Для специальности «Прикладная математика».

Для специальности «Прикладная математика».

Часть I. Аналитическая геометрия.

ГОМЕЛЬ 2004

Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических мето­дов, в основе которых лежит понятие координат.

ГЛАВА 1. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Понятие вектора

Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым квадратом А называется множество

A² =

Бинарным отношением на А называется любое подмножество множества A².

Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение на А, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) (рефлексивность);

2) если ( ,b) то (b, ) (симметричность);

3) если ( ,b) то ( ,c) (транзитивность).

Теорема.Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.

Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается .

Пусть заданы направленные отрезки и , лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость , проходящая через точки В и D. Тогда плоскость разбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точки B и D лежат в одном полупространстве, то говорят, что направленные отрезки и одинаково направлены (обозначается ). В противном случае, они называются противоположно направленными (обозначается ).

Если направленные отрезки и лежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направленны, если существует такой третий направленный отрезок , который одинаково направлен с каждым из направленных отрезков и (противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезков или ).

Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка называется длина этого направленного отрезка и обозначается | |.

Два направленных отрезка и называются равными, если и , при этом пишут = ,

Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.

Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.

Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.

Векторы и называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается || ).

Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.

Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается ). Направление нулевого вектора не определено.

Проекции.

Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А₁. Тогда точка А₁ называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α l, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А₁ и В₁ точек А и В на ось l относительно плоскости α.

Тогда вектор называется проекциейвектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось l относительно плоскости α называется число, равное:

а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l;

б) - | |, если направление противоположно направлено оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Пр_l , а для ортогональной проекции использовать обозначение пр_l .

Пусть α - некоторая плоскость и l – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l₁ || l и обозначим точку пересечения прямой l₁ с плоскостью α через А₁. Точка А₁ называется проекциейточки А наплоскость α относительнопрямой l.

Если прямая l α, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0 α π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: ( ), ( ), ( ).

Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1) ;

2)

3) .

1) 2)

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый ´ и удовлетворяющий следующим условиям:

1) | |=| |×| |×sin ( ^, );

2) ^ , ^ ;

3) векторы , , образуют правую тройку векторов.

Координаты на прямой.

Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началомкоординат, задан единичный вектор , называемый ортом, называется координатнойосью.

Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-

линеарен вектору и, значит, . Вектор называется радиус-вектором точки М, а число х называется координатойточки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается: =(х)).

Так как - единичный вектор, то каждой точке М на оси l поставлено в соответствие вполне определенное действительное число – ее координата.

Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.

Координаты на плоскости.

Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с

неколлинеарными ортами и cоответственно. Тогда тройка (О, , ) называется афинным репером, или афинной системой координат плоскости α.

Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы и - базисными векторами. Если М – произвольная точка на плоскости α, то

Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0, , ), причем х называется абсциссой, а у – ординатой

(записывается: М(х,у)). Вектор называется радиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора (записывается: =(х,у)).

Афинная система координат (0, , ) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат.

Теорема. Пусть = , где

.

Тогда

Следствие 1. Пусть даны точки А (х₁,y₁) и В (х₂,у₂). Тогда

Следствие 2. Два вектора = (х₁,у₁) и = (х₂,у₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

.

Афинная система координат (0, , ), в которой орты и взаимно ортогональны, называется декартовой, или прямоугольной системой координат. В этом случае орты и обозначаются соответственно и .

Координаты в пространстве.

Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами , , соответственно. Тогда четверка (0, , , ) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы , , - базисные векторы.

Так как векторы , , - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

= x +y +z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х,у,z)), называется радиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: = (х,у,z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами. Если упорядоченная тройка векторов , , является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы , , попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

В частности, если даны точки А (х₁,у₁,z₁), В (х₂,у₂,z₂), то

Векторы = (х₁,у₁,z₁) и = (х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

Полярные координаты.

Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.

Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называется полярной системой координат.

С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:

х = r cosφ, у = r sinφ.

Так как х² + у² = r², то

Прямая на плоскости

Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0, , ) и прямая l, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m₁,n₁) и =(m₂,n₂) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов следует, что Если прямая l не параллельна оси OY, то следовательно,

- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.

В частности, для прямоугольной системы координат (0, )

k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.

Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению

x = a , Р(а,0)

- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.

Пусть прямая l проходит через точку A (а,b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х,у) на прямой l. Тогда =(х-а, у-b) - направляющий вектор прямой l.

Следовательно,

Отсюда

y – b = k (x-а)

-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

Пучок прямых

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l₁ и l₂ , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Уравнение:

A₁x + B₁y + С + λ (A₂х + В₂y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l₁ и l_2.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l₁ и l₂ будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

cosφ=

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ задана уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ в k₂ соответственно. Тогда

Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то

III ПЛОСКОСТЬ

Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М₀(х₀,у₀,z₀). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) α и обозначим (А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х-х₀) + В(у-у₀) + C(z-z₀) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -Аx₀ - Ву₀ - Cz₀. Получим

Ax + By + Сz + D = 0 (*)

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A²+B²+C² ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Пучок и связка плоскостей

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α₁ и α₂ .

Тогда уравнение пучка имеет вид

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ + λ(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0, где λ R.

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S₀ (x₀,y₀,z₀) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S₀ имеет вид

А(х-x₀) + В(у-y₀) + С(z­­-z₀) = 0,

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

для специальности «Прикладная математика».

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: