МЕДОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРИМЕР 1 Определить аналитическим и графическим способами в стержнях АВ и ВС заданной стержневой системы (рисунок 1).

Дано: F₁ = 28 кН; F₂ = 42 кН; α₁=45⁰;α ₂=60⁰; α₃=30⁰.

Определить: усилия

Рисунок -1

РЕШЕНИЕ

1 Аналитическое решение

1. Рассматриваем равновесие точки В, в которой сходятся все стержни и внешние силы (рис.1).

2. Отбрасываем связи АВ и ВС, заменяя их усилиями в стержнях . Направления усилий примем от угла В, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке В (рис.2).

3. Выбираем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпадала с неизвестным усилием, например, с _А. Обозначаем на схеме углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

; F₂cos 75⁰+F₁cos 45⁰+S_ccos 75⁰-S_А=0 (1);

; F₂cos 15⁰-F₁cos 45⁰-S_ccos 15⁰=0 (2).

Рисунок - 2

Из уравнения (2) находим усилие Sс:

Подставляем числовые значения:

Найденное значение Sс подставляем в уравнение (1) и находим из него значение S_А:

S_А= 42*0,259+28*0,707+21,51*0,259=36,24 кН.

Окончательно S_A =36,24 кН, S_с=21,51 кН; знаки указывают, что оба стержня растянуты.

2 Графическое решение

Выбираем масштаб сил , тогда силы будут откладываться отрезками ; .

Из произвольно выбранной точки 0 откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы . Из конца этого отрезка откладываем отрезок . Так как условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника, то из начала отрезка откладываем линию, параллельную вектору , а из конца отрезка откладываем линию, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рисунок 3).

Рисунок - 3

Измеряя отрезки и и, умножая их на масштаб находим значения S_А и S_С:

;

.

Вычислим допущенную при графическом способе решения ошибку:

(Ошибка находится в пределах 2%).

Ответ:

а) аналитическое решение:

б) графическое решение:

«Определение реакции опор двухопорной балки»

Рекомендуемая последовательность решения задания 2

1. Балку освободить от связей (связи) и их (его) действие заменить силами реакций.

2. Выбрать координатные оси.

3. Составить и решить уравнения равновесия.

Реакции опор можно определить, исходя из трех форм уравнений равновесия:

а) å F_кх = 0; б) å F_кх = 0; в) åМ_А = 0;

å F_ку = 0 åМ_А = 0; åМ_В = 0;

åМ_А = 0; åМ_В = 0; åМ_С = 0.

4. Проверить правильность решения задачи. Проверку необходимо производить по тому уравнению равновесия, которое не было использовано при решении данной задачи. (задача решена правильно лишь в том случае, если после постановки значений активных и реактивных сил в уравнение равновесия выполняется условие равновесия).

5. Сделать анализ решенной задачи (если при решении задачи реакции опор или реактивный момент получается отрицательным, то их действительное направление противоположно принятому).

ПРИМЕР 2 Определить опорные реакции двухопорной балки в соответствии с рисунком 1, если:

F₁ = 8 кН; F₂ = 10 кН; q = 0,4 кН/м; М = 5 кН×м; а = 1,5 м; в = 2 м; с = 2 м.

Рисунок 1

Решение

1. Освобождаем балку от связей (опор), заменив их опорными реакциями.

2. Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3. Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия

åМ_А= 0; åМ_В = 0.

R_в =

R_в =

R_А =

R_A =

Значение реакции опоры В получено со знаком «минус». Это означает, что R_В направлена вертикально вниз.

4. Проверка правильности найденных результатов

å F_ку = R_А – F₁ – q b + F₂ + R_В = 0

å F_ку = 5,37 – 8 – 0,4 ∙ 2 + 10 – 6,57 = 0

5. Условие равновесия å F_ку = 0 выполняется, следовательно, реакции опор R_А и R_В найдены верно.

«Центр тяжести»

Рекомендуемая последовательность решения задания 3

а) в соответствии с заданием начертить чертеж фигуры сложной формы в масштабе М_L = 1мм /мм и проставить ее размеры

б) провести оси координат так, чтобы они охватывали всю фигуру;

в) разбить сложную фигуру на простые части, определить площадь и координаты центра тяжести каждой простой фигуры относительно выбранной системы координат;

г) вычислить координаты центра тяжести всей фигуры аналитическим способом.

Координаты центра тяжести всей фигуры Х _с и У_с определяют по формулам:

где Х ₁, Х ₂….Х _k - расстояние от оси У до центра тяжести простой фигуры, мм;

У ₁, У ₂….У _k - расстояние от оси Х до центра тяжести простой фигуры, мм;

А ₁, А ₂….А _k - площадь простой фигуры, мм ².

Если сложная фигура имеет отверстие в виде геометрических фигур, то эти площади необходимо ввести в формулу со знаком «минус». Этот метод называется методом отрицательных площадей.

д) показать на чертеже центр тяжести плоской фигуры С.

ПРИМЕР 3 Определить положение центра тяжести сложной плоской фигуры.

Рисунок 1

Решение

1. Проводим систему координат хОу.

2. Сложную фигуру разбить на простые. Ее можно разбить на три простые фигуры:

1 – прямоугольник;

2 – круг;

3 – треугольник.

3. Определение площадей и координат центров тяжести каждой простой фигуры относительно выбранной системы координат;

х ₁ = = 15,5 см; у ₁ = 0;

А₁ = 31× 12 = 372 см²;

х ₂ = 8 см; у₂ = 0;

А₂ = - ; А₂ = - = - 78,5 см²,

знак «минус» показывает, что это площадь отверстия.

х ₃ = 13 + = 13 + 8 = 21 см; у₃ = 0;

А₃ = - = - 54 см²,

знак «минус» у площади показывает, что это площадь отверстия.

4. Определение координат центров тяжести всей фигуры.

; .

Ответ: Координаты центра тяжести плоской фигуры С:

.

«Простейшие движения твердого тела»