ИНСТИТУТ БИЗНЕС-КОММУНИКАЦИЙ

ИНСТИТУТ БИЗНЕС-КОММУНИКАЦИЙ

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ДЛЯ СТУДЕНТОВ БЕЗОТРЫВНЫХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ

ДИСЦИПЛИНА

МАТЕМАТИКА

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников 1-го курса по специальностям

«Социально-культурный сервис и туризм» (100103)

«Связь с общественностью» (030602)

«Реклама» (032401)

Составители

В. В. Потихонова

А. А. Денисова

Санкт-Петербург

Подписано в печать 00.00.00. Формат 60 84 1/16.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,1. Тираж 200 экз. Заказ

Отпечатано в типографии СПГУТД

191028, Санкт–Петербург, ул. Моховая, 26

Курс математики по специальностям «Социально-культурный сервис и туризм» и «Связь с общественностью» включает в себя изучение, приведенных ниже разделов и тем.

Раздел 1

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Понятие вектора, линейные операции с векторами.

1.2. Системы координат на плоскости. Прямая на плоскости, угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Раздел 2

Введение в математический анализ

2.1. Понятие множества. Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Множество вещественных чисел. Абсолютная величина вещественного числа.

2.2. Функция. Простейшие свойства функции. Понятие сложной и обратной функции. Обзор элементарных функций.

2.3. Предел функции и предел последовательности. Некоторые замечательные пределы.

2.4. Непрерывность функции. Односторонние пределы. Точки разрыва.

Раздел 3

Основы дифференциального и интегрального исчисления

3.1. Производная функции, ее геометрический смысл. Правила дифференцирования.

3.2. Таблица производных. Дифференциал функции. Погрешность.

3.3. Формула Тейлора.

3.4. Применение производной к исследованию функций. Признаки возрастания и убывания функций, экстремумы функций. Отыскание наибольших и наименьших значений функций. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

3.5. Первообразная и неопределенный интеграл.

3.6. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл.

3.7. Геометрические приложения определенного интеграла.

Раздел 4

Обыкновенные дифференциальные уравнения

4.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.

4.2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные уравнения первого порядка.

Раздел 5

Вероятность и элементы математической статистики

5.1. Случайные события. Алгебра событий. Независимость событий.

5.2. Классическое определение вероятности. Относительная частота события.

5.3. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса.

5.4. Независимые испытания. ФормулаБернулли.

5.5. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.

5.6. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

5.7. Нормальный закон распределения.

5.8. Введение в статистику. Основные предположения, методы отбора. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, полигон, гистограмма.

5.9. Статистическое отыскание числовых характеристик.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Высшая математика для экономистов и менеджеров. – Ростов - н/Дону: Феникс, 2004.
2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. –

ТТ.1, 2. – М.: Высшая школа, 1978.

1. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисления. – ТТ. 1, 2. – М.: Наука, 1970-1978.
2. Данко П. Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – Ч. 1, 2 – М.: Высшая школа, 1999–2004.

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1997.

Задание 1. Векторы. Длина вектора. Угол между векторами

Даны три точки , , . Требуется найти векторы , и угол между ними.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала, то есть в нашем случае это будет:

,

.

Для нахождения длины вектора можно воспользоваться формулой:

(1)

Угол между векторами и можно найти из формулы для скалярного произведения векторов:

(2)

где само скалярное произведение вычисляется через координаты векторов по формуле:

(3)

Пример:

Пусть даны точки А(1, 2, 3), В(3, 4, 2), С(2, 1, 4).

Находим координаты векторов:

= (3-1, 4-2, 2-3) = (2, 2, -1);

= (2-1, 1-2, 4-3) = (1, -1, 1).

Их длины и скалярное произведение:

,

,

.

Вычисляем косинус угла между векторами и :

,

что дает значение угла (определяем по таблицам или с помощью калькулятора):

.

Задание 2. Прямая на плоскости. Угол между прямыми

Даны три точки , , на плоскости, являющиеся вершинами треугольника. Требуется написать уравнения сторон треугольника и определить углы треугольника.

Рис.1. Треугольник на плоскости

Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

(4)

а угол между двумя прямыми АВ и АС найдем, записав соответствующие уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом:

(5)

Тогда тангенс угла между указанными прямыми определяется по формуле:

(6)

При нахождении тангенса может оказаться, что знаменатель равен нулю, то есть . Данное обстоятельство говорит о том, что тангенс не определен, а угол между прямыми равен , то есть прямые перпендикулярны.

Пример:

Пусть даны точки А(1, 2), В(3, 5), С(2, 3).

Определим стороны АВ и АС треугольника АВС:

Рис.2. Треугольник АВС

, то есть ,

, то есть .

Таким образом, угловые коэффициенты прямых соответственно равны:

откуда получаем значение тангенса угла А:

,

а угол определяем по таблицам или с помощью калькулятора:

.

Аналогичным образом находится уравнение стороны ВС и углы В и С.

Задание 3. Предел функции

Для нахождения пределов функции бывает полезной следующая теорема:

Теорема.

Если при существуют пределы функций и , то:

1. ; (7)

2. ; (8)

3. , где ; (9)

4. , где - постоянный множитель. (10)

Пример 1

Пусть требуется вычислить следующий предел .

Так как

, а ,

то по теореме о пределе частного получаем, что

.

Если при нахождении пределов возникают неопределенности следующего вида: , , , , , то их надо раскрывать соответствующим образом.

Для раскрытия неопределенности вида при можно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x.

Пример 2

При нахождении предела

мы разделили числитель и знаменатель почленно на наивысшую степень и учли, что дроби стремятся к нулю при .

При раскрытии неопределенности вида при требуется выделить в числителе и в знаменателе дроби множитель , стремящийся к нулю, и сократить дробь на этот общий множитель.

Пример 3

.

Здесь мы в числителе и знаменателе выделили множитель при , на который затем сократили дробь.

Задание 4. Непрерывность функции и точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке выполняется равенство:

,

(11)

то есть, если правый предел функции в той точке равен левому пределу и равен значению функции в точке .

Если же условие (11) нарушается, то говорят, что функция имеет разрыв в точке . В этом случае, если хотя бы один из пределов, правый или левый равен , то точка называется точкой разрыва 2-го рода. Если же оба указанных предела конечны, то точка называется точкой разрыва 1-го рода.

Пример:

Найти точки разрыва функции если

Рис.3. Точка разрыва первого рода

Естественно, что на интервалах , и функция непрерывна, так как представляет собой элементарные функции. Проверке подлежат только точки и .

Рассмотрим точку .

.

.

Вычислим односторонние пределы

,

.

Так как односторонние пределы не совпадают, но конечны, - точка разрыва функции 1-го рода.

Рассмотрим точку .

,

,

.

- точка непрерывности функции, так как в ней выполнено условие непрерывности (11).

Задание 5. Производная функции

Для нахождения производной функции надо воспользоваться правилами дифференцирования и таблицей производных.

Правила дифференцирования:

Если и - дифференцируемые функции, а , то

,	(12)
,	(13)
,	(14)
	(15)

Если и - дифференцируемые функции, то

.

(16)

Некоторые формулы из таблицы производных:

,

(17)

, n – Const,

(18)

	(19)
	(20)

Пример:

Найти производную функции .

Воспользуемся формулами (19) и (16):

Так как, с учетом формул (15), (17), (18):

,

то окончательно получаем:

.

Задание 6. Исследование функции

Исследование функции включает в себя следующие пункты:

1. Область определения функции (множество значений х, для которых функция определена);

2. Множество значений функции (множество всех возможных значений у, которые принимает функция);

3. Непрерывность и точки разрыва (указать соответствующие области - см. задание 4);

4. Монотонность (указать промежутки возрастания и убывания функции).

Промежутки монотонности можно найти, используя свойство производной, а именно:

если производная положительна, то функция возрастает;

если производная отрицательна, то функция убывает.

5. Экстремумы функции (указать точки минимума и точки максимума).

