|
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Основным вопросом функциональных рядов является вопрос о свойствах суммы 1) если члены ряда 2) если члены ряда интегрируемые (дифференцируемые) функции, то будет ли сумма ряда интегрируемой (дифференцируемой) функцией? Пример 18. Найдите сумму ряда Решение. Очевидно, что Сумма прогрессии равна Окончательно сумма ряда имеет вид:
Хотя все члены ряда являются непрерывными на отрезке Определение 8. Ряд На рисунке 1 приведена геометрическая иллюстрация равномерной сходимости функционального ряда:
Рис.1 Иллюстрация равномерной сходимости. Пример 18. Докажите равномерную сходимость функционального ряда Решение. Оценим остаток ряда: Выражение под знаком модуля при каждом фиксированном Лейбница и его сумма не превосходит первого члена:
Решая неравенство Таким образом, существует номер что Ответ: ряд сходится равномерно при Теорема 17. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если члены ряда Пример 19. Исследуйте на равномерную сходимость ряд Решение. При любых
Обобщённый гармонический ряд Ответ: ряд сходится равномерно при СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Теорема 18 (о непрерывности суммы ряда). Пусть в области 1) все члены ряда 2) ряд Тогда сумма ряда Теорема 19 (о почленном интегрировании ряда). Пусть в области 1) все члены ряда 2) ряд Тогда его можно почленно интегрировать на любом отрезке и справедлива формула Теорема 20 (о почленном дифференцировании ряда). Пусть в области 1) все члены ряда 2) ряд 3) ряд, составленный из производных Тогда в области его сумма ряд
Пример 20. Докажите равномерную сходимость функционального ряда Решение. Составим ряд из производных почленном дифференцировании исходный ряд Ответ: ряд сходится равномерно при СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Определение 9. Функциональные ряды вида Действительные числа Степенной ряд Так как заменой то в дальнейшем будем рассматриваются ряды вида Теорема 21 (Абеля). Пусть степенной ряд На рисунке 2 приведена геометрическая иллюстрация теоремы Абеля.
Таким образом, областью сходимости степенного ряда Пример 21. Найдите область сходимости степенного ряда Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся. Поэтому составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера:
Ряд будет сходиться, если При При Ответ: областью сходимости степенного ряда Пример 22. Найдите область сходимости степенного ряда Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который является знакоположительным для любых x. Применим признак Даламбера:
Ответ: областью сходимости степенного ряда Следствиями теоремы Абеля являются следующие теоремы. Теорема 22. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на любом отрезке из интервала сходимости. Теорема 23. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. При этом ряды, полученные почленным интегрированием или дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Пример 23. Найдите сумму ряда Решение. Интервалом сходимости данного степенного ряда является Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до x, где
Ответ:
![]() ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|