ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ

С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Теорема 5 (признак сравнения). Пусть для членов рядов и для всех n или начиная с некоторого n имеет место неравенство .

Тогда:

1) если сходится ряд , то сходится и ряд ; т.е. из сходимости ряда с бóльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Обратное неверно.

2) если расходится ряд , то расходится и ряд , т.е. из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бóльшими членами. Обратное неверно.

Пример 5. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Так как для любых , то, учитывая, что , можно записать следующую оценку:

.

Ряд с бóльшими членами составлен из членов геометрической прогрессии, где , и, следовательно, сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд с

меньшими членами.

Ответ: ряд сходится по признаку сравнения.

Теорема 6 (предельный признак сравнения). Пусть , , и существует предел .

Тогда ряды и являются эквивалентными в смысле сходимости, т.е. сходятся или расходятся одновременно.

Пример 6. Исследуйте на сходимость ряд

Решение. Применим предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения возьмём расходящийся гармонический ряд и найдём

Ответ: ряд расходится по предельному признаку сравнения.

Пример 7. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Применим предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения рассмотрим гармонический ряд и найдём

.

Гармонический ряд расходится, поэтому ряд также расходится.

Ответ: ряд расходится по предельному признаку сравнения

Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть для ряда существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то требуется дополнительное исследование по другим признакам.

Пример 8. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. , . Найдём

Ответ: по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Пример 9. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. , . Вычислим

.

Здесь использован второй замечательный предел .

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера.

Теорема 8 (радикальный признак Коши). Пусть для ряда существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то требуется дополнительное исследование по другим признакам.

Пример 10. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Найдём предел:

. При вычислении предела использовано известное равенство .

Ответ: ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Теорема 9 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда имеют вид , где – неотрицательная, монотонно убывающая функция на промежутке . Тогда ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) несобственный интеграл .

Пример 11. Исследуйте на сходимость обобщённо-гармонический ряд Дирихле , .

Решение. При имеем расходящийся гармонический ряд .

При >0, положим . Функция непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, несобственный интеграл сходится при и расходится при

Ответ: по интегральному признаку Коши обобщённо-гармонический ряд Дирихле сходится при и расходится при

Пример 12. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Непосредственное применение интегрального признака приводит к интегралу вычислить который затруднительно. Поступим по-другому. Подберём ряд, эквивалентный данному в смысле сходимости. Рассмотрим ряд . Применим предельный признак сравнения. Вычислим . Следовательно, по предельному признаку сравнения ряды и сходятся или расходятся одновременно. Исследуем теперь ряд по интегральному признаку.

Вычислим интеграл .

Ответ: несобственный интеграл расходится, следовательно, по интегральному признаку ряд расходится. Тогда данный ряд также расходится по предельному признаку сравнения.

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Ряды, члены которых могут иметь различные знаки, называются знакопеременными. Рассмотрим ряды, содержащие бесконечное число как отрицательных, так и положительных членов. Пусть дан ряд . Составим ряд из модулей , все его члены являются неотрицательными числами, следовательно, к этому ряду можно применять достаточные признаки сходимости (сравнения, Даламбера, Коши).

Определение 5. Если ряд сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд расходится, а ряд сходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 13. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из модулей = и исследуем его с помощью признака Даламбера. Найдём предел: .

Ответ: ряд, составленный из модулей, сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т.е. ряды вида

или , где .

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем рассматривать ряды вида .

Теорема 10 (признак Лейбница). Пусть для ряда выполнены условия:

1) (члены ряда не возрастают по абсолютной величине);

2) .

Тогда ряд сходится, причём его сумма не превосходит по модулю первого члена, т.е. .

План исследования на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда:

1) составить ряд из модулей и исследовать полученный ряд на сходимость по достаточные признакам сходимости знакоположительных рядов (сравнения, Даламбера, Коши);

2) если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно,

3) если ряд из модулей расходится, то применить к исходному ряду признак Лейбница;

4) если признак Лейбница выполняется, то исходный ряд сходится условно, 5) если признак Лейбница не выполняется, то исходный ряд расходится.

Следствие. Если знакочередующийся ряд сходится, то его остаток тоже является знакочередующимся сходящимся рядом, следовательно, по признаку Лейбница его сумма не превосходит по модулю первого члена : . Отсюда следует, что для знакочередующегося сходящегося ряда погрешность приближённого равенства не превосходит по модулю первого отброшенного члена: .

Пример 14. Исследуйте на сходимость ряд и вычислите его сумму с точностью 0,01.

Решение. Ряд из модулей имеет вид , он расходится по предельному признаку сравнения одновременно с гармоническим рядом, т.к. . Значит, данный ряд не сходится абсолютно.

Применим к исходному знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

1) для всех , т.е. , .

2) .

Условия признака Лейбница выполняются при всех , следовательно, ряд сходится условно.

Вычислим приближённо сумму данного ряда с точностью 0,01.

Из следствия признака Лейбница . Следовательно, . Это неравенство будет выполняться при . Следовательно, для нахождения суммы данного ряда с точностью до 0,01 достаточно взять 99 первых его членов, т.е. . Тогда .

Заметим, что результат вычисления приближённого значения суммы данного ряда необходимо округлить до двух знаков после запятой.

Ответ: ряд сходится условно и его сумма

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: