Теоремы сложения и умножения вероятностей

Объединением (суммой) событийA₁, A₂, ..., A_n называется событие A, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается одним из следующих способов

A = A₁ A₂ ... A_n º A₁ + A₂ + ... + A_n.

Пример. В урне 6 шаров, которые отличаются лишь номером i, . Событие A_i - наугад выбрать шар под номером i. Событие A = A₁ + A₃ + A₅ состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3 или 5, т.е. с нечетным номером.

Пересечением (произведением) событийA₁, A₂, ..., A_n называется событие B, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий. Обозначается пересечение событий так

Пример. В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая черных с такими же номерами. Пусть A - "вынуть белый шар", B - " вынуть шар с нечетным номером. Тогда событие

C = AּB

означает " выбрать белый шар с нечетным номером".

События называются совместными, если они могут происходить одновременно. Несовместные события - это такие, которые не могут происходить одновременно.

Пример совместных событий:

А - "сегодня вторник",

В - "сегодня на улице идет дождь".

Пример несовместных событий:

D - "сейчас месяц сентябрь",

Е - "сейчас месяц декабрь".

А + В - "сегодня или вторник или на улице идет дождь",

D + T - "сейчас или сентябрь или декабрь".

Сформулируем основные теоремы.

Теорема 1. (сложение несовместных событий).

Если А и В - несовместные события, то

. (33)

Теорема 2. (сложение совместных событий).

Если А и В - совместные события, то

. (34)

В последней теореме встречается произведение событий АВ, которое означает одновременное наступление и события А и события В.

Например, если

А - "сегодня вторник",

В - "сегодня на улице идет дождь",

то событие АВ состоит в том, что "сегодня вторник и на улице идет дождь".

События А и В называются независимыми, если появление одного события не влияет на появление другого события. В приведенном выше примере события А и В - независимы.

События называются зависимыми, если появление одного события влияет на появление другого события.

Пример зависимых событий:

С - "сейчас март месяц",

F - "сегодня Международный женский день".

Для решения задач на нахождение вероятности произведения событий следует пользоваться следующими двумя теоремами:

Теорема 3. (умножение независимых событий).

Если А и В - независимые события, то

. (35)

Теорема 4. (умножение зависимых событий).

Если А и В - зависимые события, то

. (36)

В последней теореме встречается условное событие В|А, которое означает наступление В, при условии, что событие А уже наступило.

Например, если события

С - "сейчас март месяц",

F - "сегодня Международный женский день",

то

,

.

Воспользуемся теоремами 1 - 4 и формулами (33) - (36) для решения следующих задач:

Задача 1. Два охотника стреляют по одной мишени и имеют вероятности попадания 0,7 и 0,8 соответственно. Оба сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что

а) в мишени ровно две пробоины,

б) в мишени хотя бы одна пробоина,

в) в мишени ровно одна пробоина?

Решение.

Введем обозначения: событие А - попал первый охотник, - первый охотник промахнулся, В - попал второй охотник, - второй охотник промахнулся, С - в мишени ровно две пробоины, D - в мишени хотя бы одна пробоина, Е - в мишени ровно одна пробоина. Очевидно, что

С = АВ, D = А + В, Е = A + B.

Действительно, событие С состоит в том, что произошло и событие А, и событие В одновременно, то есть произошло произведение событий АВ. Событие D состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В, то есть сумма событий А + В, и, наконец, событие С состоит в том, что А произошло а В нет или В произошло а А нет. Учитывая, что А и В независимые события (вероятность попадания одного из охотников не зависит от того попал другой или нет) и вероятности противоположных событий равны

Р ( ) = 1 - Р(А) = 0,3 и Р ( ) = 1 - Р(В) = 0,2 , получаем

Р(С) = 0,7´0,8 = 0,56 ,

Р(D) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7х0,8 = 0,94 ,

Р(Е) = Р(А)Р( ) + Р( )Р(В) = 0,7х0,2 + 0,3х0,8 = 0,38.

