ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ ПО ПРОЕКТАМ

Словесная формулировка. Имеется

поставщиков А ₁, А ₂, …, А_m некоторого однородного грузас запасами a ₁, a ₂,…, a_m соответственно. Имеется

потребителей B ₁, B ₂,…, B_n этого груза c заявками b ₁, b ₂,…, b_n. Заданы тарифы перевозок

, означающие стоимости перевозки единицы груза от A_i к B_j; кроме того, заданы штрафные тарифы

, означающие издержки, вызываемые каждой единицей невывезенного груза поставщиков

, а также штрафные тарифы

, означающие издержки, вызываемые каждой единицей недопоставленного груза потребителям

. Требуется составить такой план перевозки грузов, при котором: 1) объемы вывозимых грузов не превышают запасы поставщиков; 2) объемы поставок не превышают заявки потребителей; 3) суммарные издержки всех перевозок минимальны.

Формальная постановка. Используя введенные обозначения, имеем:

Задача 2.1. Имеется пять поставщиков и пять потребителей некоторого груза. Стоимости перевозки единицы груза с_ij от i -го поставщика к j -му потребителю, данные о возможностях поставщиков и запросах потребителей, а также штрафы за недопоставку/невывоз каждой единицы груза, представлены в следующих таблицах:

Каждый поставщик заинтересован поставить весь имеющийся у него груз, каждый потребитель – максимально удовлетворить свои потребности. Составить оптимальный план перевозок с минимальной стоимостью.

Решение: 1) переписываем «возможности поставщиков» в столбец как «запасы»;

2) переписываем «запросы потребителей» как «потребности»

3) подсчитываем (в ячейках В9 и I2) суммарные запасы и суммарные потребности, определяя после этого тип задачи (закрытая, на избыток или на недостаток);

4) подсчитываем кол-во вывезенного (В18:В22), привезенного (D16:H16) груза, остатки у поставщиков (J18:J22) и недопоставки у потребителей (D24:H24);

5) подсчитываем издержки (B13; D13; F13; H13); 7) вызываем «Поиск решения» и решаем задачу:

Задача 2.2. Для строительства 4-х объектов используется кирпич, изготовляемый на трех заводах. Ежедневно на заводе1, заводе2 и заводе3 может изготовляться соответственно 100, 150 и 50 тыс. шт. кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов равны 75, 80, 60 и 85 тыс. шт. Известны также тарифы перевозок 1 тыс. шт. кирпича с каждого завода к каждому из строящихся объектов:

Составить такой план перевозок кирпича к строящимся объектам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Чему она равна? Ответ: F _min=665 при X ^*=

Задача 2.3. В трех хранилищах горючего хранится 175, 125 и 140 тонн бензина. Этот бензин запрашивают четыре заправочные станции в количествах, равных соответственно 180, 110, 60 и 40 тонн. Тарифы перевозок 1 тонны бензина с хранилищ к заправочным станциям заданы в таблице

Составить такой план перевозки бензина, при котором общая стоимость перевозок является минимальной, а все заправочные станции получают столько, сколько запрашивают. Штрафы за недопоставку и за невывоз бензина равны нулю.

Задача 2.4. На трех мелькомбинатах объединения «Мука» ежедневно производится 110, 190 и 90 тонн муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 тонн. Тарифы перевозок 1 тонны муки с мелькомбинатов к каждому из хлебозаводов известны и задаются матрицей

Составить такой оптимальный план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Задача 2.5. Заводы автомобильной фирмы MG расположены в Лос-Анджелесе, Детройте и Новом Орлеане. Основные центры распределения продукции сосредоточены в Денвере и Майами. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1500 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одного автомобиля на одну милю равняется 8 центам. Расстояние в милях между заводами и центрами распределения приведены в таблице:

Составить такой план перевозок автомобилей в центры распределения, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Чему она равна? Ответ: F _min=31320000 при X ^*=

Задача 2.6. Заводы фирмы расположены в городах Лидсе и Кардиффе; они доставляют товары на склады городов Манчестер, Бирмингем и Лондон. Расстояния (в милях) между этими городами приведены в таблице:

Завод в Лидсе выпускает в год 800 т. товаров, а в Кардиффе - 500 т. Манчестерский склад вмещает 400 т., Бирмингемский - 600 т., а Лондонский - 300 т. Стоимости перевозки единицы товара на единицу расстояния равны по любым направлениям. Как следует транспортировать товары для минимизации стоимости перевозок?

Требуется составить оптимальный план выпуска автобусов на смену с тем, чтобы суммарное число автобусов, работающих в сутки, было бы минимально.

Решение. Обозначим:

число автобусов, выходящих на линию в 0 часов;

число автобусов, выходящих на линию в 4 часа;

число автобусов, выходящих на линию в 8 часов;

число автобусов, выходящих на линию в 12 часов;

число автобусов, выходящих на линию в 16 часов;

число автобусов, выходящих на линию в 20 часов. Тогда математическая формулировка задачи принимает вид задачи линейного программирования:

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ ПО ПРОЕКТАМ

Словесная формулировка. Имеется ряд проектов, намеченных к реализации в течение некоторого периода. По каждому проекту задан график возврата средств, выделяемых на его реализацию, представленный в виде последовательности коэффициентов возврата, выражающих собой долю взятого кредита, которую необходимо вернуть кредитору в указанное время. Требуется найти распределение средств по проектам, приносящее максимальный доход за инвестиционный период. Для решения таких задач используются линейные динамические модели.

Формальная постановка. Пусть инвестиционный период разбит на m временных интервалов, следующих непосредственно один за другим;

– объем инвестиций в j -й проект и их предельное значение соответственно;

коэффициент возврата этих инвестиций в начале i -го интервала. Пусть средства инвестора хранятся в банке с коэффициентом доходности k_i за i -й интервал. Тогда остатки

на банковском счете инвестора в начале и конце i -го периода будут равны:

где H – величина средств инвестора в начале инвестиционного периода.

Остатки на начало m -го интервала следует максимизировать:

Соотношение (1.1) вместе с рекуррентными соотношениями (1.2), описывающими динамику изменения средств инвестора, условиями

, представляют формальную постановку задачи.

Задача 1.1. Компания, желая оптимальным образом использовать имеющиеся у нее денежные средства, разрабатывает оптимальный план инвестиций на ближайшие пять лет. На выбор у компании имеется пять инвестиционных проектов, параметры денежных потоков которых представлены в следующей таблице

Участие в инвестиционном проекте «С» обязательное и требует не менее 6,9 млрд. руб., а проект «В» не допускает инвестиций более 6,2 млрд. руб. Размер имеющихся у компании денежных средств на момент планирования инвестиций составляет 14 млрд. руб.

Определить размеры инвестиций в каждый проект, обеспечивающие максимальную отдачу.

Решение. В соответствиис формализацией (1.1)-(1.2) остатки

на банковском счете инвестора в начале и конце i -го года будут равны:

Остатки в конце периода следует максимизировать:

Добавляя условия

, получаем и решаем задачу с помощью надстройки «Поиск решения» Excel:

1) отводим блок ячеек под искомые размеры инвестиций (ячейки B10:F10 на шаблоне, рис.1 ниже);

2) считаем обороты (G3:G7) и остатки денег (H3:H7) на р/с компании для каждого года;

3) ставим задачу в «Поиске решения» и решаем ее.

Задача 1.2. Представители пяти проектов конкурируют между собой за получение кредита. Графики потока платежей погашения кредитов представлены в таблице:

Например, проект А стартует в начале первого года сразу после получения кредита; в начале второго года возвращает инвестору 0,3 от всей взятой суммы; в начале третьего года (момент окончания проекта) взятые деньги возвращаются с коэффициентом 1. Проект В аналогичен проекту А, но начинается на год позже. И так далее. Доходы, полученные от текущих проектов, можно направить в другие. Средства инвестора хранятся на банковском счете с доходностью 6% годовых. Максимальная сумма, требуемая для проекта А, равна 500 у.е. По другим проектам объем вложений не ограничен. В начальный момент у инвестора имеется 1000 у.е. Найти оптимальные объемы инвестиций в проекты, обеспечивающие максимальный доход инвестора к началу 4-го года периода.

Решение. В соответствиис формализацией (1.1)-(1.2) остатки

на банковском счете инвестора в начале и конце i -го года будут равны:

Остатки на начало 4-го года периода следует максимизировать:

Добавляя условия

; получаем задачу и решаем ее с помощью надстройки «Поиск решения» Excel:

Задача 1.3. Инвестор, располагающий суммой в 500 тыс. евро, желает максимизировать денежную наличность к концу шестимесячного периода. Характеристики возможных инвестиций даны в таблице.

Доход по каждому виду инвестиций в конце срока с процентами, указанными в таблице. С начала 5-го месяца до начала 7-го инвестору необходимо иметь на руках не менее 300 тыс. евро. Каков максимальный доход к концу шестимесячного периода?

Задача 1.4. Инвестор, располагающий суммой в 500 тыс. евро, желает максимизировать денежную наличность к началу 4-го года периода. Имеется таблица с коэффициентами возврата по каждому из пяти возможных вариантов инвестиций:

Определить оптимальный план инвестиций. Чему будет при этом равен инвестиционный доход D?

Задача 1.5. Инвестор, располагающий суммой в 500 тыс. евро, желает максимизировать денежную наличность к началу 4-го года периода. Имеется таблица с коэффициентами возврата по каждому из пяти возможных вариантов инвестиций:

С учетом рисков на каждый из вариантов решено направить не менее 100 тыс.евро. Чему будет при этом равен инвестиционный доход при оптимальном инвестировании?

Словесная формулировка. Имеется

поставщиков А ₁, А ₂, …, А_m некоторого однородного грузас запасами a ₁, a ₂,…, a_m соответственно. Имеется

потребителей B ₁, B ₂,…, B_n этого груза c заявками b ₁, b ₂,…, b_n. Заданы тарифы перевозок

, означающие стоимости перевозки единицы груза от A_i к B_j; кроме того, заданы штрафные тарифы

, означающие издержки, вызываемые каждой единицей невывезенного груза поставщиков

, а также штрафные тарифы

, означающие издержки, вызываемые каждой единицей недопоставленного груза потребителям

Формальная постановка. Используя введенные обозначения, имеем:

Решение: 1) переписываем «возможности поставщиков» в столбец как «запасы»;

2) переписываем «запросы потребителей» как «потребности»

5) подсчитываем издержки (B13; D13; F13; H13); 7) вызываем «Поиск решения» и решаем задачу:

Составить такой оптимальный план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: