|
ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВС НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Теорема 5 (признак сравнения). Пусть для членов рядов Тогда: 1) если сходится ряд Обратное неверно. 2) если расходится ряд Пример 5. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Так как
Ряд с бóльшими членами меньшими членами. Ответ: ряд Теорема 6 (предельный признак сравнения). Пусть Тогда ряды Пример 6. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Применим предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения возьмём расходящийся гармонический ряд Ответ: ряд Пример 7. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Применим предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения рассмотрим гармонический ряд
Гармонический ряд расходится, поэтому ряд Ответ: ряд Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть для ряда 1) если 2) если 3) если Пример 8. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Ответ: по признаку Даламбера данный ряд расходится. Пример 9. Исследуйте на сходимость ряд Решение.
Здесь использован второй замечательный предел Ответ: ряд Теорема 8 (радикальный признак Коши). Пусть для ряда 1) если 2) если 3) если Пример 10. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Найдём предел:
Ответ: ряд Теорема 9 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда Пример 11. Исследуйте на сходимость обобщённо-гармонический ряд Дирихле Решение. При При Таким образом, несобственный интеграл Ответ: по интегральному признаку Коши обобщённо-гармонический ряд Дирихле сходится при Пример 12. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Непосредственное применение интегрального признака приводит к интегралу Вычислим интеграл Ответ: несобственный интеграл
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Ряды, члены которых могут иметь различные знаки, называются знакопеременными. Рассмотрим ряды, содержащие бесконечное число как отрицательных, так и положительных членов. Пусть дан ряд Определение 5. Если ряд Пример 13. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Составим ряд из модулей Ответ: ряд, составленный из модулей, сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т.е. ряды вида или Не ограничивая общности, в дальнейшем будем рассматривать ряды вида Теорема 10 (признак Лейбница). Пусть для ряда 1) 2) Тогда ряд План исследования на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда: 1) составить ряд из модулей и исследовать полученный ряд на сходимость по достаточные признакам сходимости знакоположительных рядов (сравнения, Даламбера, Коши); 2) если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно, 3) если ряд из модулей расходится, то применить к исходному ряду признак Лейбница; 4) если признак Лейбница выполняется, то исходный ряд сходится условно, 5) если признак Лейбница не выполняется, то исходный ряд расходится. Следствие. Если знакочередующийся ряд сходится, то его остаток Пример 14. Исследуйте на сходимость ряд Решение. Ряд из модулей имеет вид Применим к исходному знакочередующемуся ряду признак Лейбница: 1) 2) Условия признака Лейбница выполняются при всех Вычислим приближённо сумму данного ряда с точностью 0,01. Из следствия признака Лейбница Заметим, что результат вычисления приближённого значения суммы данного ряда необходимо округлить до двух знаков после запятой. Ответ: ряд
![]() ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|