|
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), . Применим схему II (метод дифференциала). Рис. 20. 1. Через произвольную точку проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 20.). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(х) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V). 2.Находим дифференциал функции . Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(х) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx. 3.Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределахот а до b: (6) Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений. Рис. 21. Пример - Найти объем эллипсоида Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (), получим эллипс (см рис. 21): Площадь этого эллипса равна . Поэтому, по формуле (6), имеем Объем тела вращения Рис. 22. Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком прямыми х = а и х = b (см. рис. 22). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох ( ), есть круг с радиусом . Следовательно, S(x) = . Применяя формулу (6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем (7) Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми х =0, у =с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (7), равен (8) Рис. 23 Пример; Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,x=0; вокруг оси Оу (см. рис. 23). Решение: По формуле (8) находим:
Вычисление площади поверхности вращения Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке. Рис. 24. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох. Применим схему II (метод дифференциала). 1.Через произвольную точку проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусому = f(x) (см. рис. 24). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е. s = s(x) (s(a) = 0 и s(b) = S). 2.Дадим аргументу х приращение . Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение D s, изображенного на рисунке в виде «пояска». Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности равна . Отбрасывая произведение dy dl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем , или, так как , то 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем (9) Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), , то формула (9) для площади поверхности вращения принимает вид Пример. Дана циклоида Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох. Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна т.е. cледовательно,
Механические приложения определенного интеграла Работа переменной силы Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (a < b), находится по формуле (10) Пример 1.Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = кх, где к — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k -0,01, откуда к = 10000; следовательно, F = 10000 х. Искомая работа на основании формулы (10) равна (Дж). Рис. 25. Пример 2. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H м и радиусом основания R м. Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова. 1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной , есть функция от х, т.е. А = А(х), где . 2. Находим главную часть приращения при изменении х на величину , т. е. находим дифференциал dA функции А(х). Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 25), Тогда , где dp — вес этого слоя; он равен , где g — ускорение свободного падения, - плотность жидкости, - объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. . Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , dx – высота цилиндра (слоя), - площадь основания, т.е. . Таким образом, и . 3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим (Дж).
Путь, пройденный телом Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от до . Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е. . Отсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от до , получаем . Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла. Пример:Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с). Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен (м). Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|