РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Основным вопросом функциональных рядов является вопрос о свойствах суммы ряда в зависимости от свойств членов этого ряда. Возникают вопросы:

1) если члены ряда – непрерывные функции, то будет ли тоже непрерывной функцией?

2) если члены ряда интегрируемые (дифференцируемые) функции, то будет ли сумма ряда интегрируемой (дифференцируемой) функцией?

Пример 18. Найдите сумму ряда , .

Решение. Очевидно, что . Пусть . Ряд в этом случае представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем и сходится.

Сумма прогрессии равна , .

Окончательно сумма ряда имеет вид:

.

Хотя все члены ряда являются непрерывными на отрезке функциями, сумма ряда оказалась разрывной функцией. Т.о. в общем случае сумма функционального рядя не всегда наследует свойства членов ряда.

Определение 8. Ряд называется равномерно сходящимся в области к сумме , если (номер, зависящий от и не зависящий от x), такой, что выполняется неравенство , (или ).

На рисунке 1 приведена геометрическая иллюстрация равномерной сходимости функционального ряда:

Рис.1 Иллюстрация равномерной сходимости.

Пример 18. Докажите равномерную сходимость функционального ряда на отрезке [0,1].

Решение. Оценим остаток ряда: .

Выражение под знаком модуля при каждом фиксированном является знакочередующимся рядом, который сходится по признаку

Лейбница и его сумма не превосходит первого члена:

.

Решая неравенство , находим .

Таким образом, существует номер , не зависящий от x, такой

что , , . Следовательно, по определению функциональный ряд сходится равномерно при .

Ответ: ряд сходится равномерно при .

Теорема 17. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости).

Если члены ряда , удовлетворяют неравенству , и числовой знакоположительный ряд сходится, то сходится равномерно в области .

Пример 19. Исследуйте на равномерную сходимость ряд .

Решение. При любых выполняется неравенство:

.

Обобщённый гармонический ряд сходится (). Следовательно, по признаку Вейерштрасса функциональный ряд сходится равномерно при любом действительном .

Ответ: ряд сходится равномерно при .

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Теорема 18 (о непрерывности суммы ряда). Пусть в области :

1) все члены ряда являются непрерывными функциями;

2) ряд сходится равномерно к сумме .

Тогда сумма ряда есть непрерывная функция в области .

Теорема 19 (о почленном интегрировании ряда). Пусть в области :

1) все члены ряда являются непрерывными функциями,

2) ряд сходится равномерно к сумме .

Тогда его можно почленно интегрировать на любом отрезке

и справедлива формула

Теорема 20 (о почленном дифференцировании ряда). Пусть в области :

1) все члены ряда являются непрерывно-дифференцируемыми функциями;

2) ряд сходится к сумме ,

3) ряд, составленный из производных , сходится равномерно.

Тогда в области ряд сходится равномерно,

его сумма является непрерывно-дифференцируемой функцией,

ряд можно почленно дифференцировать:

.

Пример 20. Докажите равномерную сходимость функционального ряда , .

Решение. Составим ряд из производных и докажем его равномерную сходимость. Заметим, что . Обобщённый гармонический ряд сходится (). Следовательно, по признаку Вейерштрасса функциональный ряд сходится равномерно при любом действительном . Тогда по теореме о

почленном дифференцировании исходный ряд сходится равномерно при , причём .

Ответ: ряд сходится равномерно при .

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Определение 9. Функциональные ряды вида или , составленные из степенных функций, называются степенными.

Действительные числа называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд сходится по крайней мере в одной точке , а ряд – в точке .

Так как заменой ряд сводится к ряду ,

то в дальнейшем будем рассматриваются ряды вида .

Теорема 21 (Абеля). Пусть степенной ряд сходится в некоторой точке . Тогда он сходится абсолютно в любой точке , удовлетворяющей неравенству , и сходится равномерно в области . Пусть ряд расходится в некоторой точке . Тогда он расходится и во всех точках , таких, что .

На рисунке 2 приведена геометрическая иллюстрация теоремы Абеля.

абсолютно R ibMPPzkT+Zxa2UzmzOVukIlSt9KZjnjBmhG3Fut+f3Qa1sq99H2e7ILLvpcru330T+On1tdX88M9 iIhz/IPhV5/VoWKngz9SE8SgIVV3K0Y1ZHkKgoE0z3IQByYTlYGsSvn/heoHAAD//wMAUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJl bHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAzBz2XCcCAAD/AwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0Rv Yy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAA1qV690AAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACBBAAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAIsFAAAAAA== " filled="f" stroked="f"> сходится расходится расходится

Рис.2. Иллюстрация теоремы Абеля.

Таким образом, областью сходимости степенного ряда всегда является конечный или бесконечный интервал с центром в точке или единственная точка .

Пример 21. Найдите область сходимости степенного ряда .

Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся. Поэтому составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера:

.

Ряд будет сходиться, если , т.е. .

При получим числовой знакоположительный ряд . Применим к нему предельный признак сравнения. Возьмём в качестве ряда сравнения который сходится как ряд Дирихле (). Найдём предел . Следовательно, ряды и сходятся одновременно. Таким образом, ряд сходится на правом конце интервала сходимости .

При получаем числовой знакочередующийся ряд , который сходится абсолютно, т.к. сходится ряд из модулей . На левом конце интервала сходимости ряд также сходится.

Ответ: областью сходимости степенного ряда является отрезок .

Пример 22. Найдите область сходимости степенного ряда .

Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который является знакоположительным для любых x. Применим признак Даламбера:

По признаку Даламбера степенной ряд будет сходиться, если , т.е. при . Подставляя и в исходный степенной ряд, получим расходящийся гармонический ряд . Таким образом, на концах интервала сходимости степенной ряд расходится.

Ответ: областью сходимости степенного ряда является интервал .

Следствиями теоремы Абеля являются следующие теоремы.

Теорема 22. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на любом отрезке из интервала сходимости.

Теорема 23. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. При этом ряды, полученные почленным интегрированием или дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример 23. Найдите сумму ряда .

Решение. Интервалом сходимости данного степенного ряда является . Составим ряд из производных: . Члены этого ряда образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем сумма прогрессии равна .

Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до x, где :

;

.

Ответ: , .

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: