ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА И ЕГО СУММЫ

УДК 517.5

ББК 22.19

Составители: С.В. Бушков, Л.В. Коломиец, О.Ю. Семёнова

СОДЕРЖАНИЕ

1. Понятие числового ряда и его суммы……………………………………………….…4

2. Свойства сходящихся рядов………………………………………………………...…..7

3. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами…………..8

4. Знакопеременные ряды………………………………………………………………...13

5. Знакочередующиеся ряды……………………………………………………………..14

6. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов………………………………….16

7. Функциональные ряды………………………………………………………………...17

8 Равномерная сходимость функциональных рядов…………………………………..20

9. Свойства равномерно сходящихся рядов…………………………………………….22

10. Степенные ряды………………………………………………………………………24

11. Разложение функций в степенные ряды…………………………………………….28

12. Приложения степенных рядов……………………………………………………….31

ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА И ЕГО СУММЫ

Рассмотрим числовую последовательность . Составим из неё новую последовательность по правилу:

,

,

,

............

,

............

,

Решение. Разложим общий член ряда на простейшие дроби: .

Найдём n -ую частичную сумму ряда:

Заметим, что второе слагаемое скобки с номером «» взаимно сокращается с первым слагаемым скобки с номером «», поэтому в итоге частичная сумма ряда имеет вид: .

Найдём предел: .

Ответ: данный ряд сходится и его сумма равна

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Теорема 1. Если сходится ряд , то сходится и его остаток , и наоборот. Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание или добавление конечного числа членов.

Теорема 2. Если ряд сходится к сумме , то ряд , где =const, сходится к сумме .

Теорема 3. Если сходятся ряды и , и их суммы соответственно равны и , то сходится и ряд , и его сумма равна (обратное неверно).

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то .

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

Пример 3. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Ряд называется гармоническим рядом. Необходимый признак сходимости для этого ряда выполняется, т.к. . Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы ряд сходился к сумме S, то выполнялись бы соотношения: , и . Однако справедлива оценка .

Таким образом, по теореме о предельном переходе в неравенствах из оценки следует, что равенство невозможно.

Ответ: гармонический ряд расходится.

Итак, из условия не обязательно следует, что ряд сходится. Необходимый признак сходимости можно использовать лишь для доказательства расходимости ряда.

Пример 4. Исследуйте на сходимость ряд

Решение. Если бы ряд сходился, то выполнялось бы условие . Однако , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется.

Ответ: ряд расходится.

С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Теорема 5 (признак сравнения). Пусть для членов рядов и для всех n или начиная с некоторого n имеет место неравенство .

Тогда:

1) если сходится ряд , то сходится и ряд ; т.е. из сходимости ряда с бóльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Обратное неверно.

2) если расходится ряд , то расходится и ряд , т.е. из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бóльшими членами. Обратное неверно.

Пример 5. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Так как для любых , то, учитывая, что , можно записать следующую оценку:

.

Ряд с бóльшими членами составлен из членов геометрической прогрессии, где , и, следовательно, сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд с

меньшими членами.

Ответ: ряд сходится по признаку сравнения.

Теорема 6 (предельный признак сравнения). Пусть , , и существует предел .

Тогда ряды и являются эквивалентными в смысле сходимости, т.е. сходятся или расходятся одновременно.

Пример 6. Исследуйте на сходимость ряд

Решение. Применим предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения возьмём расходящийся гармонический ряд и найдём

Ответ: ряд расходится по предельному признаку сравнения.

Пример 7. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Применим предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения рассмотрим гармонический ряд и найдём

.

Гармонический ряд расходится, поэтому ряд также расходится.

Ответ: ряд расходится по предельному признаку сравнения

Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть для ряда существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то требуется дополнительное исследование по другим признакам.

Пример 8. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. , . Найдём

Ответ: по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Пример 9. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. , . Вычислим

.

Здесь использован второй замечательный предел .

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера.

Теорема 8 (радикальный признак Коши). Пусть для ряда существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то требуется дополнительное исследование по другим признакам.

Пример 10. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Найдём предел:

. При вычислении предела использовано известное равенство .

Ответ: ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Теорема 9 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда имеют вид , где – неотрицательная, монотонно убывающая функция на промежутке . Тогда ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) несобственный интеграл .

Пример 11. Исследуйте на сходимость обобщённо-гармонический ряд Дирихле , .

Решение. При имеем расходящийся гармонический ряд .

