Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений





Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), .

Применим схему II (метод дифференциала).

Рис. 20.

1. Через произвольную точку проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 20.). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(х) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2.Находим дифференциал функции . Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(х) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.

3.Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределахот а до b:

(6)

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Рис. 21.

Пример - Найти объем эллипсоида

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее ( ), получим эллипс (см рис. 21):

Площадь этого эллипса равна . Поэтому, по формуле (6), имеем

Объем тела вращения

Рис. 22.

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком прямыми х = а и х = b (см. рис. 22). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох ( ), есть круг с радиусом . Следовательно, S(x) = .



Применяя формулу (6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

(7)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми х=0, у=с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (7), равен

(8)

Рис. 23

Пример; Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,x=0; вокруг оси Оу (см. рис. 23).

Решение: По формуле (8) находим:

 

Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке.

Рис. 24.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.

Применим схему II (метод дифференциала).

1.Через произвольную точку проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусому = f(x) (см. рис. 24). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е. s = s(x) (s(a) = 0 и s(b) = S).

2.Дадим аргументу х приращение . Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение Ds, изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности равна . Отбрасывая произведение dy dl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем , или, так как , то

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

(9)

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), , то формула (9) для площади поверхности вращения принимает вид

Пример. Дана циклоида

Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох.

Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

т.е. cледовательно,

 

Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (a < b), находится по формуле

(10)

Пример 1.Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = кх, где к — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k-0,01, откуда к = 10000; следовательно, F = 10000х.

Искомая работа на основании формулы (10) равна

(Дж).

Рис. 25.

Пример 2.Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H м и радиусом основания R м.

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной , есть функция от х, т.е. А = А(х), где .

2. Находим главную часть приращения при изменении х на величину , т. е. находим дифференциал dA функции А(х).

Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 25), Тогда , где dp — вес этого слоя; он равен , где g — ускорение свободного падения, - плотность жидкости, - объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. . Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , dx – высота цилиндра (слоя), - площадь основания, т.е. .

Таким образом, и .

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н,находим

(Дж).

 

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от до .

Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е. . Отсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от до ,

получаем .

Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.

Пример:Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

(м).







Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2022 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.