Задание 10. Формула полной вероятности и формула Байеса

Теорема. Если событие А может наступить только совместно с появлением одного из событий некоторой полной группы несовместных событий (события этой группы называются гипотезами), то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

(34)

Или, кратко: , (34*)

где - вероятность гипотезы , - условная вероятность события А при условии осуществления гипотезы .

Задача 2. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, а вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

в) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой машиной?

Решение.

а) Обозначим за событие – болт сделан на первой машине, за событие – болт сделан на второй машине, за событие – болт сделан на третьей машине. Тогда:

– вероятность того, что болт сделан на первой машине. Соответственно .

Пусть событие А – болт бракован, тогда – вероятность, что брак выпущен первой машиной, соответственно .

Р(А) = 0,25 · 0,05 + 0,35 · 0,04 + + 0,40 · 0,02 + 0,0125 + 0,014 + 0,008 = 0,0345.

б) – вероятность того, что дефектный болт произведен первой машиной вычисляется по формуле Байеса, которая позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как стало известно, что событие А наступило, т.е.:

. (35)

В нашем случае: .

Задание 11. Независимые испытания. Формула Бернулли

Пусть проводится п независимых испытаний (т.е. исход в каждом из испытаний не зависит от исходов в других испытаниях), вероятность появления события А в каждом из них неизменна и равна р. Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие А появится ровно т раз определяется формулой Бернулли:

= , где . (36)

Задача 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми, если ничьих не бывает?

Решение.

Для равносильных противников вероятность выигрыша (проигрыша) одинакова, то есть .

а) Вероятность выигрыша m партий из n , т.е. задается формулой Бернулли

В первом случае n=4, m=3. Следовательно, вероятность выиграть три партии из четырех

.

Когда n=8, а m=5, то

.

Следовательно, .

б) Вероятность выиграть не менее трех партий есть сумма вероятностей выиграть три или четыре партии из четырех, так как эти события несовместны, то

.

(Напомним, что 0!=1).

Аналогично, вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми

То есть, .

Следовательно, выиграть не менее пяти партий из восьми вероятнее.

Задание 12. Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина - это переменная величина, которая принимает дискретные (отделенные друг от друга) значения “случайным образом”, т.е. принятие каждого из допустимых значений является случайным событием.

Пусть дискретная случайная величина Х принимает возможные значения х₁, х₂, х₃,... В результате опыта случайная величина принимает одно и только одно из этих значений, другими словами произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: . Обозначим вероятность этих событий буквами р с соответствующими индексами: . Так как указанные события образуют полную группу, то сумма вероятностей появления возможных значений случайной величины равна 1: .

Обычно закон распределения дискретной случайной величины Х задается в виде таблицы, где в первой строчке стоят возможные значения случайной величины (х₁, х₂, х₃,...), а во второй - вероятности с которыми принимаются эти значения (р₁, р₂, р₃,...):

С помощью таблицы распределения можно найти вероятность попадания дискретной случайной величины в заданный интервал.

Существенные особенности случайных величин можно описать некоторыми числовыми параметрами, которые называются числовыми характеристиками, важнейшими из которых являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Числовые характеристики случайной величины имеют вполне определенный смысл. Так, например, математическое ожидание М(Х) - это теоретическое среднее значение случайной величины, дисперсия D(X) - мера рассеяния (разброса, колебаний, вариации) значений случайной величины около среднего значения. Если случайная величина имеет размерность, то математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ее имеют ту же размерность, а размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение находятся по формулам:

.

Пример:

Написать закон распределения числа выпадений герба при 2-х подбрасываниях монеты. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выпадений герба.

Запишем закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба:

	1/4	1/2	1/4

так как

- вероятность, что оба раза герб не выпадет,

- вероятность, что один раз выпадет герб,

- вероятность, что оба раза выпадет герб.

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выпадений герба:

,

,

.

Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал определяется по тем ее значениям, которые попадают в этот интервал, затем по теореме сложения вероятностей несовместных событий суммируются соответствующие вероятности.

Задание 13. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения вероятности

Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Вероятность события Х<x (где Х - значение непрерывной случайной величины, а х – произвольное задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:

. (36)

Производная от этой функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:

. (37)

Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:

. (38)

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:

(39)

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если она определена

на всей числовой оси и имеет плотность

, (40)

где - математическое ожидание; - среднее квадратическое отклонение.

Нормальный закон является наиболее распространенным законом распределения. Ему подчиняются практически все случайные величины, значения которых получаются непосредственным измерением или какими-нибудь линейными преобразованиями измеренных величин.

График нормальной плотности называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Рис. 7. Кривая Гаусса

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал находится по формуле.

, (41)

где - функция Лапласа.

Значение функции Лапласа для различных значений можно найти в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей.

Пример.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15,25).

Решение: Воспользуемся формулой (41). Подставив в нее , получим: .

Задание 14. Математическая статистика. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Совокупность всех объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения, или совокупность всех возможных наблюдений, проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной величиной, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может содержать конечное или бесконечное число элементов.

Отобранные из генеральной совокупности объекты (результаты наблюдений над конечным числом объектов из генеральной совокупности) называется выборочной совокупностью или выборкой. Число N элементов генеральной совокупности или число п элементов выборки называют объемами генеральной и выборочной совокупности соответственно. Обычно .

Пусть в результате проведения в одинаковых условиях независимых опытов получена п значений исследуемой случайной величины Х (выборка объема п). Расположенные в виде таблицы полученные данные

,

где - результат - того опыта, называют простой статистической совокупностью, а величины - вариантами. Последовательность вариант , записанная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

Для каждой варианты определяют частоту - число ее появлений в простой совокупности, а также относительную частоту .

Если получено большое число данных, а в статистике оперируют, как правило, сотнями и тысячами значений, то их преобразуют в так называемый статистический (интервальный) ряд.Для этого весь диапазон полученных значений случайной величины Х разбивают на разряды (интервалы). Для каждого разряда подсчитывают число попавших в него значений из совокупности вариант и относительные частоты .

Выборочной средней называ­ют среднее арифметическое значений выборки. Если все значения выбор­ки х₁, x₂, … ,x_n различны, то или

Если же варианты х₁,x₂,…,x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …,n_k, то выборочное среднее вычисляется по формуле:

. (42)

Для характеристики рассеивания выборочных значений относительно выбо­роч­ного среднего вводится понятие выборочной дисперсии. Выборочной диспер­сией называется среднее арифметическое квад­ратов отклонений наблю­дае­мых значений от выборочного среднего. Если все значения выборки различны, то

. (43)

Если значения выборки имеют соответствующие частоты, то

. (44)

Выборочным средним квадратичным отклонением называется ариф­метический квадратный корень из выборочной дисперсии

Пример:

Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное среднее , выборочную дисперсию .

Выборочное среднее вычисляется по формуле (42):

.

Выборочную дисперсию вычисляем по формуле (44):

Контрольные задания 1 и 2

В контрольную работу № 1 входят задания 1 - 6

В контрольную работу № 2 входят задания 7- 14.

При выполнении контрольной работы на титульном листе указывается:

фамилия, имя, отчество;

номер студенческого билета;

название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.

Номер варианта соответствует последней цифре номера студенческого билета.

К.Р. № 1

НЕЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

1-10, 21-30, 41-50, 61-70, 81-90, 101-110

ЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

11-20, 31-40, 51-60, 71-80, 91-100, 111-120

К.Р. № 2

НЕЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

121-130, 141-150, 161-170, 181-190, 201-210, 221-230, 241-250, 261-272

ЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

131-140, 151-160, 171-180, 191-200, 211-220, 231-240, 251-260, 271-280

Контрольная работа № 1

1-20. Даны координаты точек А₁, А₂, А₃. А₄. Найти:

а) векторы А₁А₂; А₃А₄; А₁А₂ + 0,5А₃А₄

б) длину вектора А₃ А₄

в) угол между векторами А₁А₂ и А₃А₄

21-40. Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения сторон АВ и АС и угол между ними. Сделать чертеж

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: