|
ИНСТИТУТ БИЗНЕС-КОММУНИКАЦИЙСтр 1 из 4Следующая ⇒ ИНСТИТУТ БИЗНЕС-КОММУНИКАЦИЙ УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ СТУДЕНТОВ БЕЗОТРЫВНЫХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНА МАТЕМАТИКА
Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА
Кафедра математики
МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников 1-го курса по специальностям «Социально-культурный сервис и туризм» (100103) «Связь с общественностью» (030602) «Реклама» (032401)
Составители
В. В. Потихонова А. А. Денисова
Санкт-Петербург
Подписано в печать 00.00.00. Формат 60 Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,1. Тираж 200 экз. Заказ
Отпечатано в типографии СПГУТД 191028, Санкт–Петербург, ул. Моховая, 26 Курс математики по специальностям «Социально-культурный сервис и туризм» и «Связь с общественностью» включает в себя изучение, приведенных ниже разделов и тем.
Раздел 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия 1.1. Понятие вектора, линейные операции с векторами. 1.2. Системы координат на плоскости. Прямая на плоскости, угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Раздел 2 Введение в математический анализ 2.1. Понятие множества. Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Множество вещественных чисел. Абсолютная величина вещественного числа. 2.2. Функция. Простейшие свойства функции. Понятие сложной и обратной функции. Обзор элементарных функций. 2.3. Предел функции и предел последовательности. Некоторые замечательные пределы. 2.4. Непрерывность функции. Односторонние пределы. Точки разрыва.
Раздел 3 Основы дифференциального и интегрального исчисления 3.1. Производная функции, ее геометрический смысл. Правила дифференцирования. 3.2. Таблица производных. Дифференциал функции. Погрешность. 3.3. Формула Тейлора. 3.4. Применение производной к исследованию функций. Признаки возрастания и убывания функций, экстремумы функций. Отыскание наибольших и наименьших значений функций. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. 3.5. Первообразная и неопределенный интеграл. 3.6. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл. 3.7. Геометрические приложения определенного интеграла.
Раздел 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения 4.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. 4.2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные уравнения первого порядка.
Раздел 5 Вероятность и элементы математической статистики 5.1. Случайные события. Алгебра событий. Независимость событий. 5.2. Классическое определение вероятности. Относительная частота события. 5.3. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. 5.4. Независимые испытания. ФормулаБернулли. 5.5. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. 5.6. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. 5.7. Нормальный закон распределения. 5.8. Введение в статистику. Основные предположения, методы отбора. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, полигон, гистограмма. 5.9. Статистическое отыскание числовых характеристик.
ЛИТЕРАТУРА
ТТ.1, 2. – М.: Высшая школа, 1978.
Задание 1. Векторы. Длина вектора. Угол между векторами Даны три точки Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала, то есть в нашем случае это будет:
Для нахождения длины вектора можно воспользоваться формулой:
Угол между векторами
где само скалярное произведение вычисляется через координаты векторов по формуле:
Пример: Пусть даны точки А(1, 2, 3), В(3, 4, 2), С(2, 1, 4). Находим координаты векторов:
Их длины и скалярное произведение:
Вычисляем косинус угла между векторами
что дает значение угла (определяем по таблицам или с помощью калькулятора): .
Задание 2. Прямая на плоскости. Угол между прямыми Даны три точки Рис.1. Треугольник на плоскости Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:
а угол между двумя прямыми АВ и АС найдем, записав соответствующие уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом:
Тогда тангенс угла между указанными прямыми определяется по формуле:
При нахождении тангенса может оказаться, что знаменатель равен нулю, то есть Пример: Пусть даны точки А(1, 2), В(3, 5), С(2, 3). Определим стороны АВ и АС треугольника АВС: Рис.2. Треугольник АВС
Таким образом, угловые коэффициенты прямых соответственно равны: откуда получаем значение тангенса угла А:
а угол определяем по таблицам или с помощью калькулятора:
Аналогичным образом находится уравнение стороны ВС и углы В и С.
Задание 3. Предел функции Для нахождения пределов функции бывает полезной следующая теорема: Теорема. Если при 1. 2. 3. 4. Пример 1 Пусть требуется вычислить следующий предел Так как
то по теореме о пределе частного получаем, что
Если при нахождении пределов возникают неопределенности следующего вида: Для раскрытия неопределенности вида Пример 2 При нахождении предела
мы разделили числитель и знаменатель почленно на наивысшую степень При раскрытии неопределенности вида Пример 3
Здесь мы в числителе и знаменателе выделили множитель
Задание 4. Непрерывность функции и точки разрыва
Функция
то есть, если правый предел функции в той точке равен левому пределу и равен значению функции в точке Если же условие (11) нарушается, то говорят, что функция Пример: Найти точки разрыва функции
Рис.3. Точка разрыва первого рода Естественно, что на интервалах Рассмотрим точку
. Вычислим односторонние пределы
Так как односторонние пределы не совпадают, но конечны, Рассмотрим точку
Задание 5. Производная функции Для нахождения производной функции надо воспользоваться правилами дифференцирования и таблицей производных. Правила дифференцирования: Если
Если
Некоторые формулы из таблицы производных:
Пример: Найти производную функции Воспользуемся формулами (19) и (16): Так как, с учетом формул (15), (17), (18):
то окончательно получаем:
Задание 6. Исследование функции Исследование функции 1. Область определения функции (множество значений х, для которых функция определена); 2. Множество значений функции (множество всех возможных значений у, которые принимает функция); 3. Непрерывность и точки разрыва (указать соответствующие области - см. задание 4); 4. Монотонность (указать промежутки возрастания и убывания функции). Промежутки монотонности можно найти, используя свойство производной, а именно: если производная положительна, то функция возрастает; если производная отрицательна, то функция убывает. 5. Экстремумы функции (указать точки минимума и точки максимума). Точки экстремума можно найти, зная значения производной, а именно: если производная обращается в ноль в точке 6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Для нахождения этих характеристик потребуется знание второй производной
Пример: Исследовать функцию 1. Область определения - вся числовая ось, так как функция определена для любых значений х. 2. Множеством значений функции служит также вся числовая ось, так как функция непрерывна и при 3. Функция является непрерывной и не имеет точек разрыва, так как дифференцируема во всех точках. 4. Для определения интервалов монотонности найдем производную:
Методом интервалов находим, что при 5. Точкой минимума функции является точка Точкой максимума функции является точка 6. Найдем вторую производную:
откуда видно, что при Строим график функции:
Рис.4. График функции
Задание 7. Приложения определенного интеграла С помощью определенного интеграла
можно найти площадь криволинейной трапеции (рис. 5).
При этом для вычисления интеграла надо воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
где Если надо вычислить площадь области, ограниченной кривыми
Значения первообразных можно посмотреть в таблице интегралов.
Таблица основных интегралов и правила интегрирования:
Правила интегрирования:
Пример: вычислить площадь фигуры, ограниченной областью
Находим точки пересечения кривых
Задание 8. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение
связывающее между собой независимую переменную х, искомую (неизвестную) функцию Если данное уравнение можно записать в виде
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция 1) при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения; 2) для любого допустимого начального условия Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция Примеры. Показать, что заданные функции являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений. а) б) а) находим производную заданной функции: б) Сначала находим
Теория вероятностей Задание 9. Непосредственный подсчет вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей При решении задач по теории вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Поэтому остановимся прежде на некоторых понятиях и формулах комбинаторики. Теория соединений (комбинаторика) рассматривает различные наборы (различные множества) элементов, выбранных из некоторого исходного набора этих элементов. Наборы составляются по определенным правилам и называются соединениями. Правило произведения: если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (АВ) в указанном порядке может быть выбрана m х n способами. Правило произведения распространяется на случай трех и более объектов. Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5? Решение. Первую значащую цифру четырехзначного числа можно выбрать 5 способами, вторую, третью и четвертую – 6 способами, следовательно, количество таких чисел по правилу произведения Правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А либо В можно m+n способами. Пример. Пусть а – число, делящееся на 2; b – число, делящееся на 3. Сколькими способами можно выбрать или а или b из множества чисел Решение. Число а можно выбрать двумя способами (2; 4), а число Пусть дано множество, состоящее из п различных объектов. Из него можно выбрать т объектов двумя способами: без возвращения и с возвращением выбранного объекта в исходное множество. Рассмотрим схему выбора без возвращения. 1. Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Обозначение -
Заметим, что: n Пример. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 5 различных цветов? Решение. 2. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяется по формуле:
Пример. Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев? Решение. 3. Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний вычисляют по формуле:
Заметим: Число перестановок и сочетаний связано равенством:
Пример. Алексей хочет пригласить в гости троих из своих 7 друзей. Сколькими способами это можно сделать?
Формула классической вероятности имеет вид:
где Примеры. Воспользуемся формулой (32) для решения следующих задач: Задача 1. В ящике 5 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимают три. Какова вероятность, что среди них два белых и один черный шар? Число всех возможных исходов - это число сочетаний из 9 по 3. Поэтому Число вариантов выбора 2 белых из 4 белых - это число сочетаний из 4 по 2, то есть
и так как каждая пара может выпасть с любым из 4 черных шаров, то число благоприятных исходов равно произведению m = 6x4 = 24. Тогда вероятность события “из ящика взяли 2 белых и 1 черный шар”
Задача 2. На 10 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Наудачу выбирают три карточки и раскладывают их в порядке появления. Какова вероятность, что получится число 120? Поскольку в этом примере важен порядок цифр, то число всех возможных исходов Благоприятный исход только один, поэтому искомая вероятность
Задание 10. Формула полной вероятности и формула Байеса Теорема. Если событие А может наступить только совместно с появлением одного из событий
Или, кратко: где Задача 2. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, а вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный? в) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой машиной? Решение. а) Обозначим за
Пусть событие А – болт бракован, тогда
б)
В нашем случае: Задание 11. Независимые испытания. Формула Бернулли Пусть проводится п независимых испытаний (т.е. исход в каждом из испытаний не зависит от исходов в других испытаниях), вероятность появления события А в каждом из них неизменна и равна р. Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие А появится ровно т раз определяется формулой Бернулли:
Задача 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми, если ничьих не бывает? Решение. Для равносильных противников вероятность выигрыша (проигрыша) одинакова, то есть а) Вероятность выигрыша m партий из n, т.е. В первом случае n =4, m =3. Следовательно, вероятность выиграть три партии из четырех
Когда n =8, а m =5, то
Следовательно, б) Вероятность выиграть не менее трех партий есть сумма вероятностей выиграть три или четыре партии из четырех, так как эти события несовместны, то
(Напомним, что 0!=1). Аналогично, вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми
То есть, Следовательно, выиграть не менее пяти партий из восьми вероятнее.
Задание 12. Дискретные случайные величины Дискретная случайная величина - это переменная величина, которая принимает дискретные (отделенные друг от друга) значения “случайным образом”, т.е. принятие каждого из допустимых значений является случайным событием. Пусть дискретная случайная величина Х принимает возможные значения х1, х2, х3,... В результате опыта случайная величина принимает одно и только одно из этих значений, другими словами произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|