|
Теоремы сложения и умножения вероятностейОбъединением (суммой) событий A1, A2,..., An называется событие A, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается одним из следующих способов A = A1 Пример. В урне 6 шаров, которые отличаются лишь номером i, Пересечением (произведением) событий A1, A2,..., An называется событие B, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий. Обозначается пересечение событий так Пример. В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая черных с такими же номерами. Пусть A - "вынуть белый шар", B - " вынуть шар с нечетным номером. Тогда событие C = AּB означает " выбрать белый шар с нечетным номером". События называются совместными, если они могут происходить одновременно. Несовместные события - это такие, которые не могут происходить одновременно. Пример совместных событий:
А - "сегодня вторник",
В - "сегодня на улице идет дождь".
Пример несовместных событий:
D - "сейчас месяц сентябрь",
Е - "сейчас месяц декабрь".
А + В - "сегодня или вторник или на улице идет дождь",
D + T - "сейчас или сентябрь или декабрь". Сформулируем основные теоремы. Теорема 1. (сложение несовместных событий). Если А и В - несовместные события, то
Теорема 2. (сложение совместных событий). Если А и В - совместные события, то
В последней теореме встречается произведение событий АВ, которое означает одновременное наступление и события А и события В. Например, если А - "сегодня вторник", В - "сегодня на улице идет дождь", то событие АВ состоит в том, что "сегодня вторник и на улице идет дождь". События А и В называются независимыми, если появление одного события не влияет на появление другого события. В приведенном выше примере события А и В - независимы. События называются зависимыми, если появление одного события влияет на появление другого события. Пример зависимых событий: С - "сейчас март месяц", F - "сегодня Международный женский день". Для решения задач на нахождение вероятности произведения событий следует пользоваться следующими двумя теоремами: Теорема 3. (умножение независимых событий). Если А и В - независимые события, то
Теорема 4. (умножение зависимых событий). Если А и В - зависимые события, то
В последней теореме встречается условное событие В|А, которое означает наступление В, при условии, что событие А уже наступило. Например, если события
С - "сейчас март месяц",
F - "сегодня Международный женский день", то
Воспользуемся теоремами 1 - 4 и формулами (33) - (36) для решения следующих задач: Задача 1. Два охотника стреляют по одной мишени и имеют вероятности попадания 0,7 и 0,8 соответственно. Оба сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что а) в мишени ровно две пробоины, б) в мишени хотя бы одна пробоина, в) в мишени ровно одна пробоина? Решение. Введем обозначения: событие А - попал первый охотник, С = АВ, D = А + В, Е = A Действительно, событие С состоит в том, что произошло и событие А, и событие В одновременно, то есть произошло произведение событий АВ. Событие D состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В, то есть сумма событий А + В, и, наконец, событие С состоит в том, что А произошло а В нет или В произошло а А нет. Учитывая, что А и В независимые события (вероятность попадания одного из охотников не зависит от того попал другой или нет) и вероятности противоположных событий равны Р (
Р(С) = 0,7´0,8 = 0,56, Р(D) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7х0,8 = 0,94, Р(Е) = Р(А)Р( Задание 10. Формула полной вероятности и формула Байеса Теорема. Если событие А может наступить только совместно с появлением одного из событий
Или, кратко: где Задача 2. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, а вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный? в) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой машиной? Решение. а) Обозначим за
Пусть событие А – болт бракован, тогда
б)
В нашем случае: Задание 11. Независимые испытания. Формула Бернулли Пусть проводится п независимых испытаний (т.е. исход в каждом из испытаний не зависит от исходов в других испытаниях), вероятность появления события А в каждом из них неизменна и равна р. Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие А появится ровно т раз определяется формулой Бернулли:
Задача 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми, если ничьих не бывает? Решение. Для равносильных противников вероятность выигрыша (проигрыша) одинакова, то есть а) Вероятность выигрыша m партий из n, т.е. В первом случае n =4, m =3. Следовательно, вероятность выиграть три партии из четырех
Когда n =8, а m =5, то
Следовательно, б) Вероятность выиграть не менее трех партий есть сумма вероятностей выиграть три или четыре партии из четырех, так как эти события несовместны, то
(Напомним, что 0!=1). Аналогично, вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми
То есть, Следовательно, выиграть не менее пяти партий из восьми вероятнее.
Задание 12. Дискретные случайные величины Дискретная случайная величина - это переменная величина, которая принимает дискретные (отделенные друг от друга) значения “случайным образом”, т.е. принятие каждого из допустимых значений является случайным событием. Пусть дискретная случайная величина Х принимает возможные значения х1, х2, х3,... В результате опыта случайная величина принимает одно и только одно из этих значений, другими словами произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: Обычно закон распределения дискретной случайной величины Х задается в виде таблицы, где в первой строчке стоят возможные значения случайной величины (х1, х2, х3,...), а во второй - вероятности с которыми принимаются эти значения (р1, р2, р3,...):
С помощью таблицы распределения можно найти вероятность попадания дискретной случайной величины в заданный интервал. Существенные особенности случайных величин можно описать некоторыми числовыми параметрами, которые называются числовыми характеристиками, важнейшими из которых являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Числовые характеристики случайной величины имеют вполне определенный смысл. Так, например, математическое ожидание М(Х) - это теоретическое среднее значение случайной величины, дисперсия D(X) - мера рассеяния (разброса, колебаний, вариации) значений случайной величины около среднего значения. Если случайная величина имеет размерность, то математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение находятся по формулам:
Пример: Написать закон распределения числа выпадений герба при 2-х подбрасываниях монеты. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выпадений герба. Запишем закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба:
так как
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выпадений герба:
Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал определяется по тем ее значениям, которые попадают в этот интервал, затем по теореме сложения вероятностей несовместных событий суммируются соответствующие вероятности. Задание 13. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения вероятности Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Вероятность события Х<x (где Х - значение непрерывной случайной величины, а х – произвольное задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:
Производная от этой функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:
Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал
Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если она определена
на всей числовой оси и имеет плотность
где Нормальный закон является наиболее распространенным законом распределения. Ему подчиняются практически все случайные величины, значения которых получаются непосредственным измерением или какими-нибудь линейными преобразованиями измеренных величин. График нормальной плотности называют нормальной кривой или кривой Гаусса.
Рис. 7. Кривая Гаусса
Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
где Значение функции Лапласа для различных значений Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15,25). Решение: Воспользуемся формулой (41). Подставив в нее
Задание 14. Математическая статистика. Выборочная средняя и выборочная дисперсия Совокупность всех объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения, или совокупность всех возможных наблюдений, проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной величиной, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может содержать конечное или бесконечное число элементов. Отобранные из генеральной совокупности объекты (результаты наблюдений над конечным числом объектов из генеральной совокупности) называется выборочной совокупностью или выборкой. Число N элементов генеральной совокупности или число п элементов выборки называют объемами генеральной и выборочной совокупности соответственно. Обычно Пусть в результате проведения в одинаковых условиях независимых опытов получена п значений исследуемой случайной величины Х (выборка объема п). Расположенные в виде таблицы полученные данные
где Для каждой варианты Если получено большое число данных, а в статистике оперируют, как правило, сотнями и тысячами значений, то их преобразуют в так называемый статистический (интервальный) ряд. Для этого весь диапазон полученных значений случайной величины Х разбивают на разряды (интервалы). Для каждого разряда подсчитывают число Выборочной средней Если же варианты х1,x2,…,xk имеют соответственно частоты n1, n2, …,nk, то выборочное среднее вычисляется по формуле:
Для характеристики рассеивания выборочных значений относительно выборочного среднего вводится понятие выборочной дисперсии. Выборочной дисперсией
Если значения выборки имеют соответствующие частоты, то
Выборочным средним квадратичным отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии Пример: Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное среднее
Выборочное среднее вычисляется по формуле (42):
Выборочную дисперсию вычисляем по формуле (44):
Контрольные задания 1 и 2
В контрольную работу № 1 входят задания 1 - 6 В контрольную работу № 2 входят задания 7- 14.
При выполнении контрольной работы на титульном листе указывается:
фамилия, имя, отчество; номер студенческого билета; название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.
Номер варианта соответствует последней цифре номера студенческого билета.
К.Р. № 1 НЕЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ 1-10, 21-30, 41-50, 61-70, 81-90, 101-110 ЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ 11-20, 31-40, 51-60, 71-80, 91-100, 111-120 К.Р. № 2 НЕЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ 121-130, 141-150, 161-170, 181-190, 201-210, 221-230, 241-250, 261-272 ЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ 131-140, 151-160, 171-180, 191-200, 211-220, 231-240, 251-260, 271-280 Контрольная работа № 1
1-20. Даны координаты точек А1, А2, А3. А4. Найти: а) векторы А1А2; А3А4; А1А2 + 0,5А3А4 б) длину вектора А3 А4 в) угол между векторами А1А2 и А3А4
21-40. Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения сторон АВ и АС и угол между ними. Сделать чертеж
![]() ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|