Точки экстремума можно найти, зная значения производной, а именно:

если производная обращается в ноль в точке и при переходе через эту точку меняет знак с "+" на "-" (с "-" на "+"), то в точке функция имеет максимум (минимум);

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Для нахождения этих характеристик потребуется знание второй производной . А именно, интервалы, на которых вторая производная отрицательна (положительна) являются интервалами выпуклости (вогнутости). Точки, в которых вторая производная равна нулю и меняет знак - есть точки перегиба.

Пример: Исследовать функцию .

1. Область определения - вся числовая ось, так как функция определена для любых значений х.

2. Множеством значений функции служит также вся числовая ось, так как функция непрерывна и при неограниченно возрастает, а при стремится к " ".

3. Функция является непрерывной и не имеет точек разрыва, так как дифференцируема во всех точках.

4. Для определения интервалов монотонности найдем производную:

.

Методом интервалов находим, что при функция является возрастающей, так ее производная положительна, а при - функция убывает, так как ее производная отрицательна.

5. Точкой минимума функции является точка , так как производная в ней обращается в ноль, а при переходе через нее меняет знак с "-" на "+".

Точкой максимума функции является точка , так как производная в ней обращается в ноль, а при переходе через нее меняет знак с "+" на "-".

6. Найдем вторую производную:

,

откуда видно, что при функция является вогнутой, так как вторая производная положительна, а при - выпуклой (вторая производная отрицательна); точка - есть точка перегиба.

Строим график функции:

Рис.4. График функции

Задание 7. Приложения определенного интеграла

С помощью определенного интеграла

(21)

можно найти площадь криволинейной трапеции , ограниченной сверху и снизу графиком функции и отрезком оси , а с боков - отрезками прямых и

(рис. 5).

При этом для вычисления интеграла надо воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

,

(22)

где - первообразная для функции , то есть .

Если надо вычислить площадь области, ограниченной кривыми , и ординатами , (рис. 6), то при условии будем иметь

(23)

Значения первообразных можно посмотреть в таблице интегралов.

Таблица основных интегралов и правила интегрирования:

Правила интегрирования:

Пример: вычислить площадь фигуры, ограниченной областью

Находим точки пересечения кривых и , значит , откуда . Следовательно.

Задание 8. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

, (26)

связывающее между собой независимую переменную х, искомую (неизвестную) функцию и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если данное уравнение можно записать в виде , то говорят, что оно разрешимо относительно производной. Это уравнение иногда записывают в виде или в общем виде:

(27)

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функции в этом случае называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция , где С – произвольная постоянная, что:

1) при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения;

2) для любого допустимого начального условия найдется такое значение постоянной , что .

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости .

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , получаемая из общего решения при конкретном значении .

Примеры.

Показать, что заданные функции являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений.

а)

б) .

а) находим производную заданной функции: . Подставляем значения у и в заданное уравнение: . Получено тождество , следовательно, функция является решением уравнения .

б) Сначала находим . Подставим теперь значения у и в данное уравнение: . Получено тождество, следовательно, функция является решением уравнения .

Теория вероятностей

Задание 9. Непосредственный подсчет вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей

При решении задач по теории вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Поэтому остановимся прежде на некоторых понятиях и формулах комбинаторики.

Теория соединений (комбинаторика) рассматривает различные наборы (различные множества) элементов, выбранных из некоторого исходного набора этих элементов. Наборы составляются по определенным правилам и называются соединениями.

Правило произведения: если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (АВ) в указанном порядке может быть выбрана m х n способами.

Правило произведения распространяется на случай трех и более объектов.

Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5?

Решение. Первую значащую цифру четырехзначного числа можно выбрать 5 способами, вторую, третью и четвертую – 6 способами, следовательно, количество таких чисел по правилу произведения .

Правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А либо В можно m+n способами.

Пример. Пусть а – число, делящееся на 2; b – число, делящееся на 3. Сколькими способами можно выбрать или а или b из множества чисел .

Решение. Число а можно выбрать двумя способами (2; 4), а число одним способом (3), тогда по правилу суммы .

Пусть дано множество, состоящее из п различных объектов. Из него можно выбрать т объектов двумя способами: без возвращения и с возвращением выбранного объекта в исходное множество. Рассмотрим схему выбора без возвращения.

1. Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Обозначение - . Число всех возможных размещений находится по формуле:

(28)

Заметим, что: n (n-1) (n-2) ... 2 1 n!; 1!=1; 0!=1.

Пример. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 5 различных цветов?

Решение. .

2. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяется по формуле:

(29)

Пример. Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев?

Решение. .

3. Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний вычисляют по формуле:

(30)

Заметим: - правило симметрии; .

Число перестановок и сочетаний связано равенством:

(31)

Пример. Алексей хочет пригласить в гости троих из своих 7 друзей. Сколькими способами это можно сделать? .

Формула классической вероятности имеет вид:

,

(32)

где - число всевозможных исходов, - число благоприятных исходов.

Примеры.

Воспользуемся формулой (32) для решения следующих задач:

Задача 1. В ящике 5 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимают три. Какова вероятность, что среди них два белых и один черный шар?

Число всех возможных исходов - это число сочетаний из 9 по 3. Поэтому

Число вариантов выбора 2 белых из 4 белых - это число сочетаний из 4 по 2, то есть

,

и так как каждая пара может выпасть с любым из 4 черных шаров, то число благоприятных исходов равно произведению m = 6x4 = 24.

Тогда вероятность события “из ящика взяли 2 белых и 1 черный шар”

.

Задача 2. На 10 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Наудачу выбирают три карточки и раскладывают их в порядке появления. Какова вероятность, что получится число 120?

Поскольку в этом примере важен порядок цифр, то число всех возможных исходов

Благоприятный исход только один, поэтому искомая вероятность

.

Задание 10. Формула полной вероятности и формула Байеса

Теорема. Если событие А может наступить только совместно с появлением одного из событий некоторой полной группы несовместных событий (события этой группы называются гипотезами), то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

(34)

Или, кратко: , (34*)

где - вероятность гипотезы , - условная вероятность события А при условии осуществления гипотезы .

Задача 2. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, а вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

в) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой машиной?

Решение.

а) Обозначим за событие – болт сделан на первой машине, за событие – болт сделан на второй машине, за событие – болт сделан на третьей машине. Тогда:

– вероятность того, что болт сделан на первой машине. Соответственно .

Пусть событие А – болт бракован, тогда – вероятность, что брак выпущен первой машиной, соответственно .

Р(А) = 0,25 · 0,05 + 0,35 · 0,04 + + 0,40 · 0,02 + 0,0125 + 0,014 + 0,008 = 0,0345.

б) – вероятность того, что дефектный болт произведен первой машиной вычисляется по формуле Байеса, которая позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как стало известно, что событие А наступило, т.е.:

. (35)

В нашем случае: .

Задание 11. Независимые испытания. Формула Бернулли

Пусть проводится п независимых испытаний (т.е. исход в каждом из испытаний не зависит от исходов в других испытаниях), вероятность появления события А в каждом из них неизменна и равна р. Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие А появится ровно т раз определяется формулой Бернулли:

= , где . (36)

Задача 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми, если ничьих не бывает?

Решение.

Для равносильных противников вероятность выигрыша (проигрыша) одинакова, то есть .

а) Вероятность выигрыша m партий из n, т.е. задается формулой Бернулли

В первом случае n =4, m =3. Следовательно, вероятность выиграть три партии из четырех

.

Когда n =8, а m =5, то

.

Следовательно, .

б) Вероятность выиграть не менее трех партий есть сумма вероятностей выиграть три или четыре партии из четырех, так как эти события несовместны, то

.

(Напомним, что 0!=1).

Аналогично, вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми

То есть, .

Следовательно, выиграть не менее пяти партий из восьми вероятнее.

Задание 12. Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина - это переменная величина, которая принимает дискретные (отделенные друг от друга) значения “случайным образом”, т.е. принятие каждого из допустимых значений является случайным событием.

Пусть дискретная случайная величина Х принимает возможные значения х₁, х₂, х₃,... В результате опыта случайная величина принимает одно и только одно из этих значений, другими словами произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: . Обозначим вероятность этих событий буквами р с соответствующими индексами:

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: