|
|
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), Применим схему II (метод дифференциала).
Рис. 20. 1. Через произвольную точку 2.Находим дифференциал 3.Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределахот а до b:
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Рис. 21. Пример - Найти объем эллипсоида Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (
Площадь этого эллипса равна
Объем тела вращения
Рис. 22. Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией Применяя формулу (6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции
Рис. 23 Пример; Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями Решение: По формуле (8) находим:
Вычисление площади поверхности вращения Пусть кривая АВ является графиком функции
Рис. 24. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох. Применим схему II (метод дифференциала). 1.Через произвольную точку 2.Дадим аргументу х приращение Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности равна 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t),
Пример. Дана циклоида
Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох. Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна
т.е.
Механические приложения определенного интеграла Работа переменной силы Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (a < b), находится по формуле
Пример 1.Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = кх, где к — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k -0,01, откуда к = 10000; следовательно, F = 10000 х. Искомая работа на основании формулы (10) равна
Рис. 25. Пример 2. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H м и радиусом основания R м. Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова. 1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной 2. Находим главную часть приращения Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 25), Тогда Таким образом, 3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
Путь, пройденный телом Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е. получаем Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла. Пример:Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с). Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен
  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 20.). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(х) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
функции 
. Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и 
, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(х) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
(6)
), получим эллипс (см рис. 21):
. Поэтому, по формуле (6), имеем
, отрезком 
прямыми х = а и х = b (см. рис. 22). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох ( 
), есть круг с радиусом 
. Следовательно, S(x) = 
.
(7)
и прямыми х =0, у =с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (7), равен
(8)
,x=0; 
вокруг оси Оу (см. рис. 23).
, а функция 
непрерывны на этом отрезке.
. Через точку 
также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение D s, изображенного на рисунке в виде «пояска».
. Отбрасывая произведение dy dl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем 
, или, так как 
, то 
(9)
, то формула (9) для площади поверхности вращения принимает вид
cледовательно, 
(10)
(Дж).
, есть функция от х, т.е. А = А(х), где 
.
при изменении х на величину 
, где dp — вес этого слоя; он равен 
, где g — ускорение свободного падения, 
- плотность жидкости, 
- объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. 
. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен 
, dx – высота цилиндра (слоя), 
- площадь основания, т.е. 
.
и 
.
(Дж).
до 
.
. Отсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от 
.
(м).