|
Для специальности «Прикладная математика».Стр 1 из 3Следующая ⇒ Для специальности «Прикладная математика». Часть I. Аналитическая геометрия. ГОМЕЛЬ 2004
Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических методов, в основе которых лежит понятие координат. ГЛАВА 1. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ Понятие вектора Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым квадратом А называется множество A 2 = Бинарным отношением на А называется любое подмножество Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение 1) 2) если ( 3) если (
Теорема. Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.
Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается Пусть заданы направленные отрезки Если направленные отрезки Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка Два направленных отрезка
Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.
Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности. Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.
Векторы Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости. Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается Проекции.
Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным. Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А1. Тогда точка А1 называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α
Пусть теперь задан вектор Тогда вектор а) | б) - | Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора
Если прямая l Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью. Из определения следует, что 0
Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами: 1) 2) 3)
1) 2)
Определение. Векторным произведением двух векторов 1) | 2) 3) векторы
Координаты на прямой.
Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началомкоординат, задан единичный вектор Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор линеарен вектору Так как Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.
Координаты на плоскости.
Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с неколлинеарными ортами Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0, (записывается: М(х,у)). Вектор Афинная система координат (0, Теорема. Пусть
Тогда Следствие 1. Пусть даны точки А (х 1, y 1) и В (х 2, у 2). Тогда Следствие 2. Два вектора
Афинная система координат (0,
Координаты в пространстве.
Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами Точка 0 - начало координат, векторы Так как векторы любого вектора
Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х, у, z)),
Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами. Если упорядоченная тройка векторов В частности, если даны точки А (х 1, у 1, z 1), В (х 2, у 2, z 2), то
Векторы
Полярные координаты.
Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r- полярный радиус, φ- полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями: х = r cosφ, у = r sinφ.
Так как х 2 + у 2 = r 2, то Прямая на плоскости
- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат. В частности, для прямоугольной системы координат (0, k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.
Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению x = a, Р(а,0) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор Пусть прямая l проходит через точку A (а, b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х, у) на прямой l. Тогда
Следовательно, Отсюда y – b = k (x - а) -уравнение прямой с угловым коэффициентом k.
Пучок прямых
Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка. Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l 1 и l 2, проходящие через центр пучка. Пусть в аффинной системе координат прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями l 1: A1 x + B1 y + C1 = 0, l 2: A2 x + B2 y + C2 = 0.
Уравнение: A1 x + B1 y + С + λ (A2 х + В2 y + C) = 0 - уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2. В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.
Угол между двумя прямыми
Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что
cosφ=
Пусть теперь прямые l 1 и l 2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k 1 в k 2 соответственно. Тогда Наконец, если
III ПЛОСКОСТЬ
Общее уравнение плоскости
Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М0(х 0, у 0, z 0). Возьмем произвольную точку М(х, у, z) Очевидно, что Раскроем скобки и обозначим D= -А x 0 - В у 0 - C z 0. Получим
A x + B y + С z + D = 0 (*)
Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.
Пусть 1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат. 2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ 3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.
Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля. Тогда - уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
Пучок и связка плоскостей
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка. Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α1 и α2. Тогда уравнение пучка имеет вид А1 х + B1 y + C1 z + D1 + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2) = 0, где λ
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S0 (x 0, y 0, z 0) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S0 имеет вид А(х - x 0) + В(у - y 0) + С(z - z 0) = 0, где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.
для специальности «Прикладная математика». ![]() ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|