При >0, положим . Функция непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, несобственный интеграл сходится при и расходится при

Ответ: по интегральному признаку Коши обобщённо-гармонический ряд Дирихле сходится при и расходится при

Пример 12. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Непосредственное применение интегрального признака приводит к интегралу вычислить который затруднительно. Поступим по-другому. Подберём ряд, эквивалентный данному в смысле сходимости. Рассмотрим ряд . Применим предельный признак сравнения. Вычислим . Следовательно, по предельному признаку сравнения ряды и сходятся или расходятся одновременно. Исследуем теперь ряд по интегральному признаку.

Вычислим интеграл .

Ответ: несобственный интеграл расходится, следовательно, по интегральному признаку ряд расходится. Тогда данный ряд также расходится по предельному признаку сравнения.

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Ряды, члены которых могут иметь различные знаки, называются знакопеременными. Рассмотрим ряды, содержащие бесконечное число как отрицательных, так и положительных членов. Пусть дан ряд . Составим ряд из модулей , все его члены являются неотрицательными числами, следовательно, к этому ряду можно применять достаточные признаки сходимости (сравнения, Даламбера, Коши).

Определение 5. Если ряд сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд расходится, а ряд сходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 13. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из модулей = и исследуем его с помощью признака Даламбера. Найдём предел: .

Ответ: ряд, составленный из модулей, сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т.е. ряды вида

или , где .

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем рассматривать ряды вида .

Теорема 10 (признак Лейбница). Пусть для ряда выполнены условия:

1) (члены ряда не возрастают по абсолютной величине);

2) .

Тогда ряд сходится, причём его сумма не превосходит по модулю первого члена, т.е. .

План исследования на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда:

1) составить ряд из модулей и исследовать полученный ряд на сходимость по достаточные признакам сходимости знакоположительных рядов (сравнения, Даламбера, Коши);

2) если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно,

3) если ряд из модулей расходится, то применить к исходному ряду признак Лейбница;

4) если признак Лейбница выполняется, то исходный ряд сходится условно, 5) если признак Лейбница не выполняется, то исходный ряд расходится.

Следствие. Если знакочередующийся ряд сходится, то его остаток тоже является знакочередующимся сходящимся рядом, следовательно, по признаку Лейбница его сумма не превосходит по модулю первого члена : . Отсюда следует, что для знакочередующегося сходящегося ряда погрешность приближённого равенства не превосходит по модулю первого отброшенного члена: .

Пример 14. Исследуйте на сходимость ряд и вычислите его сумму с точностью 0,01.

Решение. Ряд из модулей имеет вид , он расходится по предельному признаку сравнения одновременно с гармоническим рядом, т.к. . Значит, данный ряд не сходится абсолютно.

Применим к исходному знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

1) для всех , т.е. , .

2) .

Условия признака Лейбница выполняются при всех , следовательно, ряд сходится условно.

Вычислим приближённо сумму данного ряда с точностью 0,01.

Из следствия признака Лейбница . Следовательно, . Это неравенство будет выполняться при . Следовательно, для нахождения суммы данного ряда с точностью до 0,01 достаточно взять 99 первых его членов, т.е. . Тогда .

Заметим, что результат вычисления приближённого значения суммы данного ряда необходимо округлить до двух знаков после запятой.

Ответ: ряд сходится условно и его сумма

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Определение 7. Функциональным рядом называется ряд вида

,

где функции, определённые на некотором множестве .

Сумма называется n-й частичной суммой ряда,

выражение – остатком ряда.

При каждом фиксированном функциональный ряд превращается в числовой, и его сходимость можно исследовать по известным признакам. Если такой числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке . Совокупность всех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Суммой функционального ряда называется функция , определённая в области сходимости функционального ряда. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей .

Для определения области сходимости функционального ряда можно использовать обобщённые признаки сравнения, Даламбера, Коши и т.д., в которых вместо надо брать .

Пример 15. Найти область сходимости ряда .

Решение. Зафиксируем x. Получим числовой знакоположительный ряд.

Этот ряд сходится на всей числовой прямой по признаку сравнения, т.к. , для всех , а ряд сходится (ряд Дирихле, ).

Ответ: область сходимости ряда .

Пример 16. Найти область сходимости ряда .

Решение. Зафиксируем . Получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся. Поэтому составим ряд из модулей и

применим к нему признак Даламбера:

.

Этот результат справедлив для всех допустимых значений x. Следовательно, ряд расходится на всей области определения.

Ответ: область сходимости ряда пустое множество .

Пример 17. Найти область сходимости ряда .

