта частота и соответствовала 9,192631770 ГГц, и зафиксировав ее точно, можно было воспроизвести единицу времени, т. к. t = 1/ν.

Сопоставление диапазона длин волн и частот, воспроизводимых на эталоне метра и на эталоне Герца, показывает, что оптические измерения на длине волн 0,6 мкм и радиочастотные измерения отличаются по частоте на четыре порядка: - 10¹⁴ Гц для оптического диапазона и - 10¹⁰ Гц для радиочастотного. По этой причине при объединении эталонов метра. Герца и секунды кроме установок с интерферометром и с цезиевыми часами необходимо было создать специальный измерительный комплекс, позволяющий сопоставить без потери точности оптические и радиочастотные измерения. Этот комплекс в метрологии получил название «радиочастотный мост».

Принцип, положенный в его основу, состоит в том, что умножение частоты колебаний какого-либо процесса может быть реализовано практически без потери точности.

Появляется возможность последовательным удвоением, учетверением и т.д. частоты, воспроизведенной на цезиевых часах, вплотную подойти к частотам оптического диапазона - 10¹⁴ Гц. В этом случае можно сличить непосредственно параметры электромагнитных колебаний эталона метра и цезиевых часов.

Реализация эталона метра, эталона Герца совместно с радиочастотным мостом позволила создать метрологический эталонный комплекс, на котором воспроизводятся единицы двух основных единиц системы СИ - метра и секунды, - а также воспроизводится единица производной величины, частоты Герц. Последняя является на настоящее время наиболее точно воспроизводимой единицей из всех физических величин.