|
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), Применим схему II (метод дифференциала). Рис. 20. 1. Через произвольную точку 2.Находим дифференциал 3.Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределахот а до b:
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений. Рис. 21. Пример - Найти объем эллипсоида Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее ( Площадь этого эллипса равна Объем тела вращения Рис. 22. Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией Применяя формулу (6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции
Рис. 23 Пример; Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями Решение: По формуле (8) находим:
Вычисление площади поверхности вращения Пусть кривая АВ является графиком функции Рис. 24. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох. Применим схему II (метод дифференциала). 1.Через произвольную точку 2.Дадим аргументу х приращение Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности равна 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), Пример. Дана циклоида Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох. Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна т.е.
Механические приложения определенного интеграла Работа переменной силы Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (a < b), находится по формуле
Пример 1.Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = кх, где к — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k -0,01, откуда к = 10000; следовательно, F = 10000 х. Искомая работа на основании формулы (10) равна
Рис. 25. Пример 2. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H м и радиусом основания R м. Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова. 1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной 2. Находим главную часть приращения Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 25), Тогда Таким образом, 3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
Путь, пройденный телом Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е. получаем Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла. Пример:Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с). Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен
![]() ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|