Решение. Зафиксируем x. Получим числовой знакоположительный ряд. Применим к нему радикальный признак Коши: . Ряд будет сходиться, если , т.е. . Остаётся рассмотреть случай . При этом исходный ряд имеет вид и расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак сходимости ряда: . Таким образом, точка не входит в область сходимости ряда.

Ответ: область сходимости ряда .

Пример 18. Найти область сходимости ряда .

Зафиксируем x, получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся. Поэтому составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера:

Ряд будет сходиться, если , т.е. при .

При ряд примет вид , он расходится одновременно с гармоническим рядом по предельному признаку сравнения.

При ряд имеет вид и является знакочередующимся. Этот ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Ответ: область сходимости .

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Определение 9. Функциональные ряды вида или , составленные из степенных функций, называются степенными.

Действительные числа называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд сходится по крайней мере в одной точке , а ряд – в точке .

Так как заменой ряд сводится к ряду ,

то в дальнейшем будем рассматриваются ряды вида .

Теорема 21 (Абеля). Пусть степенной ряд сходится в некоторой точке . Тогда он сходится абсолютно в любой точке , удовлетворяющей неравенству , и сходится равномерно в области . Пусть ряд расходится в некоторой точке . Тогда он расходится и во всех точках , таких, что .

На рисунке 2 приведена геометрическая иллюстрация теоремы Абеля.

абсолютно R ibMPPzkT+Zxa2UzmzOVukIlSt9KZjnjBmhG3Fut+f3Qa1sq99H2e7ILLvpcru330T+On1tdX88M9 iIhz/IPhV5/VoWKngz9SE8SgIVV3K0Y1ZHkKgoE0z3IQByYTlYGsSvn/heoHAAD//wMAUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJl bHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAzBz2XCcCAAD/AwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0Rv Yy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAA1qV690AAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACBBAAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAIsFAAAAAA== " filled="f" stroked="f"> сходится расходится расходится

Рис.2. Иллюстрация теоремы Абеля.

Таким образом, областью сходимости степенного ряда всегда является конечный или бесконечный интервал с центром в точке или единственная точка .

Пример 21. Найдите область сходимости степенного ряда .

Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся. Поэтому составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера:

.

Ряд будет сходиться, если , т.е. .

При получим числовой знакоположительный ряд . Применим к нему предельный признак сравнения. Возьмём в качестве ряда сравнения который сходится как ряд Дирихле (). Найдём предел . Следовательно, ряды и сходятся одновременно. Таким образом, ряд сходится на правом конце интервала сходимости .

При получаем числовой знакочередующийся ряд , который сходится абсолютно, т.к. сходится ряд из модулей . На левом конце интервала сходимости ряд также сходится.

Ответ: областью сходимости степенного ряда является отрезок .

Пример 22. Найдите область сходимости степенного ряда .

Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который является знакоположительным для любых x. Применим признак Даламбера:

По признаку Даламбера степенной ряд будет сходиться, если , т.е. при . Подставляя и в исходный степенной ряд, получим расходящийся гармонический ряд . Таким образом, на концах интервала сходимости степенной ряд расходится.

Ответ: областью сходимости степенного ряда является интервал .

Следствиями теоремы Абеля являются следующие теоремы.

Теорема 22. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на любом отрезке из интервала сходимости.

Теорема 23. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. При этом ряды, полученные почленным интегрированием или дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример 23. Найдите сумму ряда .

Решение. Интервалом сходимости данного степенного ряда является . Составим ряд из производных: . Члены этого ряда образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем сумма прогрессии равна .

Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до x, где :

;

.

Ответ: , .

ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Приближённое вычисление значений функции.

Функцию разлагают в степенной ряд, оставляя первые n членов. Погрешность равна остатку ряда . Для оценки погрешности применяют приёмы:

а) если ряд знакоположительный, его сравнивают с геометрической прогрессией;

б) если ряд знакочередующийся, применяют признак Лейбница.

Пример 27. Оценить погрешность приближённого равенства

Решение.

Применим к выражению в скобках формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

,

Ответ:

Пример 28. Вычислить с точностью .

Решение. Применим разложение для логарифмической функции при :

В правой части этого равенства получился числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница. По следствию этого признака погрешность приближённого равенства не превосходит по модулю первого отброшенного члена: .

Заметим, что , поэтому для приближенного

вычисления суммы знакочередующегося ряда достаточно взять первые четыре слагаемых, а затем округлить результат до трех знаков после запятой согласно заданной точности:

Ответ: .

((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228467']=__lxGc__['s']['_228467']||{'b':{}})['b']['_699615']={'i':__lxGc__.b++};

123Следующая ⇒

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: