Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Один корень несколько корней





 
 


1 x3 - 4*x2 - x + 1 0 ... 1 -2 ... 6

2 2*x3 - 6*x2 - x - 1 -1 ... 0 -1 ... 4

3 x - 2 + 4*SIN(x) 0 ... 1 0 ... 7

4 x2 - LN(1+x) - 3 -0.9 ... 1 -0.9 ... 3

 

 

В общем случае уравнение F(x) = 0 решается итерационными методами.

 

Метод итераций (повторений) основан на расчете значения переменной по рекуррентным формулам. Общая итерационная формула имеет вид:

 

xi = Fi(xi-1);где i = 1, 2, . . . , m; x0 - начальное приближение.

 

Для сходимости итерационной схемы должно выполняться условие:|dFi(x)/dx|< 1;

В случае линейной итерационной схемы xi = xi-1 - Ki-1*F(xi-1);

Коэффициент Ki-1 зависит от выбранной схемы и может существенно повлиять на количество итераций, необходимых для получения решения с заданной точностью.

Получим итерационную формулу для расчета корня из числа "a", т. е. x= Öa;

 

(x- Öa)2 = x2 - 2*x* Öa + a =0; откуда Öa = (x + a/x)/2; где a > 0.

 

полагая Öa = xi; и x = xi-1; получаем: xi = (xi-1 + a/xi-1)/2;

n

В более общем виде для x =Öa; xi = ((n-1)*xi-1 + a/(xi-1)(n-1))/n;

Практическое задание N 2. 29

Составить функцию

1_1. Итерационного расчета корня n-ой степени из положительного числа "a".

1_2. Итерационного расчета корня уравнения: x= Ln(A+x); при x>0; A>1;

1_3. Итерационного расчета корня уравнения: x= Arctg(x); при x<>0;

 

Аппроксимация по методу наименьших квадратов

 

Y Y(x) * * *  
 
 


0 X

 

Пусть для некоторых значений аргумента "хi" известны значения "yi". Функция "Y", значения которой Y(xi) можно использовать вместо "yi", называется аппроксимирующей функцией. Как правило, аппроксимация применяется для получения функциональной зависимости, описывающей экспериментально полученные значения "yi" при различных "хi".

 

Рассмотрим разработанный Гауссом метод наименьших квадратов, при котором получается наилучшее приближение функции Y(xi) к значениям yi.



Метод заключается в аппроксимации "N" значений "yi" полиномом степени "m":

Y(x) = A0 + A1 * x + A2 * x2 + . . . + Am * xm для которого сумма квадратов отклонений Di = Y(xi)-yi минимальна. Коэффициенты A0, A1, A2, . . . , Am находятся при решении системы уравнений: ¶S/¶A0=0; ¶S/¶A1=0; ¶S/¶A2=0; . . . ¶S/¶Am=0;

где S = D12 + D22 + D32 + . . . + DN2;

 

В случае аппроксимации линейной функцией Y(x)= A0 + A1*x; для определения коэффициентов A0 и A1 необходимо решить систему двух уравнений:

 

N*A0 + [X]*A1 = [Y]; [X]*A0 + [X2]*A1 = [XY];

 

где [X]= x1 + x2 + x3 + ... + xN; [X2]= x12 + x22 + x32 + ... + xN2;

[Y]= y1 + y2 + y3 + ... + yN; [XY]= x1*y1+ x2*y2+ x3*y3+...+ xN*yN;

Решая систему, получаем:

 

A0 = ([XY]*[X]-[Y]*[X2])/([X]*[X] - N *[X2]);

A1 = ([X] *[Y]-[XY]*N) /([X]*[X] - N *[X2]);

 

 

Практическое задание N 2. 30

 

1. Составить процедуру линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов массива значений, полученных экспериментально в шести сериях по 10 замеров согласно зависимости:

 

1. 1. yi= A + B*xi + 0. 5-Random; где A=10; B=3; C=2; xi=8*i;

 

1. 2. yi= A + sin(xi)*Random; где A=15; xi=i; где i=1, 2, . . . , 6.

 

Нарисовать график функции Y(x) = A0 + A1*x; и экспериментальные точки yi.

 

 

Численный расчет интегралов

 

 

Вычисление определенного интеграла исторически обусловлено задачей расчета площадей различных фигур. Согласно “теореме о среднем” определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке "xi" этого отрезка:

b f(xi)

S = ò f(x)*dx =(b-a)*f(xi); a <= xi <= b,

a

a xi b

где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования.

Таким образом, определенный интеграл равен площади прямоугольника с основанием длиной "b-a" и высотой "f(xi)". Здесь значение xi, а значит и f(xi) неизвестно. Однако, если отрезок интегрирования разбить на много малых отрезков "dxi", в которых значение функции f(xi) можно принять постоянным, то

b

S = ò f(x)*dx = f(x1)*dx1 + f(x2)*dx2 + f(x3)*dx3 + ... + f(xN)*dxN;

a

 

где dx1 + dx2 + dx3 + . . . + dxN = b - a;

 

Вычисление определенного интеграла по приведенной выше формуле называется численным интегрированием. Численное интегрирование применяют при решении различных задач, например: при определении площадей сложных геометрических фигур, определении работы сил, расчете длины траектории точки и в других случаях, когда подынтегральная функция "f(x)"задана по точкам, имеет сложное аналитическое выражение или ее первообразная не определяется аналитически. Сущность численных методов интегрирования состоит в различной замене (интерполяции) сложной подынтегральной функции на малых отрезках простой функцией, либо в представлении подынтегральной функции в виде сходящегося бесконечного ряда.

Рассмотрим методы численного интегрирования, основанные на интерполяции подынтегральной функции на малых отрезках равной длины различными видами функций: постоянной, линейной, квадратичной и кубической. Формулы численного интегрирования, получаемые при различных интерполяциях подынтегральной функции, называются квадратурными.

При равномерном разбиении отрезка [a, b] на "N" малых отрезков (интервалов) необходимо определять значения функции "f(xi)" в "M" точках внутри отрезка [a, b].

 

Метод прямоугольниковоснован на интерполяции функции на малом отрезке постоянным значением. Кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют горизонтальной линией, пересекающей кривую в середине отрезка, при этом M=N. Интеграл вычисляется по формуле:

 

S1 = f1 * h; - на одном отрезке.

S =( f1 + f2 + ... + fM )*h; - на M отрезках.

 

Здесьfi = f(xi); h = (b-a)/N; xi = a - h/2 + h*i; i = 1, 2, . . . ,

 

 

Y Y Y Y

f (x) f (x) f (x) f(x)

               
 
     
       
 
 
 

 

 


a x1 x2 x3 b X a x1 x2 b X a x1 x2 x3 b X a x1 x2 x3 x4 x5 b X

 

Метод трапеций состоит в том, что кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют отрезком прямой, соединяющим точки кривой f(x) на краях этого интервала, при этом M=N-1. Интеграл вычисляется по формуле:

 

S1 =((fa + fb)/2)* h;- на одном отрезке.

S = ((fa + fb)/2 + f1 + f2 + ... + fM )*h;- на N отрезках.

Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/N; xi = a + h*i;i = 1, 2, . . . , M.

 

Метод Симпсона основан на интерполяции функции на малом отрезке квадратичной параболой, проходящей через крайние и среднюю точки кривой f(x). При этом M=2*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:

 

S1 =((fa + 4*f1 + fb)/3)* h- на одном отрезке.

S=(fa+fb+ 2*(f2+f4+...+fM-2)+ 4*(f1+f3+...+fM-1))*h/3; - на N отрезках.

Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/(2*N); xi = a + h*i; i = 1, 2, . . . , M.

 

Метод "трех восьмых" основан на интерполяции функции на малом отрезке кубической параболой, проходящей через крайние и две равноотстоящие по "x" точки кривой f(x). При этом M=3*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:

 

S1 =((fa + 3*(f1+f2) + fb)*3/8)* h- на одном отрезке.

S = (fa+fb+ 2*(f3+f6+...+fM-3)+ 3*(f1+f2+...+fM-1))*3*h/8; - на N отрезках.

Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/(3*N); xi = a + h*i; i = 1, 2, . . . , M.

Операторы для вычисления интеграла в этом случае имеют вид:

 

m:= 3*n-1; h:= (b-a)/(3*n); s:= f(a) + f(b);

for i:=1 to m do begin

x:= a+h*i; if i mod 3 = 0 then S:= S+2*f(x) else S:= S+3*f(x)

end;

S:= 3/8*S*h;

Отметим, что методы прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, формулы Симпсона и "трех восьмых" - для многочленов третьей степени.

 

Практическое задание N 2. 31

 

1. Рассчитать определенные интегралы с заданной погрешностью двух последовательных приближений от функций: f(x) = sin(x); на интервале [0. . pi], и f(x) = cos(x); на интервале [-pi/2 . . pi/2]. Сравнить результат с точным значением интеграла от функции.

2. Показать на примерах точность квадратурных формул при n=1. Например: метод прямоугольников и трапеций для f( x) = x+5; на интервале [ 1. . 3], формулы Симпсона и "трех восьмых" - для f( x) = x3/4 + 1; на интервале [ 0. . 4].

 

Можно построить квадратурные формулы, точные для многочленов k -ой степени. С помощью замены переменных x= (b-a)*u/2 + (a+b)/2; и V(u) = (b-a)*f(x)/2; получаем:

b 1

S = ò f(x)*dx = ò V(u)du = A1*V1 + A2*V2 + A3*V3 + ... + AM*VM ;

a -1

 

где Vi = V(ui); Такого вида формулы получены Чебышевым и Гауссом. Для различных значений "M" (числа точек интегрирования) приводятся таблицы данных для коэффициентов "Ai" и аргументов "ui". В формуле Чебышева A1=A2=A3=... =AM=2/M.Формула Чебышева точна для многочленов M -ой степени (при четных M - для многочленов M+1 -ой степени), формула Гаусса - для многочленов 2*M-1 -ой степени. Приведем данные для M=3 и M=6.

 
 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.