Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Вычисление длины дуги плоской кривой





Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(х), где .

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

 

Рис. 16.

Покажем, что если функция у=f(х) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на отрезке [а;b], то кривая АВ имеет длину, равную

(3)

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками разобьем отрезок [а;Ь] на п частей (см. рис. 16). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой АВ. Проведем хорды , длины которыхобозначим соответственно через . Получим ломаную , длина которой равна .

2. Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами и .

, где По теореме Лагранжа о конечном приращении функции , где . Поэтому

а длина всей ломаной равна

3. Длина l кривой AB, по определению, равна .

Заметим, что при также и ( и, следовательно,

). Функция непрерывна на отрезке [a;b], так как, по условию, непрерывная функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы (4), когда :

Таким образом, , или в сокращенной записи

Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и , то длина l кривой AB находиться по формуле



(5)

Формула (5) может быть получена из формулы (3) подстановкой ,

.

Пример: Найти длину дуги кривой

Абсциссы концов которой и .

Решение. Согласно формуле (3) имеем

Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (3), применив схему II (метод дифференциала).

Рис. 17.

1. Возьмем произвольное значение и рассмотрим переменный отрезок . На нем величина l становится функцией от х, т. е. l = l(х) и

2. Находим дифференциал dl функции l=l(x) при изменении x на малую величину . Найдем , заменяя бесконечно малую дугу хордой , стягивающей эту дугу (см. рис. 17):

Итак, .

3. Интегрируя dl в пределах от a до b, получаем

Равенство называется формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.

Так как то

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МСТ (см. рис. 18.)

Рис. 18.

Полярные координаты

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах . Предположим, что и непрерывны на отрезке .

Если в равенствах , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую АВ можно

задать параметрически

Тогда

Поэтому

Применяя формулу (5), получаем

Рис. 19.

Пример. Найти длину кардиоиды

Решение: Кардиоиды имеет вид, изображенный на рисунке 19. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Таким образом, Значит,

Вычисление объема тела

 

Объем тела вращения

Рис. 22.

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком прямыми х = а и х = b (см. рис. 22). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох ( ), есть круг с радиусом . Следовательно, S(x) = .

Применяя формулу (6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

(7)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми х=0, у=с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (7), равен

(8)

Рис. 23

Пример; Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,x=0; вокруг оси Оу (см. рис. 23).

Решение: По формуле (8) находим:

 

Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (a < b), находится по формуле

(10)

Пример 1.Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = кх, где к — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k-0,01, откуда к = 10000; следовательно, F = 10000х.

Искомая работа на основании формулы (10) равна

(Дж).

Рис. 25.

Пример 2.Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H м и радиусом основания R м.

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной , есть функция от х, т.е. А = А(х), где .

2. Находим главную часть приращения при изменении х на величину , т. е. находим дифференциал dA функции А(х).

Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 25), Тогда , где dp — вес этого слоя; он равен , где g — ускорение свободного падения, - плотность жидкости, - объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. . Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , dx – высота цилиндра (слоя), - площадь основания, т.е. .

Таким образом, и .

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н,находим

(Дж).

 

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от до .

Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е. . Отсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от до ,

получаем .

Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.

Пример:Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

(м).

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(х), где .

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

 

Рис. 16.

Покажем, что если функция у=f(х) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на отрезке [а;b], то кривая АВ имеет длину, равную

(3)

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками разобьем отрезок [а;Ь] на п частей (см. рис. 16). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой АВ. Проведем хорды , длины которыхобозначим соответственно через . Получим ломаную , длина которой равна .

2. Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами и .

, где По теореме Лагранжа о конечном приращении функции , где . Поэтому

а длина всей ломаной равна

3. Длина l кривой AB, по определению, равна .

Заметим, что при также и ( и, следовательно,

). Функция непрерывна на отрезке [a;b], так как, по условию, непрерывная функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы (4), когда :

Таким образом, , или в сокращенной записи

Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и , то длина l кривой AB находиться по формуле

(5)

Формула (5) может быть получена из формулы (3) подстановкой ,

.

Пример: Найти длину дуги кривой

Абсциссы концов которой и .

Решение. Согласно формуле (3) имеем

Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (3), применив схему II (метод дифференциала).

Рис. 17.

1. Возьмем произвольное значение и рассмотрим переменный отрезок . На нем величина l становится функцией от х, т. е. l = l(х) и

2. Находим дифференциал dl функции l=l(x) при изменении x на малую величину . Найдем , заменяя бесконечно малую дугу хордой , стягивающей эту дугу (см. рис. 17):

Итак, .

3. Интегрируя dl в пределах от a до b, получаем

Равенство называется формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.

Так как то

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МСТ (см. рис. 18.)

Рис. 18.

Полярные координаты

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах . Предположим, что и непрерывны на отрезке .

Если в равенствах , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую АВ можно

задать параметрически

Тогда

Поэтому

Применяя формулу (5), получаем

Рис. 19.

Пример. Найти длину кардиоиды

Решение: Кардиоиды имеет вид, изображенный на рисунке 19. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Таким образом, Значит,

Вычисление объема тела

 







Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2022 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.